Оценка коэффициентов и функционала Милина для голоморфных ограниченных функций с симметрией вращения

Актуальность темы

Краткие исторические сведения. Функции, которые в различных точках области принимают различные значения, называют однолистными. Первые задачи и методы их решения, которые дали начало геометрической теории однолистных функций комплексного переменного, появились уже в первом десятилетии XX века. П. Кёбе в 1907 году доказал теорему о существовании круга, покрываемого образами единичного круга Е= {z: z < 1} при отображении голоморфными однолистными в Е функциями fiz) = z + C2(f) z1 +. + Cn (f) zn +. .

Совокупность таких функций образует класс S.

Эта теорема послужила стимулом для исследования многочисленных экстремальных задач геометрической теории функций.

Отсутствие в множестве однолистных функций структуры линейного пространства потребовало создание новых оригинальных методов исследования экстремальных задач. Метод площадей H.A. Лебедева [29], вариационные методы М. А. Лаврентьева [28], М. Шиффера [50], Г. М. Голузина [15], метод симметризации И. П. Митюка [33], В. Н. Дубинина [21] и т. д. позволили качественно изменить содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций. В 1923 году Левнер [49], используя теорему Каратео-дори о сходимости семейства плоских областей к ядру, вывел уравнение для семейства отображений, сходящихся к данной функции класса S. Это уравнение легло в основу одного из основных методов исследования в геометрической теории функций — метода параметрических представлений Левнера. Представление конформного отображения одной области на любую, конформно ей изоморфную, через решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка открыло пути для новых способов построения приближенных отображений с оценками погрешностей на границе и внутри области. Метод Левнера, а также методы, предложенные П. П. Куфаревым и H.A. Лебедевым, объединяющие метод вариаций Голузи-на и метод параметрических представлений Левнера, получили важное развитие в работах И. Е. Базилевича, П. П. Куфарева, И. А. Александрова, А. З. Гриншпана, В. Я. Гутлянского, В. И. Попова и других авторов, и привели к глубоким результатам, которые включают в себя доказательства точных неравенств и указание соответствующих экстремальных функций.

Каждой однолистной функцией класса S определяется последовательность Cf= {1, С2, ., С&bdquo-, .}, составленная из коэффициентов разложения этой функции в ряд Тейлора. Эта последовательность содержит полную информацию о функции / е S. Поэтому большой интерес представляет нахождение необходимых и достаточных условий того, что последовательность С/ является последовательностью некоторой функции класса S.

В 1916 году Л. Бибербахом [47] было доказано, что | С2(/) I < 2 для любой функции класса S и одновременно сформулирована гипотеза: Cn (f) | < п, (п = 3, 4, .) для любой/ е S.

В 1923 году Левнер [49] доказал, что | С3(/) | < 3, для любой f & S, а теорема Литтлвуда [51]: | Cn (f) | <е п, показала справедливость ожидаемого порядка роста коэффициентов. Началось накопление фактов в пользу высказанной гипотезы.

В 60-е годы в работах H.A. Лебедева и И. М. Милина [30] был разработан аппарат формального экспоненцирования, позволяющий оценивать коэффициенты степенного ряда.

00 к °° к=1 к= 1 через коэффициенты ряда • И как следствие, было установлено нерак= 1 венство си (/)| < п • ехрМп (/)}, (п = 2,3,.), п-1 п ^ 2 где Мп{/)=? ^ (1-& 1у*(/)1) — функционал Милина. В 1971 году.

И.М. Милин [32] пришел к гипотезе, что М&bdquo-(/) > 0 для любой / е? и любого.

Л € .Л/Л {1}.

Эта гипотеза оказалась гораздо удобнее для исследований, чем гипотеза Бибербаха, что и подтвердил в 1984 году Луи де Бранж [48], доказав ее справедливость и как следствие, получив неравенство [ С&bdquo-(/) | < п. Таким образом, метод Левнера позволил решить проблему коэффициентов, волновавшую математиков в течение семидесяти лет, и которой занимались такие видные ученые как Робертсон, Хейман, Дьедонне, И. И. Привалов, К. И. Бабенко и многие другие. История исследований достаточно подробно освещена в работах Фитцджеральда и Поммеренке [45], О. М. Фоменко и Т. В. Кузьминой [46], И. А. Александрова [6], И. А. Александрова и И. М. Милина [9].

Задача о коэффициентах была решена на классе? и некоторых его подклассах. В числе первых, кто начал исследовать методом Левнера множества значений систем функционалов, был И. Е. Базилевич [12]. Им на классе.

Г I (р) | | (Р) п.

3Р (М), (М) = £(М), была решена задача о множестве { | Ср+, | С1р+ I /, которая ясно показала, насколько усложняются оценки коэффициентов при переходе от класса Б к его подклассу ограниченных функций с /^-кратной симметрией вращения и дала некоторые объяснения отсутствию гипотезы для аналогичной гипотезе Бибербаха для класса.

В настоящее время, задача о коэффициентах, в силу своей нетривиальности, является традиционным объектом исследования как зарубежных специалистов по теории функций: Карлесона и Джонса [42], Hie Ming-Qin [52] и других, так и отечественных: Ф. Г. Авхадиева [2], Д. В. Прохорова [36], И. Р. Каюмова [2] и других. Почти любую экстремальную задачу на классе однолистных функций можно свести к некоторой проблеме коэффициентов, так как любая однолистная функция представляется однозначно своим рядом Тейлора или Лорана.

Этим обусловлена актуальность решения подобного рода проблем.

Важное теоретическое значение приобретает задача об исследовании отклонения функционала Милина An (f) = Mn+](f) — Mn (f) либо при фиксированной функции из класса S,/gS, либо на классе S и его подклассах. И если.

СО последовательность {Mn (f)} ^ будет монотонно возрастать для каждой/ е S, кроме случая, когда/= /сф, где — функция Кёбе, то этот факт откроет новые возможности в решении экстремальных задач теории аналитических функций.

В доказательстве, предложенном Бранжем, важную роль выполняет некоторая система п линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Решение этой системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям, оказалось монотонно убывающим до нуля на положительной части вещественной оси. Этот факт и позволил Бранжу решить задачу о коэффициентах. Таким образом решение данной системы (на самом деле совокупности систем, так как при фиксированном п е N, возникает конкретная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) при любых заданных начальных условиях и установление необходимых и достаточных условий, которым должны удовлетворять начальные значения, чтобы соответствующие интегральные кривые системы были заведомо монотонными, заслуживают особого изучения в рамках метода параметрических представлений средствами математического анализа, дифференциальных уравнений и теории специальных функций.

Цель работы. В данной работе, посвященной исследованию геометрических свойств классов аналитических (в том числе и однолистных) функций одного комплексного переменного, основными направлениями являются: вывод леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций, исследование уклонения функционала Милина, получение точных оценок коэффициентов на классе функций более общем, чем ограниченные однолистные в единичном круге функции с симметрией вращения, обобщение теоремы Бранжа, дающей положительный ответ относительно гипотезы Бибер-баха о коэффициентах, общий случай решения некоторой системы дифференциальных уравнений, имеющей важное значение в теореме Бранжа.

Методы исследования. Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов математического анализа, теории дифференциальных уравнений, методов геометрической теории функций, аппарата формального экспоненцирования Лебедева-Милина. В работе развиваются метод параметрических представлений Левнера и метод внутренних вариаций Шиффера-Голузина.

Научная новизна и практическая значимость. Идейным источником предлагаемой диссертации служат цикл научных работ П. П. Куфарева, И. А. Александрова, И. М. Милина, H.A. Лебедева, de Branges L. и других ведущих ученых в области теории функций. Принципиальные соображения, изложенные в этой работе, принадлежат профессору И. А. Александрову.

Результаты, представленные в диссертации, кроме введения, § 1 и частично §§ 2, 3, являются новыми. Работа носит теоретический характер. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами.

Основные результаты работы. 1. Получен аналог леммы типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций.

2. В классе выделен подкласс функций на котором отклонение функционала Милина монотонно возрастает.

3. Доказана более общая теорема об оценке коэффициентов голоморфных (в том числе и однолистных) функций.

4. Получен общий случай решения совокупности некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при любом фиксированном п е N.

Все полученные результаты опубликованы в статьях [57]-[64].

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на семинарах по геометрической теории функций в Томском государственном университете, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98, г. Новосибирск, 1998 г.) посвященном памяти С. Л. Соболева (19 081 989 гг.), на Сибирской межрегиональной конференции по исследованиям в математическом анализе и алгебре (г. Томск, 1998 г.), на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю. Г. Решетника (г. Новосибирск, 30 августа — 3 сентября 1999 г.), на Международной молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2001» (28 ноября — 1 декабря 2001 г., г. Казань).

Структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, трех глав (разбитых на параграфы), библиографии, оглавления и изложена на 102 страницах. Библиография диссертации содержит 64 наименования.

Содержание работы.

В § 1 главы I приводится вывод уравнения Левнера для производящей \г (г, т) и присоединенной Т7^, т) функций, которые необходимы для получения новых результатов.

Пусть D — односвязная область комплексной плоскости, 0 е D. Пусть из D исключена дуга, состоящая из конечного числа простых жорда-новых дуг, удовлетворяющая уравнению w — ср (х), 0 < т < т0. Тогда на промежутке 0 < т < т0 существует непрерывная функция ц (х) с модулем, равным единице, и такая, что функция |/(z, х) как функция параметра т, удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных frjj = H (T)+Z дх dz ji (x) — z с начальным условием |/(z, 0) =?z). Функция F (w, x) удовлетворяет дифференциальному уравнению с начальным условием F (w, 0) = f~w).

Функции ?z) из класса S, каждой из которых соответствует непрерывная на (0, со) функция ц (т), |ц (х) | = 1 и такая, что решение С, (z, х) уравнения (**) с начальным условием 0)—z однолистно и конформно отображает единичный круг Е на область, лежащую в круге и? z) = lim ет <^(z, х),.

X —" 00 образуют подкласс S' всюду плотный в S относительно равномерной сходимости внутри Е.

В § 2, следуя работам И. А. Александрова [6], H.A. Лебедева и И. М. Милина [30] устанавливается связь между модулями тейлоровских коэффициентов | Cn (f) | и модулями логарифмических коэффициентов | аn (f) | функции / е S, z) = z + C2(/)z2 +. + Cn (f)zn +.. (***) в виде неравенства.

Лемма 1 (Лебедев, Милин). Для любого коэффициента С&bdquo-(/) функции Дг) в ее разложении (***) выполняется неравенство.

Сn (f) I < п ¦ ехр

I v1 п L к к= 1.

1- 1ос,(/)|-)к иеМ{1}.

Следуя И. А. Александрову, функционал.

1 v1 ^ п ^ к к=.

1- ak (J)) = Mn (f) будем называть функционалом Милина, а коэффициенты ak (f) в разложении функции логарифмическими коэффициентами функцииf е S'. Коэффициенты уk (f) в разложении.

Iy k (f)-zk к= 1 также называют логарифмическими коэффициентами функции/ е S, причем.

00 = а,(/), keN.

В § 3 приводятся известные результаты о функционале Милина и рассматривается отклонение функционала Милина.

An (f) = Mn+l (f) -Mn (f), п е М{1}.

Задача об отклонении А&bdquo-(/) либо при фиксированной / е либо на классе S и его подклассах S состоит в оценке А&bdquo-(/) сверху и снизу an (S) s inf An (f) < 0 < < sup д&bdquo-(/) s bn (S), f? S JtS в частности, в подтверждении или опровержении предположения: an (S) — О для п е М{1}.

Указано множество функций S с S для которых inf An (f) = А"(Агф) = 0 (п е N).

6 S.

Пусть D — односвязная область с конформным радиусом относительно нуля, равным единице, получаемая исключением из плоскости С обобщенной жордановой дуги L, не проходящей через нуль. Пусть f[z), .ДО) = 0, -функция, отображающая единичный круг Е на С XL. Дугу L можно параметризовать таким образом L = {w: w = cp (i), 0 < t < oo}, что после присоединения к СМ дуги L (х) = {w — w — ф (т), 0 < х < t) функцию w = |/(z, т), отображающую круг Е на получившуюся область, можно полагать нормированной условием |i (z, х) = е z+. и продолжаемой на границу круга Е.

Семейство функций |/(z, х) при х —> 0 равномерно сходится внутри круга Е к f[z).

Обозначим через ji (x), 0 < х < оо, точку единичной окружности, отображаемую функцией v|/(z, х) в точку ср (х) границы области (СL) U L{x). Функция \f (z, х) удовлетворяет в Е уравнению Левнера в частных производных (*).

Пусть Г^(х) 1,2,.) — логарифмические коэффициенты функции е 1 |j (z, х) е S' Гx{x)z+ .+Tk{x)zk+.. z е z.

Для функции Г*(т) при фиксированном к е Л^, получим управляемую систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями Г^(0) = Ук (/).

Г[(т) = Щ (т) + 2цт) Р,(т), где.

1 1 к~1 Ро (т) = 2, Рл-1(т) = 2 + Е^Гт (т) ци (т). т—.

Решая первые два уравнения системы методом вариации произвольной постоянной и в соответствии с вариационной леммой (см. [4], стр. 194) находим точные оценки для | ух (/) | и | у2(/) | на классе б1.

Вводим в рассмотрение функцию.

А"(т) = Д,(е" т Ч) = ^т^т ?(1-*21г,(т) |2). 1.

Отметим, что А&bdquo-(0) = Д&bdquo-(/).

Устанавливаем условия, при которых.

Л&bdquo-(0) > Л (со).

Во второй главе изложено полное решение задачи об оценке модулей тейлоровских коэффициентов голоморфных функций класса Тр ((), М) с заданной структурной формулой и как следствия получены оценки коэффициентов функции класса £ДЛ/) и точные оценки на классе.

Пусть.

2 кр+1 № = X С,/-Н 2 к= 1 где Мчисло, М> 1.

Пусть к= 1 фиксированная голоморфная в точке = 0 функция. Рассмотрим множество функций вида.

Ф) =А?) с к= 1 р).

Множество М) получается, когда Дг) пробегает весь класс.

Р (М). При () = 0, класс Тр ((), М) совпадает с классом Г,(0, оо) = ^(оо) =.

В § 4 сформулирована и доказана лемма типа Лебедева-Милина на классе голоморфных функций вида.

Обозначим.

Лемма. Пусть 0.

Тогда последовательность.

Ск (/Р) схр адь-, монотонно убывает.

Следствие. Для любой функции.

00 < р) пр+1 Ъ Спр+ ¦

П= 1 среднее значение квадратов модулей коэффициентов удовлетворяет неравенству.

V1 Ар) I2//, п Л Л.

2, Юкр+х I < (и + 1) е И, л = 0, 1, .

В § 5 получена система дифференциальных уравнений с заданным р) управлением для коэффициентов Ф^ (7) в разложении функции Ф (г,.

Ф (2, о).

Обозначим через И>Р (М) с ЗДМ) подмножество функций, каждая из которых отображает круг Е на круг Ом —: |и> I < М} с разрезами по р попарно непересекающимся простым дугам Ьи ., ЬР, которые не проходят через точкум = 0 и оканчиваются на границе круга См. Множество 5'Р{М) всюду плотно в в топологии равномерной сходимости внутри Е.

Пусть/(г) е 8Р (М). Простую дугу Ьк {к — 1, ., р) зададим уравнением и> = е*ср (0, (0<�Г<1пМ), е* = ехр| ^ ^ |. Началу дуги Ьк соответствует t = 0, а концу этой дуги, принадлежащему окружности {w: w = M}, соответствует t = InМ. Образуем семейство областей G^jj) = {w: w е GmL (0}, где р

L (t) = U Lk (t), Lk (t) = {w: w = ср (т), 0 < т < f, 0.

Очевидно, Gjjx) c: GJjt?), если Q< InM..

Функция j/(z, t), j/(0, t) =¦ 0, vj/^O, t) = ег однолистно и конформно отображает круг Е на G>Jf) — по теореме Каратеодори о ядре семейства областей.

2, 0) фьЪМ) = Ш, и удовлетворяет уравнению Левнера в частных производных д\) ду хр + 2?.

Ы дг.

Функция Ф (г, в окрестности точки г = 0 имеет разложение.

00 (р) кр к= 1 где (р). ч (р), ч (р), ч Ф*р (0 = у*р (0 + МО, и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных дФ 1.

Ы + 2~ дФ ^ + 2 р)..

Отсюда получаем систему дифференциальных уравнений для Ф^(0 при каждом фиксированном к е N р) ф 1Р (?) =т+(з,(/), где Р 1 р).

Ро = 2> Р*(0 = 2+ 2 (РФ*,^, к= 1,2,.

1= 1 с начальными условиями р) (р) (р) Ф/р (0) = У/р (0) + д! р (0), 1−1,., к..

В § 6 вводится в рассмотрение система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

70 = 0 у = -р (п — 1)^1 ys = 2p X (—1) {n-j)yj~p (n-s)ys.

7=1 y s — 2, .n — 1), удовлетворяющая начальным условиям = —~ n-s t е [0, +со) (в ней п = 2,3,. фиксировано). Получаем для Ys n (i) формулу.

— 2тЛ '2 п-гЛp (n-r)t.

V 1 J е.

1 г J.

S (1 Ys, n (f) ~ ИИ п у.

Г= 1.

5 = 0,1,., й-1). Кроме того, имеет место неравенство.

Гл>я (0< 0, ?е[0,оо), 5 = 0, .,"-1. Функции ^,"(0 называют экспоненциальными многочленами Бранжа. В § 7 на множестве решений указанных систем уравнений, следуя Л. де Бранжу, зададим функцию п-1 ад = I (1 — k 1ф? о I2) wo, о <? < 1пм, к= имеющую в граничных точках промежутка следующие значения: nZ} П-к 2 | (р), 2.

Д.(0) = I — 0-* к (0)1),.

Л=1 п-1.

ЗДпМ)= 1,(1-к Ш М) пМ). к= 1.

Продифференцируем функцию 5"(/). Получим, что производная.

1 п~^ () 2 в’п{1) = -^ I 1Ф'ар (01 ^(0 неположительна на любом допустимом управлении О <? < 1пМ. Следовательно, с ростом t, функция Вп{() монотонно убывает от значения Вп{0) до значения Вп (пМ)..

Теорема. Пусть даны число М > 1 и голоморфная в точке н? = 0 функция.

ОМ = 2? & V/. к= 1.

Тогда для коэффициентов любой функции оо и=1 ад,^о имеют место оценки р) I ^ л+1)ехр^-^у? (!-/.