Качественный анализ матричных уравнений движения

Для решения вопроса об устойчивости линейных однородных систем дифференциальных уравнений в нормальной форме используют обычно второй метод Ляпунова.

Пусть дана система.

1).

СП.

Нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и устойчивость является экспоненциальной тогда и только тогда, когда существуют две квадратичных формы У (х], ., хп, ?) и Щх], ., х&bdquo-, О, связанных между собой уравнением дГ «дУ) пг (л.

При этом V является определенно положительной квадратичной формой, Ж — определенно отрицательной квадратичной формой. Уравнение (2) для матриц квадратичных форм V и Ж дает соотношение + Р*А + АР = В, (3) Л где Р есть матрица коэффициентов системы (1).

Матричное уравнение (3) обладает тем характерным свойством, что искомая матрица, А входит в него как левосторонний множитель, так и правосторонний множитель. В этом смысле будем называть такие уравнения двусторонними. Они возникают в механике, электродинамике, в топологии, определяемые дифференциальными уравнениями.

В настоящем исследовании основное внимание уделено развитию математических методов качественного анализа таких уравнений, а также аналитическому представлению их решения и развитию численных методов их построения.

Актуальность этих исследований определяется тем, что до настоящего времени уравнение Ляпунова окончательно не изучено.

Среди новых результатов, которые получены в ходе исследования можно указать на аналитическое представление решений, на новый критерий устойчивости, распространение теоремы Лиувилля и теоремы Флоке на матричные уравнения.

Известно, что матричные уравнения всегда можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям в нормальной форме. Однако, это сведение не позволяет развить математический аппарат, учитывающий специфику двусторонних матричных уравнений. При переходе к нормальной форме эта специфика исчезает. Главным обстоятельством в аналитическом представлении решений является то, что матрицы начальных условий слева и справа умножаются на матрицы, являющиеся фундаментальными системами решений для уравнений порядка п. В то время как переход к системам в нормальной форме приводит к размерности систмемы п". Такой аналитический вид решений привел к рассмотрению весьма интересной задачи линейной алгебры. А именно, даны два полинома одинакового порядка, требуется построить полином, корнями которого будут суммы корней первого и второго из заданных полиномов. Разрешение такой задачи связано с разрешением проблемы устойчивости матричного двустороннего уравнения с постоянными коэффициентами.

В завершении сказанного полезно напомнить, что второй метод Ляпунова связан с исследованием некоторых функций, вычисляемых на движениях заданных систем уравнений без иньегрирования этих систем. Эти исследования приводят к решению вопроса об устойчивости, об асимптотической устойчивости невозмущенных движений, а также к исследованию качественного поведения движений в окрестности установившихся траекторий. При этом при формулировании второго метода Ляпунов A.M. указывает на конкретные свойства функций, поведение которых исследуются вдоль траектории заданной системы дифференциальных уравнений.

Предположим, что заданы две системы дифференциальных уравнений dx «—.

— Г = Z Psi (О*, +fs (t, X},., Xn), 5 = 1, dt t^ n dys dt.

Z Чй (О У, +g,(t, x 1 ,-,*"), S = l, n.

4).

5).

Будем исследовать взаимное поведение систем (4) и (5) с помощью функций, а именно, положим.

У (Х,?, 0 = Х'$"УГ, (6).

9=0(1) — матрица, подлежащая определению.

Вычислим полную производную этой функции в силу линейных приближений для уравнений (4) и (5).

7) ал dY м где X =, Г = •.

Vх" У dt.

Q{t)Y.

8).

Потребуем, чтобы эта полная производная совпадала с функцией.

9).

Тогда будем иметь dV W. dt.

При переходе в (10) к матричным. равенствам найдем de dt.

Р G + 6Q = B.

10).

И).

Таким образом, в ходе исследования взаимного поведения двух систем дифференциальных уравнений, появляется двустороннее линейное неоднородное матричное уравенение общего вида.

Исследование таких уравнений является новым в теории дифференциальных уравнений. Хотя, как показано в работе, управление вращательным движением твердого тела приводит к решению зачачи ориентации, которая связана с такими уравнениями и является их частным случаем. Проблема отыскания ориентации твердого тела в пространстве по отношению к абсолютной системе координат на основе известной мгновенной угловой скорости называется обычно задачей Дарбу и до настоящего времени окончательно не разрешена в общем виде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Настоящая работа посвящена разработке математических методов исследования дифференциальных уравнений, встречающихся в теории устойчивости движения, механике и электродинамике. Упомянутые дифференциальные уравнения являются матричными, в которых искомая матрица является и левым и правым множителями. Это создает трудность для исследования, а также одновремено позволяет получить новые результаты в области устойчивости, в области теории колебаний и в области развития методов линейной алгебры.

1. Разработана теория двусторонних матричных уравнений, в том числе найдены критерии асимптотической устойчивости положения равновесия двусторонней матричной системы с постоянными коэфициентами.

2. Дано распространение теремы Флоке применительно к теории колебаний для матричных уравнений, найдено представление периодических и почти периодических решений, в случае когда коэффициенты уравнений являются периодическими или почти периодическими.

3. Дано распространение теоремы Лиувилля на свойство решений двусторонних матричных уравнений и установлен случай, когда детерминант матрицы решений сохраняет постоянное значение. л.

4. Найден алгоритм построения полинома степени п, у которого корнями будут суммы корней двух заданных полиномов порядка п, причем коэффициенты построенного полинома выражаются однозначно через коэффициенты заданных алгебраических уравнений.