Некоторые вопросы теории диофантовых уравнений

Лагранж [27] в 1770 году доказал, что всякое целое неотрицательное число N можно представить в виде х + х22 + Ж3 + х = N, хг > 0, х2 > 0, хц >0,х4> 0, здесь и в дальнейшем все переменные, участвующие в уравнениях, принимают только целые значения).

Варинг [33] в том же году высказал гипотезу, что при всяком п > 2 существует такое к = к (п), при котором уравнение = N, хг >0,., хк > 0, (0.1) разрешимо для всех натуральных N. Это утверждение получило название пр°блемы Варинга.

Первое общее (при всех п) решение прблемы Варинга было дано Гильбертом [26] в 1909 году с очень большим числом слагаемых к в зависимости от п.

В 1920 году Харди и Литтлвуд [25] опубликовали новое решение проблемы Варинга с помощью метода, который в последствии получил название кругового. Они установили для G (n) верхнюю границу.

G (n) = n2n~2h (n), Jim h (n) = 1, через G{n) обозначается наименьшее к, при котором уравнение (0.1) разрешимо для достаточно больших N). Кроме того при к > (п — 2)2n1 + 5 они вывели асимптотическую формулу для I (N) — числа решений уравнения (0.1):

I (N) = ^aN"-1 + 0{N^~l~c °), (0.2) где 7 = ' со > 0 и «г — особый ряд, сумма которого оценивается снизу положительной константой.

В своих исследованиях Харди и Литтлвуд применяли метод производящих функций и оценивали некоторые суммы, пользуясь методом Г. Вейля [34].

В последствии Хуа Ло-Ген [31], видоизменив вывод Харди и Литтл-вуда, установил справедливость формулы (0.2) при к>2п + 1.

В 1934 году И. М. Виноградов нашел новый метод оценки тригонометрических сумм, который позволил получить значительные продвижения в различных вопросах теории чисел. Пользуясь этим методом в работе [6], И. М. Виноградов получил оценку < 6п (1пп + 10).

Ряд статей И. М. Виноградова был посвящен асимптотической формуле для /(А7″). Так в его работе 1935 года [3] доказана справедливость формулы (0.2) при п > 20, к > 91п8(1п п + I)2, а в работе 1936 года [7] при п> 20, к > 131п5(1пп)2.

В 1947 году вышла книга [17], в которой Хуа Ло-Ген значительно упростил метод Виноградова. Хуа Ло-Геном была выделена теорема, которую он назвал теоремой Виноградова о среднем значении. Там же была доказана справедливость формулы (0.2) при п > 14, к > п3(1пп + 2.21п1пга).

В 1942 году Ю. В. Линник в [15], [16] и И. М. Виноградов в [9], [10] получили более точные оценки тригонометрических сумм. Пользуясь новыми оценками в 1947 году в работе [5] И. М. Виноградов доказал формулу (0.2) при п > 12, к > 10п21пп.

В 1949 году в работе [29] Хуа Ло-Ген уточнил оценку теоремы Виноградова о среднем и показал справедливость формулы (0.2) при п > 12, к > 4п2(1п п + 0.51п 1п п + 8).

В главе 1 настоящей диссертации формула (0.2) доказывается при п> 4, к > 2[п2(1пп + 1п1пп + 6)]. (0.3).

При выводе асимптотической формулы для числа решений уравнения Варинга необходимо уметь оценивать величину 1к (Р) — число решений уравнения Харди-Литтлвуда + у?= О, 0 <�хъ., ук<�Р. (0.4).

В работах И. М. Виноградова и Хуа Ло-Гена для оценки 1к (Р) применялась теорема Виноградова о среднем, которая утверждает, что величина Ик (Р), равная количеству решений системы х±- +. — ук = 0, .0<�хг,., ук <Р, (0.5) • • • «У1 = о, при т > 1, к > пт удовлетворяет оценке мк (Р)» ры-^+^У. (0.6).

При выводе соотношения (0.6) используется лемма &bdquo-о сдвиге", которая утверждает равносильность систем хх + .-ук = 0, х" +. — ук = 0, и х1 + а) +. — (ук + а) = 0, х1 + а) п + .- (ук + а) п = 0, для любого целого а. При оценке числа решений уравнения Харди-Литтлвуда возникает трудность, связанная с тем, что равенство (0.4) перестает быть верным, если все переменные одновременно изменить на некоторое число а. В главе 1 уравнение (0.4) дополняется до системы, для которой существует аналог леммы &bdquo-о сдвиге". Благодаря этому удается применить известные методы к оценке 1к{Р) и доказать, что при п > 3, т > п/2, к >п (п — 1) + пт выполняется соотношение.

1к (Р) (0.7).

Кроме проблемы Варинга в аддитивной теории чисел рассматривается вопрос об одновременном представлении нескольких натуральных чисел в виде сумм степеней целых неотрицательных чисел. 0 < жь., 0 < хк, (0.8) в которой.

1 < П <. .. < flf—i < nt = п.

Такие системы рассматривались в работах И. М. Виноградова [8], К. К. Марджанишвили [IS]—[20] и др. При выводе асимптотической формулы для числа решений системы (0.8) необходимо уметь оценивать величину Ik-niy., nt (Р), равную числу решений системы х? + .-ур= 0, 0<�хи., ук<�Р, хт + .-ут = 0,.

1 < щ <. < nt-i = m < nt = п.

В главе 1 тем же путем, что и для h (P), для величины 1к-, П1,., щ (Р) правильная по порядку оценка получена при п > 3, к > 2[n2(lnn + In In п + 5) + тп ln m].

Существуют различные обобщения проблемы Варинга. В работах Хуа JIo-Гена [32], [30] рассматривался вопрос о представлении чисел в виде.

Ж1) +. + /Ы = iV, (0.9) где f (x) — многочлен степени п с целыми коэффициентами. Хуа JIo-Ген доказал справедливость асимтотической формулы для числа таких представлений при к >2п + 1.

Позднее в [28] он доказал это утверждение при п > 13, к > 2n2(21nn + lnlnn + 2.5).

Хуа Ло-Ген изучал также вопрос о представлении чисел в виде (0.9), когда многочлен f (x) имеет вид f (z) = an (^j + ¦ ¦ ¦ (On,—-= 1.

Им в работах [32], [30] для G (f) (наименьшего к, при котором уравнение (0.9) разрешимо для достаточно больших n) были получены оценки.

2п — 1 < maxG (f) < (п — 1)2п+1.

S{x).

В 1951 году В. И. Нечаев в [21] доказал неравенство G х 4п Inn + 8п In In п.

Обобщение системы уравнений Виноградова (0.5) на случай сравнений рассматривалось Н. М. Коробовым в [13] и A.A. Карацубой в [11]. В статье [11] для некоторых натуральных q < Рп для числа решений системы хх +. — ук = 0 (mod 6гппп, (0.10) где г определяется равенством q = Рг. Эта оценка позволяет получать следствия для обобщений на случай сравнений уравнения Харди-Литтлвуда х1 +. + xl — у1 —. — yl = 0 (mod q), 0 < хъ ., ук < Р, и уравнения Варинга ^ х" +. — - + xl = N (mod q), (j) < хи ., хк < Р.

В работе В. А. Быковского [2] было рассмотрено обобщение системы (0.5) на случай неравенств. В этой статье при.

2 < г < п, к> -п2 + lOOrnlnr, — - - 4.

0.11) была получена правильная по порядку оценка числа решений системы ' хг +. + хк — уг —. — ук = 0, xi + ¦ ¦ • + хк ~ Уг ~ • • • - Ук = xr1+1 +. + xl+1-f1+1-.-yl+1.

0 < хи., Ук < Р.

Доказанная оценка позволила исследовать обобщение уравнения Харди-Литтлвуда на случай неравенств хп1+. + хпк-у?-.,.-у"<�Рп-г, О <�хи., ук<�Р. (0.12).

В статье В. А. Быковского для величины /¿-ДР), равной числу решений неравенства (0.12) при ограничениях (0.11) была получена правильная по порядку оценка.

Д>Г (Р) «Р2к-Г, (0.13) и при.

1 11 п>3, -х<�г<�п—, к > -п2 1000гп1п (г + 1), (0.14) с асимптотическая формула.

1к>г{Р) = 2 ^(к, п) Р2к~г + (0.15) где оо 1.

7(*, п)= I |У е2™х" (1×2к (1г. оо О.

В главе 2 настоящей диссертации оценка (0.13) получена при п > г > 4, к > 5то + 70г21п г, а асимптотическая формула (0.15) при и > 3, <г <п~, к > 40гп + 800г21п (г + 1).? ?

Видно, что оба последних условия являются более слабыми ограничениями на к, чем соответствующие границы (0.11), (0.14) из работы [2].

В настоящей диссертации используются различные леммы и теоремы, которые носят вспомогательный характер или являются вариантами известных утверждений. Их доказательства помещены в приложение.

§ 3.1 содержит леммы о коэффициентах Фурье неотрицательных функций, все коэффициенты которых также являются неотрицательными числами.

В § 3.2 с помощью оценки (0.7) доказывается асимптотическая формула для числа решений уравнения Варинга при ограничениях (0.3).

§ 3.3 содержит доказательство леммы Виноградова &bdquo-о попаданиях" с незначительно измененной формулировкой.

Результаты диссертации докладывались на семинаре проф. Н. М. Коробова &bdquo-Тригонометрические суммы и их приложения", на семинаре проф. A.A. Карацубы &bdquo-Аналитическая теория чисел и приложения" и на научно-исследовательском семинаре по теории чисел, руководителями которого являются проф. A.B. Шидловский, проф. Ю. В. Нестеренко, проф. В. И. Нечаев, доц. А. И. Галочкин.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [22]- [24].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Н. М. Коробову за поставленные задачи, внимательное руководство и многочисленные советы. Автор также выражает благодарность В. А. Быковскому за постановку задачи, решенной в главе 2.

1. Архипов Г. И., Карацуба А. А, Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. // М., Наука, 1987.

2. Быковский В. А. О системах неравенств. // Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1981, т. 129, 3−33.

3. Виноградов И. М. Асимптотическая формула для числа представлений в проблеме Варинга. // Мат. сборник, 1935, т. 42, 531−534.

4. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // М., Наука, 1980.

5. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. // Тр. матем. института им. В. А. Стеклова, 1947, т. 23, 1−109.

6. Виноградов И. М. Новая оценка G (n) в проблеме Варинга. // ДАН СССР, 1934, т. 4, № 5, 249−253.

7. Виноградов И. М. Об асимптотической формуле в проблеме Варинга. // Мат. сборник, 1936, т. 1(43), 169−174.

8. Виноградов И. М. Об одном классе совокупных диофантовых уравнений. // Изв. АН СССР, сер. физ.-матем., 1929, № 4, 355−376.

9. Виноградов И. М. Об оценках тригонометрических сумм. // ДАН СССР, 1942, т. 34, № 7, 199−200.

10. Виноградов И. М. Улучшения оценок тригонометрических сумм. // Изв. АН СССР, 1942, т. 6, 33−40.

11. Карацуба A.A. О системах сравнений. // Изв. АН СССР, Сер. матем., 1965, т. 29, 935−944.

12. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. // М., Наука, 1983.

13. Коробов Н. М. Об оценке рациональных тригонометрических сумм. // ДАН СССР, 1958, т. 118, № 2, 231−232.

14. Коробов Н. М. Тригонометрические суммы и их приложения. // М., Наука, 1989.

15. Линник Ю. В. Новые оценки сумм Вейля по методу Виноградова. // Изв. АН СССР, 1942, т. 6, 41−70.

16. Линник Ю. В. О суммах Вейля. // ДАН СССР, 1942, т. 34, № 7, 201 203.

17. Ло-Ген Хуа. Аддитивная теория простых чисел. // Тр. матем. института им. В. А. Стеклова, 1947, т. 22, 1−179.

18. Марджанишвили К. К. Об одновременном представлении чисел суммами первых, вторых,., п-ых степеней. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1937, 609−631.

19. Марджанишвили К. К. Об одной системе уравнений в прстых числах. // ДАН СССР, 1950, т. 70, 381−383.

20. Марджанишвили К. К. О некоторых нелинейных системах уравнений в целых числах. // Мат. сборник, 1953, т. 33(75), 630−675.

21. Нечаев В. И. Проблема Варинга для многочленов. // Тр. матем. института им. В. А. Стеклова, 1951, т. 38, 190−243.

22. Устинов A.B. О количестве слагаемых в асимптотической формуле для числа решений уравнения Варинга. // Математические заметки. 1998, т. 64, вып. 2, 285−296.

23. Устинов A.B. О системах уравнений Виноградовского типа. // МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 1998, 5с. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, № 3042-В98.

24. Устинов A.B. Об одном диофантовом неравенстве. // МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 1998, 18с. Деп. в ВИНИТИ 21.10.98, № 3041-В98.

25. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some Problems of Partitio Numenorum I. A New Solution of Waring’s Problem. // Gottinger Nachr., 1920, 33−54.

26. Hilbert D. // Gottinger Nachr., 1909, 17−36- Math. Ann., 1909, 67, 281−300.

27. Lagrange J.L. // Nouv. Mem. Acad. Roy. Sc. de Berlin, annee 1770, Berlin 1772, 123−133.

28. Loo-Keng Hua. Additive Primzahltheorie., // Acad. Sinica Press., 1953.

29. Loo-Keng Hua. An Improvement of Vinogradov’s Mean-Value Theorem and Several Applications., // Quart. J. Math., 1949, v. 20, N 77, 48−61.

30. Loo-Keng Hua. On a Generalized Waring Problem. //J. Chinese Math. Soc., 1940, v. 2, 175−191.

31. Loo-Keng Hua. On Waring’s Problem. // Quart. J. Math., 1938, v. 9, N 35, 199−202.

32. Loo-Keng Hua. On Waring Problem with Polinomial summands. / / Proc. London Math. Soc., 1937, v. 43 (2), 161−182.

33. Waring E. Meditationes algebraicae, // Cambridge, 1770, 204−205- ed. 3, 1782, 349−350.

34. Weyl H. Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins., // Math. Ann., 1916, 77, 313−352.