Баллонные моды и энергобаланс в токамаке с адиабатическим сжатием

Актуальность проблемы. Успешное развитие работ по магнитному удержанию плазмы в установках типа токамак /I/ в последнее время создало условия для перехода к новой стадии исследований по управляемому термоядерному синтезу. Эта стадия характеризуется проектированием и сооружением целого ряда больших установок, которые входят в строй в настоящее время и будут запущены в ближайшие годы. Основной задачей исследований на этих экспериментальных установках является изучение физических закономерностей поведения плазмы с параметрами, близкими к термоядерным.

Одной из важнейших и актуальных проблем, возникающих при исследовании плазмы с термоядерными параметрами, является проблема, связанная с ограничением на величину давления плазмы, которое могут накладывать баллонные моды в токамаке. Важность изучения вопроса о предельном достижимом значении параметра = 8эт<�р>/&о «характеризуемого отношением давления плазмы к давлению тороидального магнитного поля, определяется тем, что от величины этого параметра существенно зависит возможность создания экономически выгодного термоядерного реактора.

Получить информацию о свойствах термоядерной плазмы можно и на установке не очень значительного масштаба, используя способ организации эксперимента на токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы по малому и большому радиусу /2, 3/. Адиабатическое сжатие является эффективным способом дополнительного нагрева плазмы в токамаке. Однако оно может приводить к появлению в разрядах крутых профилей давления, локально неустойчивых относительно баллонных мод, а развитие неустойчивости баллонных мод сопровождается увеличением потерь энергии из плазмы и уменьшением ее энергетического времени жизни. Это обстоятельство необходимо учитывать при анализе энергобаланса плазмы в токамаке с адиабатическим сжатием. Поэтому актуальной задачей является теоретическое исследование устойчивости плазмы по отношению к баллонным модам, а также проведение численного моделирования энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием с учетом эффектов, связанных с взаимным влиянием профилей параметров плазмы и зависимостью от них энергетического времени жизни, которое может существенно снижаться при получении в разрядах профилей давления, неустойчивых относительно баллонных мод, то есть не являющихся предельными.

Цель настоящей работы состоит в теоретическом исследовании устойчивости плазмы относительно баллонных мод и моделировании их влияния на процессы переноса в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазменного шнура по малому и большому радиусу.

Диссертация состоит из четырех глав. В первых трех главах диссертации представлены результаты теоретического анализа устойчивости плазмы в токамаке относительно баллонных мод желобковой неустойчивости, которые могут приводить к усилению выноса энергии из плазмы при некотором критическом значении давления в ней. Сам факт возникновения ограничения на величину давления был впервые обнаружен в численных расчетах /4, 5/. Однако интерпретация этих результатов была затруднена из-за несовершенства аналитической теории, имевшейся в то время.

Начало исследованиям баллонных мод было положено работой Фюрта, Киллена, Розенблюта и Коппи /6/. В этой работе переменная кривизна силовых линий магнитного поля токамака моделировалась в плоской геометрии введением эффективной силы тяжести. Было показано, что несмотря на выполнение критерия Сайдема /7/ плазма оказывается неустойчивой при давлении большем критического. Величина критического давления определялась соотношением длин участков силовых линий с «плохой» и «хорошей» кривизной. В то-камаке участки с «плохой» кривизной находятся на внешнем обводе тора, а участки с «хорошей» кривизной — на внутреннем обводе. Соотношение длин участков фиксировано. Поэтому возник вопрос о том, как получить критерий устойчивости, учитывающий баллонный эффект в случае реальной геометрии токамака.

Кадомцев и Погуце предложили метод расчета, использующий малость отношения полей в токамаке В3//В0 (- магнитное поле тока, В0 — тороидальное магнитное поле), и получили следующий критерий устойчивости для токамака с круглым кожухом /8/: & -4 .о. (I)

А dr 2

Здесь S — шир, cj-rB0/RBj — коэффициент запаса устойчивости, ск —p'R^/Bo «R — большой радиус тора, Uмагнитная яма в токамаке. В этом критерии первые два члена — сай-демовские, то есть они имеются и в цилиндрической геометрии. Видно, что шир стабилизирует рассматриваемые возмущения, а градиент давления — причина неустойчивости. В тороидальной геометрии появились два новых эффекта: дестабилизирующий баллонный, цропорци-ональный (^з=8зТ<�р>/Вз, ? =г/R), и средняя магнитная яма, играющая стабилизирующую роль.

Более аккуратные вычисления, проведенные Шафрановым и Юрчен-ко, показали, что происходит взаимное сокращение членов, связанных с тороидальной 1фивизной, и критерий устойчивости принимает вид /9/ i (H2) (2>

Независимо критерий (2) был получен из энергетического принципа Узйром и Хаазом /10/, 1фоме того Шафранов и Юрченко показали /9/, что этот критерий следует также и из общегеометрического критерия Мерсье /II/.

В критерии (2) баллонный эффект отсутствует, так как он целиком сократился с углублением магнитной ямы в токамаке за счет конечного давления плазмы, и поэтому при с^ > не существовало ограничения на допустимое давление. Шафранов и Юрченко сделали попытку получить ограничение на давление, учитывая более высокие члены разложения по параметру << /12/, но аккуратные вычисления Михайловского показали, что члены порядка являются стабилизирующими /13/. Таким образом, казалось, что баллонные моды не представляют опасности.

Ситуация резко изменилась после опубликования результатов расчетов /4, 5/, которые показали, что неустойчивость начинает развиваться при давлении плазмы выше критического значения. Необходимо было получить аналитический критерий устойчивости баллонных мод, чтобы понять физическую природу ограничения на давление плазмы.

Прогресс в аналитических исследованиях баллонных мод в этот период в значительной мере связан с методом расчета, развитым Коннером, Хасти и Тейлором /14/ и независимо Ли и Ван Дамом /15/, Этот. метод позволил отказаться от предположения о сильной локализации рассматриваемых возмущений, которое было существенным моментом всех предшествующих вычислений, и свел исследование системы уравнений в частных производных, к которой приводит задача об устойчивости плазмы, к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения в фурье-пространстве. Вначале это уравнение, имеющее как периодические, так и непериодические коэффициенты, было решено численно /14/, а затем Погуце и Юрченко /16/, цред-ложив вариационный асимптотический способ для исследования этого уравнения, получили аналитический критерий устойчивости баллонных мод для круговых магнитных поверхностей:

С* / 1 Qi2 Я f- + -io (e >0. (3)

Этот критерий показывает, что при спадающем профиле тока, когда шир S > 0, существует ограничение на давление плазмы, накладываемое неустойчивостью из-за баллонного эффекта, связанр, 2 / -vis1 ного с широм Ь<�л. Дестабилизирующим является и член оСе, отражающий эффект перекрытия возмущений на близких рациональных магнитных поверхностях. Критерий (3) дает достаточно жесткое ограничение на величину давления плазмы. Однако этот критерий был получен для круговых магнитных поверхностей. В то же время хорошо известно, что за счет изменения формы магнитных поверхностей можно существенно улучшить устойчивость плазмы. В связи с этим возникает вопрос о получении аналитического критерия для некруговых магнитных поверхностей. Такой 1фитерий может существенно помочь в процессе оптимизации формы поверхностей в токамаке наряду с использованием численных кодов /17 — 19/.

Первая глава диссертации посвящена выводу и анализу аналитического критерия устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением /20/. В § I изложена процедура получения двумерного уравнения в частных производных, являющегося исходным при нахождении 1фитериев, дающих границу устойчивости плазмы относительно идеальных гидромагнитных неустойчивостей. В основу этой процедуры положен метод разложения исходных уравнений по малому параметру Bj / В0 > определяемому отношением магнитных полей в токамаке, предложенный впервые Кадомцевым и Погуце /8/. Полученное уравнение записано в симметричной форме, что позволяет легко доказать самосопряженность его дифференциального оператора. Поэтому можно написать для этого двумерного уравнения в частных производных функционал, который представляет собой потенциальную энергию возмущений. Показано, что этот функционал сводится к виду, полученному Погуце и Юрченко /21/ для потенциальной энергии прямой процедурой упрощения общего энергетического принципа методом разложения по малому параметру отношения полей. Во втором параграфе описывается, как, используя приближение эквивалентных гармоник /17/ при исследовании высоких мод баллонной неустойчивости (П<^>> 1, птороидальный номер гармоники возмущения, С^ - коэффициент запаса устойчивости), можно существенно упростить математическую задачу, сводя ее к анализу обыкновенного дифференциального уравнения в фурье-пространстве /14/, имеющего как периодические, так и непериодические коэффициенты, и соответствующего этому уравнению функционала. В § 3 приводятся результаты расчета критического давления плазмы, выполненного автором для установки токамак T-II /22/ с помощью аналитического критерия устойчивости относительно баллонных мод, полученного ранее Погуце и Юрченко /16/ для круговых магнитных поверхностей, и с помощью численного кода Захарова /17/. Отмечено соответствие результатов этих двух способов исследования устойчивости, показывающих, что баллонные моды же-лобковой неустойчивости дают достаточно жесткое ограничение на величину допустимого давления плазмы в случае токамака с круглым сечением,

В § 4 проводится вывод аналитического критерия устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением плазменного шнура, а в пятом параграфе этот критерий анализируется. Наибольший практический интерес, по-видимому, представляет случай совместного действия эллиптичности и треугольности (D — образная форма сечения). Расчеты величины допустимого давления плазмы для токамака D «образной формы сечения, проведенные с помощью выведенного локального аналитического критерия устойчивости /20/, показывают, что хорошо подобранные профили тока и давления позволяют достигнуть относительно больших значений давления плазмы (J5 ~ 4 6%), которые в два-три раза выше значений, получаемых для шнура 1фуглого сечения.

Во второй главе рассмотрен вопрос о радиальной структуре баллонных мод с высокими номерами /23 — 25/. Анализ радиальной структуры является вторым важным этапом при исследовании устойчивости плазмы после получения на первом этапе локальных критериев, о которых шла речь в первой главе. Для решения задачи о радиальной структуре идеальных баллонных мод Коннером, Хасти и Тейлором /26/ была разработана операторная теория возмущений, использующая малость отношения ширины огибающей гармоник возмущения к характерному размеру неоднородности. С использованием этой техники было показано, что локальный инкремент, получаемый на первом этапе исследования устойчивости, фактически является потенциалом радиального уравнения для огибающей гармоник, а наименьшее собственное значение для этого уравнения определяет истинный инкремент. В § 2 второй главы описывается предложенная вариационная формулировка задачи о радиальной структуре. Идея метода демонстрируется на уже известной задаче о радиальной структуре идеальных баллонных мод. В § 3 предложенный вариационный способ применяется для анализа радиальной структуры беспороговой дисси-пативной баллонной моды /27/, которая важна потому, что согласно локальной подходу она может существовать и при давлении плазмы ниже 1фитического значения, определяемого идеальными баллонными модами. Проведенное рассмотрение радиальной структуры этой неустойчивости показало, что, как и в случае идеальных баллонных мод, зависимость локального инкремента неустойчивости от радиуса определяет вид потенциала для радиального уравнения. Из конкретных расчетов следует, что локальный инкремент беспороговой диссипа-тивной баллонной моды нарастает к границе плазменного шнура, а потенциал радиального уравнения не имеет минимумов и монотонно спадает от центра плазмы к ее границе. Поэтому сделан вывод о том, что беспороговые дисеипативные баллонные моды не могут локализоваться в центральной области плазменного шнура, а «сваливаются» к границе плазмы. Для идеальных баллонных мод, возникающих при превышении порога по давлению, возможность локализации во внутренней области плазмы доказана.

В работах Мерсье /28/, Фильдинга и Хааза /29/, Захарова /17/ по идеальным баллонным модам было обнаружено, что при дальнейшем повышении давления выше критического плазма вновь становится устойчивой. Появление второй зоны устойчивости естественно связать с эффектом самостабилизации плазмы высокого давления, обнаруженным Михайловским и Шафрановым /30/. Для учета этого эффекта было необходимо получить аналитический критерий устойчивости баллонных мод с точностью до членов порядка cL^ /31/. Проведя последовательные расчеты, учитывающие члены такого порядка, Михайловский и Юрченко получили аналитический критерий устойчивости баллонных мод, связанных с широм, который описывает обе зоны устойчивости /32/. В этом же приближении был записан и критерий устойчивости типа Мерсье. Оба эти критерия являются необходимыми. Поэтому представлялось важным получить аналитический критерий устойчивости, который включал бы в себя ранее полученные критерии как частные случаи.

В третьей главе диссертации получен обобщенный аналитический критерий устойчивости плазмы в токамаке относительно идеальных баллонных мод желобковой неустойчивости /33, 34/. Этот критерий устойчивости является более жестким по сравнению с критерием устойчивости баллонных мод, связанных с широм /32/, и критерием типа Мерсье. В первых двух параграфах третьей главы дан вывод и анализ обобщенного 1фитерия устойчивости. В § 3 проведено модельное рассмотрение устойчивости плазмы при большом давлении, учитывающее эффект насыщения магнитной ямы при увеличении давления плазмы. Такое рассмотрение показало высокую чувствительность второй зоны устойчивости к изменению параметров равновесной конфигурации. Полученный в третьей главе обобщенный аналитический критерий устойчивости используется в следующей главе для учета влияния баллонных мод на энергобаланс в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием.

Четвертая глава посвящена численному моделированию энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы на основе разработанной расчетной модели /35 — 38/. Эта работа была выполнена в связи с проводившимися в ИАЭ исследованиями по возможности применения адиабатического сжатия в токама-ках в качестве метода получения плазмы с термоядерными параметрами /2, 3/. Выводы работ /2, 3/ основаны на результатах расчетов, полученных с помощью «нульмерной» модели для описания энергобаланса плазмы, с адиабатическим пересчетом /39/ ее параметров при сжатии. Подход, основанный на «нульмерной» модели, обладает несомненным достоинством — простотой, дающей возможность проводить оценки вклада многих физических эффектов, а также учитывать инженерные проблемы. Поэтому такой подход полезен при первоначальном анализе энергобаланса в установках и часто испольуется /40, 41/. Тем не менее он требует уточнения и дополнения на основе использования более совершенных моделей для описания процессов переноса и в первую очередь одномерной модели.

Следует отметить, что впервые расчеты процессов переноса для токамака на основе одномерной модели были представлены в докладах Днестровского и Костомарова, а также Мерсье и Суббарамай-ера в 1969 году на конференции в Дубне /42/ по удержанию плазмы в замкнутых системах. В этих работах описаны результаты численного моделирования энергобаланса для разрядов в токамаке с омическим режимом работы. Предложенные модели энергобаланса оказались очень полезными для описания медленных эволюционных процессов в токамаке и поэтому получили широкое распространение и дальнейшее развитие /43 — 47/ с целью улучшения количественного согласия результатов расчета с экспериментом. Первые расчеты энергобаланса с включением эффектов поджатия по малому радиусу были выполнены в 1971 году Днестровским, Костомаровым и Павловой /48/. В этой работе было отмечено улучшение теплоизоляции плазмы при отрыве ее от стенок.

Использование сжатия по большому радиусу для нагрева плазмы было предложено Арцимовичем /49/. Такой способ нагрева плазмы исследовался на установке АТС в Принстоне с 1972 года /50/. В это же время проводились ранние эксперименты по поджатию плазмы по малому радиусу на установках типа «Туман» в ЛФТИ /51/.

Эксперименты по изучению возможности применения адиабатического сжатия в токамаках успешно ведутся и в настоящее время /52 — 55/. Параллельно с экспериментальными исследованиями проводятся и расчеты энергобаланса, причем в последнее время начинают использоваться транспортные модели, включающие расчет равновесия плазмы и эволюции магнитных поверхностей /56/. Модели для описания явлений переноса, лежащие в основе численных транспортных кодов, непрерывно совершенствуясь в соответствии с задачами, выдвигаемыми экспериментом, используются не только для анализа экспериментальных данных, но и применяются для прогнозирования результатов проектируемых установок. Примером тому могут являться работы по обоснованию международного проекта реактора-токамака ИНТОР /57, 58/.

Результаты, представленные > в четвертой главе диссертации, явились следствием численного моделирования энергобаланса, также выполненного с целью прогнозирования достижимых параметров плазмы в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием при различных режимах работы.

В § I четвертой главы описывается физическая модель, положенная в основу численных расчетов энергобаланса, приведены основные уравнения, получены граничные условия, учитывающие влияние геометрии системы при сжатии. Во втором параграфе излагается используемый способ описания эволюции плазменного шнура на начальной стадии разряда до сжатия, когда происходит пробой и подъем тока в плазме. Так как в токамаке с комбинированным сжатием для повышения эффективности сжатия предусмотрен дополнительный нагрев, в § 3 описана модель дополнительного нагрева инжекцией пучка нейтралов. Эта модель учитывает, что в системах относительно малых размеров и со слабым током ширина банана запертого горячего Иона оказывается порядка размеров системы, и его энергия существенным образом распределяется по радиусу, а не передается плазме лишь на той магнитной поверхности, где произошел акт ионизации нейтрала /59/. В § 4 представлены результаты расчетов динамики плазмы в режимах с комбинированным сжатием. Для построения общей картины энергобаланса прослеживается эволюция параметров плазмы на всех стадиях разряда. Рассмотрено влияние степени рециркуляции частиц на параметры плазмы в разряде. Показано, что во время сжатия по большому радиусу при полном рециклинге происходит ски-нирование плотности плазмы, обусловленное сгребанием диффузионных хвостов плазмы, так как плазменный шнур переходит в область с меньшим по размеру радиусом камеры. Анализируется зависимость конечных параметров плазмы при сжатии от величины мощности дополнительного нагрева, а также зависимость параметров разряда от величины начального тока перед сжатием. Отмечается существенное увеличение энергетического времени жизни при сжатии по малому радиусу. В результате расчетов найден режим с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, при которой можно получить наибольшую мощность термоядерного выхода. Проведенный анализ энергобаланса позволяет сделать вывод о возможности получения в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы с параметрами, близкими к термоядерным. При таких параметрах в плазме возможно возникновение баллонных мод желобковой неустойчивости, для которой энергетическим резервуаром является тепловая энергия плазмы. Приведенные в § 5 результаты численных расчетов энергобаланса, в которых моделировался эффект увеличения потерь энергии при возникновении неустойчивости баллонных мод путем резкого увеличения локального коэффициента электронной теплопроводности /60/ в момент нарушения обобщенного аналитического критерия устойчивости, дополняют представленный в предшествующих параграфах анализ энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием.

Научная новизна. В диссертации рассмотрено влияние повышения давления плазмы на ее устойчивость. Получен аналитический критерий устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением.

Исследован вопрос о радиальной структуре беспороговой дис-сипативной баллонной моды. Показано, что эта неустойчивость стремится локализоваться на границе плазмы.

Выведен обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно вдеальных баллонных мод желобковой неустойчивости. Полученный критерий уточнил границу области устойчивости и разъяснил вопрос о связи критерия Мерсье с критерием баллонных мод.

Разработана численная модель для анализа энергобаланса в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием, учитывающая влияние баллонных мод с помощью обобщенного аналитического критерия устойчивости. В результате численного моделирования обнаружено существование режима с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, позволяющей получить наибольший выход термоядерной мощности в момент максимального сжатия. Показано, что баллонные моды начинают приводить к снижению максимально достижимых параметров в токамаке с комбинированным сжатием при достаточно высоких значениях давления плазмы (J5 ~2%).

Практическая ценность работы. Полученные в работе аналитические критерии устойчивости плазмы относительно баллонных мод могут применяться для оценок критических градиентов давления плазмы и достижимых значений параметра в токамаке.

Результаты, полученные в данной диссертации, были использованы при анализе возможности получения в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием плазмы с параметрами, близкими к термоядерным.

Автор выносит на защиту.

1. Аналитический критерий устойчивости плазмы относительно баллонных мод желобковой неустойчивости в токамаке с некруглым сечением. Анализ этого критерия показал, что в плазменном шнуре с Dобразной формой сечения критические градиенты давления существенно больше, чем в шнуре круглого сечения, а допустимое давление плазмы может быть увеличено в два-три раза.

2. Вариационный подход для изучения радиальной структуры высоких мод баллонной неустойчивости, с помощью которого показано, что беспороговые диссипативные баллонные моды не локализуются в центральной области плазмы, а «сваливаются» к ее границе.

3. Обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно идеальных баллонных мод, который является более жестким, чем критерий Мерсье и критерий баллонных мод, связанных с широм.

4. Результаты численного моделирования энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием при учете влияния баллонных мод с помощью обобщенного критерия устойчивости.

Апробация работы. Основные результаты исследований, представленные в диссертации, докладывались на УШ конференции МАГАТЭ по физике плазмы и УТС (Брюссель, 1980), на X Европейской конференции по физике плазмы и УТС (Москва, 1981), на УП объединенном семинаре по вычислительной физике (Сухуми, 1981), на XI Европейской конференции по физике плазмы и УТС (Аахен, 1983) и опубликованы в работах /3, 20, 23−25, 33−38, 60/.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации:

1. Проведено теоретическое исследование влияния повышения давления плазмы в токамаке на ее устойчивость. Впервые получен локальный аналитический критерий устойчивости плазмы в токамаке с некруглым сечением относительно баллонных мод желобковой неустойчивости, связанных с тиром. Из критерия наглядно следует, что наибольший интерес представляет Dобразная форма сечения плазменного шнура, и что уплощение профиля тока приводит к увеличению допустимого давления плазмы по отношению к баллонным модам желобковой неустойчивости. В плазменном шнуре с Dобразной формой сечения значения величины допустимого давления плазмы в два-три раза больше, чем в шнуре с круглым сечением.

2. Впервые рассмотрен вопрос о радиальной структуре беспороговой диссипативной неустойчивости баллонных мод, которая может существовать при давлении плазмы ниже критического значения, определяемого идеальными баллонными модами. С помощью предложенного вариационного подхода показано, что эта неустойчивость стремится локализоваться на границе плазмы.

3. Впервые выведен обобщенный локальный критерий устойчивости плазмы с закрепленной границей в токамаке относительно идеальных баллонных мод желобковой неустойчивости. Полученный критерий уточнил границу области устойчивости и установил связь между ранее существовавшими критериями. Обобщенный критерий устойчивости является более жестким, чем критерий Мерсье и необходимый критерий устойчивости баллонных мод, связанных с широм. Предложено использовать полученный обобщенный критерий устойчивости для оценки влияния баллонных мод на энергобаланс в токамаке.

4. Проведено моделирование энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием на основе разработанной численной модели, учитывающей влияние баллонных мод с помощью обобщенного локального критерия устойчивости. Отмечено существенное увеличение полного энергетического времени жизни при сжатии по малому радиусу, что объясняется отжатием горячих областей плазмы от стенки и запиранием теплового потока по электронному каналу. Обнаружено появление скинирования профиля плотности при сжатии по большому радиусу. Этот эффект существенно зависит от степени рециркуляции частиц. Найден режим с оптимальной средней плотностью плазмы перед сжатием, позволяющей получить наибольший выход термоядерной мощности в момент максимального сжатия. Показано, что баллонные моды желобковой неустойчивости начинают приводить к снижению максимально достижимых параметров в токамаке с комбинированным адиабатическим сжатием при достаточно высоких значениях давления плазмы (J3 ~ 2%).

В заключение выражаю глубокую благодарность д.ф.-м.н. 0.П.Погуце за руководство работой и поддержку. Автор признателен д.ф.-м.н. В. А. Чуянову за постоянный интерес к работе по моделированию энергобаланса для токамака с комбинированным адиабатическим сжатием, а также коллективу сотрудников Отдела теории плазмы за обсуждение работы.