О задаче Коши для когомологий Дольбо

Как правило, в каждом разделе математики существуют ключевые проблемы, обуславливающие его развитие. Это могут быть задачи, пришедшие из практики или чисто теоретические вопросы, возбуждающие любопытство человеческого разума. В многомерном комплексном анализе к таким проблемам можно причислить задачу решения уравнения ди — /, или^{-уравнения.} В двадцатом столетии она часто воспринималась как «основная задача комплексного анализа». Это связано с тем, что многие задачи комплексного анализа сводятся к решению^{-уравнения.} Например, для построения голоморфной функции с заданными свойствами сначала отыскивают гладкую функцию с нужными свойствами, а затем разлагают ее в сумму двух функций, первая из которых голоморфна, а вторая — в каком-то смысле мала (см. [19]). В этом случае первая функция может оказаться искомой, второе слагаемое ищется в виде решения уравнения Коши-Римана. Интерес к^{-уравнению} вызван также тем, что имеется широкий класс дифференциальных уравнений, которые заменой сводятся к нему. В ряде случаев это дает возможность в той или иной мере охарактеризовать решения исходного уравнения.

Известно, что решение^{-уравнения} в ограниченной области комплексной плоскости задается интегралом Коши-Грина. При п > 1 ситуация не столь очевидна (см. обзоры [19], [18]). Во-первых, необходимым условием разрешимости уравнения ди = / является^{-замкнутость} правой части, т. е. условие df = 0. Во-вторых, в условия разрешимости «вмешивается» геометрия области, в которой ищется решение. Основные результаты о разрешимости^{-уравнения} получены в областях, обладающих некоторыми условиями выпуклости. Классический путь для решения многомерного^{-уравнения,} проложенный в основном Ока ([41]), состоит в том, что сначала оно решается более или менее явно для полидисков. Затем с помощью специальной теоремы результат распространяется на аналитические полиэдры. Наконец, разрешимость^{-уравнения} в псевдовыпуклой области получается с помощью аппроксимации такой области аналитическими полиэдрами. На таком пути практически невозможно получить важные в приложениях оценки решения, v.

Другой подход принадлежит специалистам по дифференциальным уравнениям Морри [39], Кону [35], [36], Хермандеру [32]. Путем получения априорных Ь2-оценок они доказали существование решения д-уравнения, ортогонального подпространству^{-замкнутых} форм, в классе L2 в произвольной ограниченной псевдовыпуклой области, если правая часть также из Lr. Для строго псевдовыпуклых областей имеются явные формулы для решения этих уравнений, позволяющие получить оценки решения в равномерной и некоторых других метриках ([17], [29]).

Оператор д порождает комплекс Дольбо. Широта групп когомоло-гий этого комплекса характеризует разрешимость «^-уравнения. Известно (Дольбо, 1953), что на областях голоморфности когомологии комплекса Дольбо тривиальны, т. е.^{-уравнение} разрешимо при выполнении условий согласования для правой части.

Еще одним подходом к исследованию разрешимости «^-уравнения можно назвать использование вспомогательной^{-задачи} Неймана-Спенсера. Реализуя эту идею, Кон в семидесятых годах прошлого века получил результаты о разрешимости «^-уравнения в строго псевдовыпуклых областях с, гладкой границей и в слабо псевдовыпуклых областях с вещественно аналитической границей в Сп ([27], [37]).

Таким образом, мы видим, что математики, исследовавшие <9-уравнение, старались оставаться в рамках условий на геометрию области, обеспечивающих исчезновение (или, по крайней мере, конечномерность) когомологий Дольбо.

Наряду с задачами решения уравнений в математике часто возникают задачи отыскания решения уравнения в области, удовлетворяющего на границе области краевым условиям. Отметим, что такие задачи, как правило, естественно появляются на практике. Предположим, физические характеристики некоторого тела связаны системой уравнений, а искомую величину можно измерить лишь на поверхности тела. Тогда определение ее значения в любой точке внутри требует решения краевой задачи.

В начале двадцатого века на конгрессе швейцарского математического общества в Цюрихе Адамар заявил, что все аналитические задачи, допускающие механическую или физическую интерпретацию, являются хорошо поставленными ([30]). В то же время на примере задачи Коши для уравнения Лапласа он показал, что малые изменения начальных данных могут приводить к катастрофическому изменению решения, что послужило основой понятия корректности. Так как начальные данные задачи часто получаются с помощью измерений, не исключающих некоторую погрешность, то люди старались всячески избегать некорректных задач, боялись иметь дело с ними, считали такие постановки неестественными и даже готовы были жертвовать адекватностью моделей для получения хорошо поставленных задач. Однако развитие математических методов в естествознании привело к необходимости переосмысления замечания Адамара, поскольку некорректная задача Коши для уравнения Лапласа непрестанно возникала в приложениях. В качестве примера можно указать задачу продолжения гравитационного потенциала, наблюдаемого на поверхности, в направлении гравитационой массы.

Типичным примером некорректной задачи является задача аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области в С" во всю область, которую можно трактовать как однородную задачу Коши на первом шаге комплекса Дольбо. Исследования этой задачи протекали в двух основных руслах: поиск разумных условий разрешимости и вывод формул для решений. Первый результат в направлении построения решений получил Т. Карлеман в 1926 г. ([26]) для области специального вида в С. В связи с этим формулы такого вида получили название формулы Карлемана. Г. М. Голузин и В. И. Крылов подхватили идею введения «гасящей» функции в интегральную формулу Коши и предъявили в 1933 году формулу для восстановления голоморфной функции в односвязной области в С1 по ее значениям на части границы ([4]). В 1956 году М. М. Лаврентьев предложил метод, основанный на аппроксимации ядра интегрального представления, который был применим также для многосвязных областей в С1 и для областей в Сп ([7]).

Развитие специальных методов, позволяющих работать с некорректными задачами Коши, стимулировалось запросами жизни. Такие задачи вставали в гидродинамике, в теории передачи сигнала, в томографии, в геологоразведке. А. Н. Тихоновым, М. М. Лаврентьевым и др. была разработана концепция условно корректных задач. Идея состояла в приближении исходной некорректной задачи семейством «хороших» задач, которые поддавались удовлетворительному исследованию. Не случайно простейшая формула Карлемана, являющаяся частным случаем формулы Голузина-Крылова, независимо была построена физиками-теоретиками В. А. Фоком и Ф. М. Куни ([16]). Хочется отметить также книгу [8], посвященную некорректным задачам анализа и математической физики и монографию [1], представляющую собой достаточно полный на начало девяностых годов обзор по формулам Карлемана.

Заметим, что, ввиду некорректности задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области во всю область, условия ее разрешимости не могут быть описаны в терминах обращения в нуль некоторого семейства линейных непрерывных функционалов (.

3]). Поэтому получение разумных условий разрешимости также является нетривиальной задачей. В [3] они представлены в виде гармонической продолжимости некоторых потенциалов из большей области в меньшую, а использование базисов со свойством двойной ортогональности сводит разрешимость к сходимости числового ряда. Эти идеи были развиты и обобщены па случай более широких пространств pi операторов с инъективным символом в ряде работ последних лет. В [22] рассмотрена возможность аналитического продолжения голомофных функций класса Лебега L2. в [46] эта задача обсуждается касательно общих дифференциальных операторов с инъективным символом. В [54] представлена неоднородная задача Коши для операторов Дирака в пространствах Соболева положительной гладкости. В статьях [15] и [53] исследуется разрешимость неоднородной системы Коши-Римана в пространстве Лебега и в пространствах Соболева отрицательной гладкости соответственно. Задача Коши для общих систем с инъективным символом в пространствах Соболева положительной гладкости и в пространстве Лебега предстала в [52] и [55]. Легко понять, что неоднородная задача Коши не сводится к однородной задаче в произвольных областях, это возможно лишь при наличии информации о разрешимости самого уравнения в области, т. е., например, в псевдовыпуклых областях для оператора д. Одной из фундаментальных книг о задаче Коши для однородных эллиптических уравнений является труд Тарханова [49].

Обобщения задачи аналитического продолжения голоморфной функции с куска границы области как однородной задачи Коши на первом шаге комплекса Дольбо возможны не только в направлениях неоднородности задачи, рассмотрения класса операторов с инъективным символом и использования более широких пространств, но и путем ее постановки на других шагах, т. е. рассмотрения задачи восстановления^{-замкнутой} (р, q)-дифференциальной формы в области по ее значениям на части границы этой области. Для достижения единственности разумно искать решение по модулю точной формы, другими словами, ставить задачу Коши для когомологий Дольбо. Голоморфные функции есть не что иное, как когомологии комплекса Дольбо на нулевом шаге. Рассмотрение таких задач восходит к работе [24], в которой вопросы существования и единственности сводились к тривиальности некоторых специальных когомологий комплекса Дольбо. Начинович и др. в [40] предложили абстрактный метод построения формул Карлемана для решения задачи Коши для когомологий Дольбо. Появление свежей работы [25], один из соавторов которой, Хилл, является экспертом в этой области, свидетельствует о неугасающем интересе к такого рода задачам.

Целью настоящей работы является изучение условий разрешимости задачи Коши для когомологий комплекса Дольбо в областях опредеi ленного вида в пространствах распределений и построение формул Карлемана для ее решения.

В проделанных исследованиях использованы методы гармонического анализа, метод интегральных представлений. Более того, привлечен мощный аппарат функционального анализа, в частности, теория гильбертовых пространств, а также техника базисов со свойством двойной ортогональности для построения формул для решения.

Перейдем к описанию структуры диссертации.

В главе 1 исследуется разрешимость^{-уравнения} на первом шаге комплекса Дольбо в шаровом слое, причем правая часть берется из пространства Лебега L2. Как уже отмечено, в двадцатом столетии основная деятельность вокруг этого уравнения была направлена на выделение условий, при которых когомологии Дольбо тривиальны (или, по крайней мере, конечномерны). Как правило, это достигалось наложением некоторых геометрических требований на выпуклость области. Разрешимость^{-уравнения} в более общих областях при этом практически не исследовалась, поскольку их рассмотрение открывало дорогу для появления бесконечномерных и даже неотделимых когомологий. Математики старались обходить такие явления стороной. В связи с этим вопрос об условиях разрешимости «^-уравнения в произвольных областях до сих пор остается открытым. Так как шаровой слой не является псевдовыпуклой областью, то результаты первой главы можно интерпретировать как продвижение в данном направлении.

Как известно, комплекс Дольбо субэллиптичен, поэтому не приходится надеяться на разрешимость системы Коши-Римана в пространстве Соболева iiT1(D) для всех лебеговских правых частей ([34]). Мы определяем пространство D (d) для решений как пополнение по норме графика (ср. с работой Хермандера [32]). Аргументацией такого выбора служит возможность его характеризации и непрерывность оператора д в таких пространствах ([28]). Пусть Ap>q — расслоение дифференциальных форм бистепени (p, q), a <5(D, Ap>q) — пространство дифференциальных форм бистепени (р, q) с коэффициентами класса © в области D С С С". Итак, основная задача первой главы такова.

Задача 1.2.1. Пусть / € L2(D, А0'1). Найти решение уравнения ди — f в классе D (d).

Обозначим через д* формально сопряженный к д оператор. Введем гармоническое пространство 7i}(D), состоящее из дифференциальных форм g е L2(D, А0'1), для которых dig = 0 в Z), д*g ~ 0 в D (в смысле распределений) и комплексная нормальная часть g равна нулю на 3D. Фактически это пространство характеризует ортогональное дополнение образа оператора д, представляя первые когомологии комплекса Дольбо. Условие разрешимости задачи 1.2.1, полученное в главе 1, формулируется следующим образом.

Теорема 1.5.1. Пусть D — шаровой слой в Сп. Задача 1.2.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) dif = 0;

2) f±HD).

Эрмитова структура используемых пространств позволяет применять методы теории гильбертовых пространств, а специфика области дает возможность работать с разложениями в ряды Лорана по однородным гармоническим функциям. Полученный результат на самом деле означает нормальную разрешимость задачи 1.2.1. Отметим, что при доказательстве упомянутой теоремы также построено решение^{-уравнения} в виде ряда, что может быть использовано для получения приближенного решения в прикладных задачах.

Исходя из теоремы 1.5.1, для овладения исчерпывающей информацией о разрешимости^{-уравнения} в шаровом слое остается охарактеризовать гармоническое пространство T0~(D). Пусть zi, .zn — координаты в n-мерном комплексном пространстве Сп. В данной работе получен следующий результат.

Теорема 1.6.1. Пусть D — Br ВГ — шаровой слой в С2. Тогда гармоническое пространство ТС1 (D) бесконечномерно и дифференциальные формы вида.

— ztdzt + zvtztzbzh.

И2 zW+2' образуют в нем L2-ортогональный базис.

Таким образом, демонстрируется возможность работы с бесконечномерными когомологиями, чего избегали классики. Отметим, что первые когомологии комплекса де Рама в области с выколотым нулем одномерны, их базис образует известная форма Пуанкаре. Здесь перед нами предстало разительное различие комплексов де Рама и Дольбо. Можно усмотреть также сходство обсуждаемых комплексов: размерность первых ко-гомологий и пространства решений исходного оператора совпадают для каждого из этих комплексов. Для комплекса де Рама она одномерна, а для комплекса Дольбо — бесконечномерна. Комплекс Дольбо не такой простой, как комплекс де Рама, на нем можно проследить некоторые интересные эффекты, в то же время он не так сложен, как общие системы.

Используемые нами методы также помогают извлечь тривиальность рассматриваемых когомологий при п > 3.

Теорема 1.6.2. Пусть D — шаровой слой в Сп, п > 3. Тогда гармоническое пространство Ti1 (D) тривиально.

Результаты последней теоремы коррелируют с заключениями Ранге, несмотря на различие рассматриваемых функциональных пространств. Именно, в [42, глава IV, § 3.5] утверждается тривиальность когомологий Дольбо при д^О, 77 — 1, дсоответствующий шаг комплекса, в областях, полученных удалением из выпуклой области выпуклой подобласти, в пространстве функций, бесконечно гладких вплоть до границы.

Глава 2 посвящена формулам Карлемана для когомологий Дольбо в областях с вогнутой частью границы. Как упоминалось, формулы Карлемана позволяют восстанавливать значения функции в области по ее значениям на части границы. При этом важную роль часто играет геометрия области и выбор части границы, на которой заданы данные Коши. Поскольку формулы Карлемана имеют также прикладное значение, то необходимо стремиться к их конструктивности и простоте.

Итак, обсуждается задача восстановления d-замкнутой (р, д)-формы в области по определяемому ей классу когомологий на части границы области по модулю точной формы. Абстрактная схема построения формулы Карлемана для этого случая предложена в [40]. Хотелось получить конкретные примеры таких формул. Не стоит думать, что наличие общей теории в том или ином направлении закрывает все вопросы. Часто рассмотрение примеров требует больших усилий и преодоления многих деталей, а теория может лишь подсказать направление дальнейшего пути, затмевая все тонкости.

Основным итогом главы 2 является формула Карлемана, восстанавливающая по модулю точной формы значения 5-замкнутой (р, д)-формы в. области по определяемому ей классу когомологий на части границы области, дополнение к которой линейно вогнуто. Приведем полученный результат в несколько частном случае, тем не менее отражающим суть этой формулы. Обозначим через Г открытое связное подмножество границы области D С С Сп с кусочно-гладкой границей.

Теорема 2.4.1. Пусть часть границы 3D Г области D С С Сп является частью сферы {z Е Cn: z = R}, причем сама D не заходит внутрь шара {z Е Сп: z < R}. Тогда для д-замкнутой в D дифференциальной формы и Е Cl{D, lP, q) справедлива формула u (z) = - J т{и) A ll%((1 — t) vО + tvi) аг.

— Hm I и, А К^Ы д.

Р) л. л С" 1)'.

I и, / I 1.

N—>00 J г.

— J uAl¹{(l-t)v0 + tv1) +JuAK^M I, ZED. ODT D.

В этой формулировке v0 = = ~ ЯДР° Коп" пельмана, Щ (у) — ядро, определяемое над кольцом функций аналогично ядру Коппельмана, а = (-l)p+.

Кроме того, доказана теорема единственности для когомологий Дольбо, которая может быть сформулирована следующим образом. Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.4.1. Если д-замкнутая в D дифференциальная форма и Е C1(D, Ap'q) является дъ-точ-ной на Г, то она д-точна в D.

Из полученной формулы Карлемана можно извлечь интересные сведения. При q п — 1 предел в формуле исчезает и изучаемая задача Коши становится устойчивой. Этот факт немного неожиданный. Как правило, если данные Коши заданы на всей границе, то задача нормально разрешима, если же данные заданы лишь на части границы, то, приходит неустойчивость. Возникновение устойчивости в нашем случае обусловлено переопределенностыо системы Коши-Римана и наложенными геометрическими условиями на область.

В заключительной главе 3 рассматривается неоднородная задача Коши для оператора Коши-Римана в отрицательных пространствах Соболева. В то время как изложение второй главы было направлено на получение формул решения задачи Коши для когомологий Дольбо на произвольном шаге комплекса, содержание последней главы нацелено на работу в более общих пространствах на первом шаге комплекса. Как известно, функции из пространства Соболева Нl (D) обладают следами класса L2(dD) (и даже более узкого класса НЦдБ)) на границе. При использовании более широких пространств трудность возникает уже при определении значений на границе области функций, заданных в области. В этом случае приходится задействовать технику слабых предельных значений и концепцию слабого решения ([43]). Поэтому даже выбор подходящих пространств является достижением и надеждой на успешное дальнейшее исследование. Отметим, что привлечение более общих пространств существенно увеличивает класс правых частей и данных Коши рассматриваемой задачи.

Пусть H (D, || • ||-s) обозначает пространство Соболева отрицательной гладкости (см., например, [43]), a || • ||s) — множество всех функций и из H{D, || • ||s) таких, что ди 6 H (D, А0,1, || • ||-s-i) — Доказывается что, функции из || • ||s) имеют слабые граничные значения на.

Г С 3D. Положим tf^A0'1) = U~ !#(?>, А0'1, || • ||а). Объединение || • ||s) обозначим через Hg (D). Введем пространство H~s (Г) как фактор-пространство пространства H~s{dD) по подпространству сечений, исчезающих в окрестности Г. Под п (д) понимается комплексная нормальная часть (0,1)-формы д.

Теперь мы можем сформулировать задачу Коши, которая рассматривается в последней главе.

Задача 3.4.1. По заданным f? Я (ДЛод) и щ? Ц^Я^Г) найти функцию и Е Hq (D) такую, что щ Жф) = (/, ф) — (щ, п (ф)) для всех ф Е C~mp (D U Г, Л0'1).

Это есть не что иное, как слабая постановка задачи Коши на основе формулы Грина.

Пусть F = MiiQ + Tjjf, где М — преобразование Мартинелли-Бохнера, То — объемный потенциал, а щ? H~s~½(dD) — некоторый представитель класса эквивалентности, содержащего элемент щ Е H~s~l!2(T). Выберем область D+ так, чтобы множество Q — D U Г U D+ было ограниченной областью с бесконечно гладкой границей. Основной результат завершающей главы дает условия разрешимости задачи Коши для неоднородной системы Коши-Римана в терминах гармонической продолжимости функции F из меньшей области D+ в большую область Г2. В следующей теореме C^mp (D U Г) обозначает пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в D U Г. Теорема 3.4.2. Задача Коши 3.4.1 разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие согласования и0, п (д*(3)) = (ffip) для всех (3 Е C™mp (D U Г, А0'2) и существует гармоническая в Q функция Т конечного порядка роста вблизи д£1, совпадающая с F в D+.

Используя касательный оператор Коши-Римана дъ на границе, можно переписать условие согласования в виде df = 0 в D, дьи0 = r (f) на Г, где т (/) — касательная часть / на 3D.

С помощью базисов с двойной ортогональностью {Ьи}, представляющих собой систему функций, которые ортогональны на паре областей, одна из которых содержит замыкание другой, полученные условия разрешимости могут быть представлены в виде условия сходимости числового ряда. Кроме того, с применением этой*методики построена формула Карлемана для решений задачи 3.4.1, позволяющая отыскивать приближенные решения, представляющие практический интерес. Пусть z) обозначает ядро Мартинелли-Бохнера в Сп. Рассмотрим ядра Карлемана n.

С, z) = я (с, z)-Y, -))ЬМ для.

Следствие 3.5.2. Для всякой функции v G Hq (D, || • ||s) справедлива формула Карлемана где.

V{Nz) = ~ [ V0(Q?N (-Z)ds (O+ [.

J dD JD a vо — какое-нибудь продолжение v с Г на dD в классе.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на студенческой конференции (Красноярск, апрель 2005), на конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, апрель 2006), на.

Международной конференции «Анализ и геометрия на комплексных мно гообразиях» (Красноярск, август 2007), на Международной конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященной 75-летию академика М. М. Лаврентьева (Новосибирск, август 2007), на Международной конференции «Анализ, уравнения в частных производных и приложения», посвященной семидесятилетию В. Г. Мазьи (Рим, Италия, июль 2008), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященной 100-летию со дня рождения С. J1. Соболева (Новосибирск, октябрь 2008), на семинаре профессора Н. Тарханова «Нелинейный анализ» (Потсдам, Германия, 2008;2009), на городском семинаре по многомерному комплексному анализу под руководством А. М. Кытманова и А. К. Циха (Красноярск, 2005;2009).

При работе над диссертацией автор поддержан грантом Краевого фонда науки для молодых ученых 17G-102, грантом Сибирского федерального университета по научно-методическому проекту № 45.2007, грантом Президента РФ НШ-2427.2008.1, стипендией Президента Российской Федерации для обучения за рубежом, Deutsche Forschungsgemeinschaft в рамках проекта «Нелинейные дифференциальные уравнения с малым параметром» (GZ ТА 289/4−1).

Автор глубоко признателен научному руководителю Шлапунову Александру Анатольевичу за грамотное руководство работой, за помощь и содействие в блуждании моего разума по лабиринтам математики. Также выражаю сердечную благодарность Николаю Тарханову, подарившему мне упоительные минуты, проведенные в плодотворных дискуссиях на математические и общечеловеческие темы, безгранично отдающемуся работе и разделившему со мной долю своего бесценного педагогического и научного опыта.

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— найдены условия разрешимости системы Коши-Римана в шаровом слое вС" в терминах гармонического пространства;

— охарактеризованы первые L2 -когомологии комплекса Дольбо в шаровом слое: при п = 2 в них построен ортогональный бесконечный базис, при п > 2 установлена их тривиальность;

— построена формула Карлемана для решения задачи Коши для ко-гомологий Дольбо в областях, у которых дополнение к куску границы с данными Коши линейно вогнуто;

— доказана теорема единственности для задачи Коши для когомологий Дольбо в специальных областях;

— подобраны подходящие пространства Соболева отрицательной гладкости для постановки неоднородной задачи Коши для системы Коши-Римана;

— сформулированы условия разрешимости задачи Коши для уравнения Коши-Римана в отрицательных пространствах Соболева;

— установлена формула Карлемана для восстановления функции и, принадлежащей одному из отрицательных пространств Соболева в области, по значениям ди в области и по ее значениям на части границы области.

Заключение

.