Исследование метода инвариантного погружения в задачах оптимизации

Современный этап научно-технической революции характеризуется постоянно возрастающим вниманием к проблемам управления. Теория управления получила дальнейшее развитие благодаря появлению электронно-вычислительной техники, которая позволила создавать сложные алгоритмы управления. Развитие теории управления в последнее время определяла идея оптимизации. Задачи оптимизации по своему смыслу являются вариационными, но их усложняет необходимость учета при построении оптимальных процессов различного рода ограничений, задающих замкнутые области допустимых изменений переменных. Это и определяет особенности, которыми характеризуются направления развития теории оптимальных систем. Часть методов теории оптимальных систем базируется на аппарате классического вариационного исчисления и теории приближенных вычислений, другая частьметоды, специально созданные для теории оптимальных систем. Но в настоящее время в теории оптимизации существует разрыв между теоретическими исследованиями задач оптимизации и практикой их решения. Несмотря на то, что разработаны условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понт-рягина и принципа динамического программирования Р. Белл-мана, на практике используются в основном методы направленного перебора, разностные и градиентные метод и другие, непосредственно не связанные с условиями оптимальности.

Трудности всех классических методов решения задач оптимизации происходят из-за необходимости составления вспомогательной системы дифференциальных уравнений, которые вместе с исходными уравнениями связей ведут к решению некоторой двухточечной граничной задачи. Существующие методы решения граничных задач (конечно-разностный метод, метод пристрелки, метод дифференциальной прогонки и другие) весьма трудоемки, имеют свои проблемы получения численного решения граничной задачи и, кроме того, весьма часто неустойчивость счета не позволяет получить достаточно точное решение задачи. Особенно серьезные трудности возникают при численном решении задач оптимального управления в связи с тем, что в граничную задачу, получаемую в результате использования принципа максимума Л. С. Понтрягина, входит сопряженное уравнение. Поэтому, даже если управляемый объект собственно устойчив, что обычно и предполагается, то решения сопряженной системы неустойчивы, т. е. при достаточно больших значениях длины интервала интегрирования значения сопряженных переменных могут быть настолько велики, что вызовут переполнение разрядной сетки ЭВМ. В связи с этим понятна актуальность задачи разработки новых, более эффективных методов решения граничных задач, устойчивость вычислительного процесса которых не зависит от устойчивости исходной граничной задачи.

Для численного решения граничных задач может быть применен метод инвариантного погружения, суть которого состоит в сведении граничных задач к задачам Коши, т. е. в том, чтобы сформулировать задачу Коши, решение которой единственным образом определяет решение граничной задачи и наоборот. Такое сведение становится возможным благодаря введению новых переменных состояния — параметров, погружению (включению) данной конкретной задачи в семейство подобных ей задач и рассмотрению взаимосвязи между близкими задачами семейства. Одним из главных достоинств метода является тот факт, что несмотря на то, что исходная граничная задача численно неустойчива, эквивалентные задачи Коши имеют численно устойчивое решение.

Впервые идеи метода инвариантного погружения были высказаны советским ученым В. А. Амбарцумяном в 1943 году и развиты Чандрасекхаром, который и ввел понятие «принцип инвариантности» .Затем метод инвариантного погружения активно разрабатывался зарубежными учеными Беллманом, Калаба, Касти, Уингом, Прейзендорфом, Алспо, Кагивада и другими. В Советском Союзе до последнего времени (до появления работ П.И.Монастырного) метод инвариантного погружения не входил в арсенал численных методов решения граничных задач. За рубежом особенно интенсивно развивался прикладной аспект метода инвариантного погружения, который успешно применялся для решения задач теории нейтронной диффузии, переноса лучистой энергии, распространения волн и многих других физических задач.

Существуют различные вычислительные схемы метода инвариантного погружения: для случая системы из двух скалярных уравнений, для линейных и нелинейных граничных задач, для решения интегральных уравнений и т. д.Особенно сложны и интересны вопросы применения метода инвариантного погружения к многомерным граничным задачам, которые не позволяют непосредственно использовать технику метода инвариантного погружения. Вычислительные схемы для многомерных граничных задач были предложены Алспо, Каги-вадой, Бретеникером, Мейером. Однако все они имеют некоторые недостатки: одни — трудоемки, с помощью других нельзя получить достаточно точное решение задачи.

В данной диссертационной работе рассматриваются вопросы применения метода инвариантного погружения для многомерных граничных задач, а также вопросы применения метода инвариантного погружения в сочетании с принципом максимума Л. С. Понтрягина и принципом динамического программирования для решения некоторых классов задач оптимального управления. В диссертации приводятся новые результаты, полученные в направлении обобщения метода инвариантного погружения на граничные задачи для линейных и нелинейных многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В первой и второй главах диссертации приводятся новые вычислительные схемы метода инвариантного погружения для линейных и нелинейных многомерных граничных задач соответственно. Здесь же дается доказательство эквивалентности полученного семейства задач Коши и граничной задачи, приводятся результаты нескольких численных экспериментов, поставленных для проверки работы предложенных вычислительных схем, дается сравнение этого метода и других численных методов решения подобных граничных задач, исследуются вопросы сходимости, устойчивости, погрешности метода инвариантного погружения, оценены временная и емкостная сложности предложенных алгоритмов.

В третьей главе показано, как метод инвариантного погружения совместно с принципом максимума Л. С. Понтрягина может быть применен для решения задач оптимального управления, сводящихся к задаче о минимизации конечного значения переменной состояния.

В четвертой главе определяется достаточно широкий класс задач оптимального управления, которые решаются с помощью метода инвариантного погружения (совместно с принципом максимума и принципом динамического программирования), приводятся алгоритмы решения двух распространенных задач оптимального управления.

Все предложенные алгоритмы реализованы на алгоритмическом языке Ф0РТРАН-1У.Тексты программ даны в при-ложе нии I.

По теме диссертационной работы опубликовано три статьи, две статьи находятся в печати (депонирование).

Работа выполнена на кафедре автоматизации сложных систем факультета прикладной математики-процессов управления Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова,.

Материалы диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры автоматизации сложных систем и численного анализа ЛГУ им. А. А. Жданова, научной конференции факультета прикладной математики-процессов управления (1981 год), на ХУ1 конференции, «Управление динамическими системами» (Ленинград, 1984 г.).

— 1и.

I.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем.

1. Исследованы вопросы применения метода инвариантного погружения для решения линейных и нелинейных граничных задач для многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными граничными условиями, численное решение которых является весьма важной и актуальной задачей во многих областях науки и техники, например, в теории оптимального управления. Предложен ряд новых вычислительных схем для многомерных линейных и нелинейных граничных задач с различными граничными условиями.

2.Доказаны теоремы, устанавливающие эквивалентность исходных многомерных граничных задач и семейства задач Коши, к которому граничные задачи сводятся в результате применения метода инвариантного погружения. Рассмотрены вопросы сходимости, устойчивости предложенных алгоритмов. Показано, что при выполнении определенных условий предложенные вычислительные схемы образуют устойчивый численный процесс, несмотря на то, что исходная граничная задача может быть неустойчивой.

3.Приведен расчет временной и емкостной сложности предложенных алгоритмов, подтверждающий возможность их использо- • вания для решения задач достаточно большой размерности. Приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающие правильность работы предложенных вычислительных схем и показывающие, что метод инвариантного погружения дает возможность получить достаточно точное решение граничной задачи за небольшое время и при использовании небольшого объема памяти ЭВМ. Приводятся результаты сравнения работы предложенных схем и других методов численного решения подобных задач, показывающие преимущества метода инвариантного погружения.

4.Показано, как предложенные вычислительные схемы могут быть применены для решения задач оптимизации, которые с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина сводятся к некоторой специальной граничной задаче. Рассмотрены вопросы использования метода инвариантного погружения для решения различных классов задач оптимально о управления, например, линейных задач оптимального управления с квадратичным функционалом, задач Майера, линейных по фазовой переменной и по управлению-приведены результаты их решения с помощью предложенных вычислительных схем. Рассмотрены вопросы решения задач оптимизации с фазовыми ограничениями в виде неравенств с помощью метода штрафных функций, динамического программирования и инвариантного погружения.

5.Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что разработан и отлажен комплекс алгоритмов и программ для решения многомерных линейных и нелинейных граничных многомерных задач на основе метода инвариантного погружения. Разработанный комплекс алгоритмов и программ используется в Ленинградском научно-исследовательском вычислительном центре Академии Наук СССР в прикладных программах пользователей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.