Некоторые вопросы асимптотической теории внутренних волн в пограничных слоях

Введенная в конце шестидесятых годов концепция самоиндуцированного давления оказалась исключительно плодотворной и во многом определила облик современной теории пограничного слоя с взаимодействием и отрывом. Согласно этой концепции градиент давления, в отличие от классических представлений Прандтля [1], индуцируется самим пограничным слоем и не может быть вычислен по решению внешней задачи потенциального обтекания. Результат асимптотического анализа системы уравнений Навье-Стокса [2−8] состоит в выводе уравнений Прандтля с самоиндуцированным давлением для непосредственно прилегающей к обтекаемой поверхности узкой подобласти, которая оказывает преобладающее влияние на рост толщины вытеснения пограничного слоя.

Наиболее впечатляющим результатом названной теории явилось раскрытие внутренней структуры течения вязкого газа в окрестности точки отделения нулевой линии тока от тела, включая описание самой сложной из подобластей в глобальной картине поля скоростей, а именно, той подобласти, где меняется знак параболичности системы уравнений Прандтля. Применение метода внешних и внутренних асимптотических разложений [9−16] и построение решения уравнений Навье-Стокса в виде рядов по обратным степеням числа Рейнольдса в трех расположенных друг над другом слоях (палубах) фактически придавало совершенно иной, неклассический, смысл уравнениям для пристеночной зоны течения: хотя эти уравнения сохраняли вид уравнений Прандтля, градиент давления уже не являлся известной функцией и подлежал определению из решения нетривиальной краевой задачи.

Нелинейная теория возмущений, описывающая процесс свободного взаимодействия, допускает обобщение на нестационарные течения [17−20], причем производные по времени в уравнениях первого приближения следует удержать лишь в упомянутом пристеночном подслое, если скорость набегающего из бесконечности потока сверхлибо дозвуковая. В двух других подобластях, а именно, в основной толще пограничного слоя и внешнем потенциальном потоке, движение газа квазистационарно, а производные по времени входят лишь в асимптотические уравнения для высших приближений.

Наоборот, при трансзвуковых скоростях движения газа зависимость искомых функций от времени оказывается существенной именно во внешней потенциальной части течения. Последнее обстоятельство составляет важную особенность распространения предложенной в [21] асимптотической модели взаимодействия пограничного слоя с трансзвуковым потоком на нестационарные движения [22]. Здесь квазистационарными оказываются поля скоростей в основной толще пограничного слоя и в вязком подслое. Однако обобщение [22] асимптотической схемы [21] не является единственно возможным. Альтернативный подход [23] к построению трехслойной теории нестационарных трансзвуковых течений имеет следствием ситуацию (не встречавшуюся ранее в асимптотическом анализе), когда члены с производными по времени входят как в систему уравнений для вязкого пристеночного подслоя, так и в уравнение для внешних потенциальных возмущений (которое, в отличие от аналогичного уравнения [22], становится линейным).

Если амплитуды возмущений превышают порядки величин, диктуемые предположениями теории [2−8], то асимптотический анализ пульсационных полей базируется на более сложной структуре поля потока. Для сверхи дозвукового диапазона такой анализ приводит к формулировке четырехслойной асимптотической теории [24, 25], существенным компонентом которой является обоснование применимости уравнений Бюргерса [26] и Бенджамина-Оно [27, 28] к описанию эволюции возмущений.

Развитые в [24, 25] представления позволили рассмотреть трансзвуковые течения с четырехслойной структурой области взаимодействия [29]. Как и в [22], волновая картина включает существенно нестационарные области в нижней пристеночной части пограничного слоя и в верхнем потенциальном поле потока. Однако само асимптотическое разделение области самоиндуцированного давления на четыре подслоя связано с рассмотрением класса возмущений, характеризующихся иной по сравнению с [22] нормировкой независимых переменных и искомых функций, в частности, большей относительной величиной амплитуд. Полученное в [29] интегро-дифференциальное уравнение, которое описывает процесс свободного взаимодействия, приводится к уравнениям Бюр-герса либо Бенджамина-Оно при выходе из трансзвукового диапазона (в сторону увеличения либо уменьшения числа Маха). В этом смысле развитая в [29] теория является аналогом подходов [24, 25], предложенных для отличающихся от единицы на конечную величину чисел Маха.

Если применимость концепции взаимодействия к внутренним течениям при больших числах Рейнольдса достаточно очевидна для задач о входе потока в канал или трубу [30], то в случае развитого невозмущенного течения в канале проявляется фундаментальное отличие внутренних течений от внешних: отсутствие примыкающего к вязким пограничным слоям основного невязкого потока. Тем не менее, как показано в [31], деформация стенок канала формирует градиент давления посредством имеющего невязкую природу смещения линий тока в ядре течения, которое взаимодействует с вязкими нелинейными пристеночными слоями. В результате, как и во внешних течениях [32], даже сравнительно тонкие, но длинные (по сравнению с толщиной канала) неровности на стенках могут приводить к большим локальным перепадам давления и вызвать отрыв вязкого потока. Дальнейшие асимптотические свойства и детали поля скоростей, присущие внутренним течениям, изучены в цикле работ [33−37].

Таким образом, разделение поля возмущенного потока на ряд расположенных друг над другом подслоев и последующее асимптотическое сращивание решений в каждом из них оказалось адекватным математическим приемом для асимптотического описания не только течений в пограничных слоях, но и внутренних течений в каналах и трубах. Элементы новизны по сравнению с известными результатами вносят выполненные в [38−42] исследования, в которых обнаружены явления и особенности движений вязкой жидкости, ранее остававшиеся вне поля зрения, но, как оказалось, поддающиеся анализу в рамках теории свободного взаимодействия.

Исследование коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля потребовала существенной модификации математической теории течения жидкости в области взаимодействия [43−46]. В качестве одного из результатов проведенного анализа обращает на себя внимание обнаруженная неединственность решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится данная задача при удовлетворении всех необходимых краевых условий. Более того, родственная по своей математической формулировке задача об отрыве обтекающей гиперболический профиль вязкой струи [47] обладает бесконечным числом решений. В связи с этим отметим, что движение в стационарном ламинарном двумерном конвективном течении около ориентированной вертикально нагретой пластины, а также в вязкой пристеночной струе аналогично пограничному слою, причем изменение на коротких расстояниях граничных условий (например, разрыв температуры либо излом поверхности) влечет за собой возникновение области взаимодействия с многослойной структурой [48−51].

Круг проблем неклассической теории пограничного слоя, который поддается исследованию посредством современных асимптотических методов, обрисован в обзорах [3, 5, 52−62] и в монографиях [8, 63, 64], по которым может быть восстановлена разработка интересных и важных вопросов, не затрагиваемых в дальнейшем изложении.

Как отмечено выше, нестационарный вариант трехпалубной теории свободного взаимодействия подразумевает введение временного члена в нелинейные уравнения для нижней палубы, где медленные пристеночные движения фактически определяют масштаб времени при условии непротиворечивости всей многослойной асимптотической конструкции. Впервые нестационарные эффекты рассмотрены в [17, 18, 22]- зависимость от времени включена в уравнения пограничного слоя для возмущений внутреннего течения в [31]. Однако начало исследований, в которых включение временной переменной в уравнения трехпалубной схемы трактуется не как реализация формальной возможности модификации некоторой известной асимптотической теории, а как принципиальный элемент для правильного описания нового класса физических механизмов, положено в работах [19, 20, 22]. Найденное в [20] для случая сверхзвукового внешнего потока решение линеаризованной системы уравнений в виде бегущей волны демонстрирует существование нестационарных движений газа, непрерывно примыкающих к невозмущенному пограничному слою на границе области взаимодействия. Направление распространения волны задается величиной градиента давления в начальных данных: волна бежит вверх по потоку, если градиент давления достаточно велик, и вниз по потоку, если инкремент роста градиент давления не превышает критической величины, найденной в ранней работе [65].

Дополнительный интерес к асимптотическим подходам при описании течений в случае больших чисел Рейнольдса придает достаточно глубокая связь между теорией устойчивости пограничного слоя и свободным взаимодействием [66, 67]. Классическая задача об устойчивости пограничного слоя уже в своей формулировке отражает асимптотическую природу объекта изучения, ибо сам пограничный слой существует для чисел Рейнольдса, стремящихся к бесконечности.

То обстоятельство, что рассмотрение нижней ветви нейтральной кривой устойчивости пограничного слоя Блазиуса приводит к трехпалубной структуре возмущенного поля скоростей, является, по сделанному в [66] замечанию, достаточно неожиданным. Для верхней ветви нейтральной кривой структура возмущений претерпевает дальнейшие усложнения и включает пять подобластей [68−72]. При этом именно асимптотическая трактовка задачи устойчивости, как подчеркивается в [70], имеет рациональный базис, поскольку только в пределе больших чисел Рейнольдса основное течение приобретает форму пограничного слоя.

Общие свойства выведенного в [20] дисперсионного соотношения исследованы в [73−75]. Предпринятый анализ показал, что для решений типа бегущих волн дисперсионная кривая обладает бесконечным количеством ветвей, хотя перемещающаяся вверх по потоку волна определяется единственным образом. Возмущения такого рода изучаются в теории критического слоя [76−78], понятие которого играет большую роль в теории устойчивости вязких течений. В рассматриваемом случае критический слой опускается на самое дно течения и сливается с нижней палубойтаким образом, как отмечается в [20], задача устойчивости формулируется совершенно аналогично задаче о свободном взаимодействии нестационарного пограничного слоя.

Следует отметить, что к обсуждаемому вопросу можно подойти с несколько иной точки зрения. Трехпалубная теория, представляя собой теорию малых возмущений, описывает реакцию пограничного слоя на внешние воздействия различной природы, учитываемые при формулировке соответствующих математических задач через начальные и граничные условия. Система уравнений свободного взаимодействия допускает тривиальное решение при однородных начально-краевых условиях, которое соответствует продолжению решения Блазиуса через всю рассматриваемую область. Естественный интерес представляет вопрос о степени отклонения решения от тривиального при наличии возмущающих факторов (амплитуда которых мала в исходных переменных и порядка единицы после нормировки в терминах фигурирующего в трехпалубной теории малого параметра). Найденное в [65] в рамках линейного приближения отличное от тривиального стационарное решение (являющееся частным случаем решения [20]), которое ответвляется от решения Блазиуса, экспоненциально растет вниз по потоку и переходит в задающее отрыв от гладкой поверхности нелинейное решение [2−3]. Последнее, таким образом, представляет собой нелинейную собственную функцию задачи для уравнений свободного взаимодействия со сверхзвуковым внешним потоком. В этом смысле отрыв пограничного слоя интерпретируется в [79] как специфическая форма потери устойчивости.

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [80]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн.

Вековое уравнение в классической задаче Орра-Зоммерфельда [81] для возмущенного поля скоростей в несжимаемой жидкости в случае длинноволновых колебаний приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным соотношением линейной теории свободного взаимодействия. Следовательно, внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга [82] с прилегающими к стенке критическими слоями. Данное заключение сформулировано в [66, 67] применительно к внешним течениям ив [38, 83] к течениям в каналах. Именно в такую волну Толлмина-Шлихтинга вырождаются возмущения при удалении вниз по потоку от гармонического осциллятора на пластине, если скорость внешнего течения дозвуковая [84−86].

Плоское течение в пограничном слое нетривиальным образом зависит от двух координат (являясь «почти параллельным» лишь при стремлении к бесконечности числа Рейнольдса). Отмеченное усложняющее свойство основного течения обсуждается в [87]. Теория [66, 70], где эффекты непараллельности учитываются в нескольких старших членах асимптотических рядов, свободна от недостатка присущего исследованиям в предположении о плоскопараллельном невозмущенном течении, и в первом приближении воспроизводит обычные результаты устойчивости локально-одномерного потока.

Предлагаемая работа, основные результаты которой опубликованы в [8895] (еще три работы автора приняты к печати: Жук В. И., Проценко И. Г. Об устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Доклады РАН. 2004; Жук В. И., Проценко И. Г. Асимптотическая теория устойчивости испускаемой вдоль стенки струи вязкой жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004; Жук В. И., Проценко И. Г. Асимптотическая структура волновых возмущений в теории устойчивости плоского течения Куэтта-Пуазейля // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004) иллюстрирует возможность распространения основных представлений асимптотической теории свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком на задачи устойчивости внутренних течений типа Куэтта-Пуазейля, а также устойчивости плоской струи, ограниченной снизу плоским экраном. Применение многоярусных асимптотических конструкций позволяет не только уточнить поведение нейтральных кривых и свойства собственных функций уравнения Орра-Зоммерфельда, но и установить асимптотическую структуру флуктуационных полей и указать физические механизмы неустойчивости.

Тот факт, что внутренние волны в пограничном слое с самоиндуцированным давлением представляют собой асимптотику волн Толлмина-Шлихтинга (собственных решений уравнения Орра-Зоммерфельда) в пределе больших чисел Рейнольдса, служит руководящим соображением для асимптотического описания как верхней, так и нижней ветвей нейтральной кривой. Дополнительный анализ исходной системы уравнений Навье-Стокса приводит к асимптотической теории, пригодной к предсказанию потери устойчивости плоской стуи и течения Куэтта-Пуазейля.

Применяемые асимптотические модели оказывается очень содержательными, что, в сочетании с возможностью получения точных аналитических решений, демонстрирует важную роль асимптотических подходов к исследованию вязких течений с большими локальными градиентами. В частности, увеличение амплитуды внешних возмущающих факторов приводит к доминированию нелинейных эффектов, что позволяет вывести локально-невязкие уравнений для возмущений. Что касается вязких напряжений, то они проявляются в тонких пристеночных подслоях (и в критическом слое) толщины обоих подслоев много меньше, чем толщины нелинейных областей. Поэтому в главном приближении механизм взаимодействия оказывается невязким. Данное обстоятельство служит математической основой описания класса нелинейных возмущений в виде солитонов и кноидальных волн.

Выводы.

1. Построена трехи пятипалубная асимптотическая теория возмущений в струе вязкой жидкости, ограниченной снизу плоским экраном. В рамках трехпалубной теории получены асимптотические разложения нелинейного решения уравнений Навье-Стокса как в основной части течения, так и в пристеночной нелинейной области. Названные разложения описывают свободное взаимодействие основной толщи струи с ее нижней частью, соприкасающейся с твердой границей. Рассматривая асимптотические уравнения в линейном приближении, удалось получить дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости с волновым числом и соответствующее окрестности нижней ветви нейтральной кривой, асимптотика С = 0(Яе~117) которой также показана. Доказано существование неустойчивой моды в спектре собственных колебаний, а также то, что дисперсионная кривая обладает бесконечным (счетным) количеством ветвей.

2. При численном решении дисперсионного соотношения получены траектории, вычерчиваемые комплексными переменными? = +, и = иг 4- щ и с = сг + щ, а также графики инкремента усиления и фазовой скорости сг, с, — в зависимости от действительного к 6 (0-+ оо). Показано решение дисперсионного соотношения для фиксированного к.

3. В рамках пятипалубной теории (соответствующей окрестности верхней ветви нейтральной кривой) получено точное выражение для нейтрального решения и нейтральное значение фазовой скорости, с которой распространяется волна Толлмина-Шлихтинга.

4. Построена четырехпалубная теория волновых движений для случая возмущений сравнительно большой амплитуды. Проиллюстрирована применимость к рассматриваемой задаче об эволюции возмущений в пристеночной струе солитонных решений, а также периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза (кноидальных волн).

5. Показано что учет в четырехпалубной теории вязкого пристеночного подслоя уменьшает число независимых параметров в семействе периодических решений уравнения Кортевега-де Вриза.

6. Изучена задача о генерации волновых пакетов и волн Толлмина-Шлихтинга посредством установленного на обтекаемой поверхности гармонического осциллятора. Применением интегральных преобразований Фурье-Лапласа и метода перевала выведено выражение для пульсационных полей и их асимптотика.

7. Установлена асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Получено дисперсионное соотношение, связывающее частоту свободных колебаний вязкой жидкости в пристеночных слоях с волновым числом. Показано, что дисперсионное соотношение, связывающее параметры собственных линейных колебаний, приобретает качественно новые свойства, которые не имеют места в случае течения Пуазейля.

8. Доказано существование одного, двух, трех, четырех и пяти нейтральных решений при различных скоростях стенки в линейной задаче устойчивости течения Куэтта-Пуазейля. Получен вид решений дисперсионного соотношения на плоскости фазовой скорости при различных скоростях стенки. Найдены значения скорости стенок, при которых рождаются новые ветви нейтральной кривой.

9. Проанализирована асимптотическая структура линейных возмущений плоского течения Куэтта-Пуазейля в пределе стремящихся к бесконечности чисел Рейнольдса. Показано, картина флуктуационных полей существенно зависит от соотношения между числом Рейнольдса и скоростями стенок. Выделено четыре характерных режима, для которых существуют нейтральные моды в спектре собственных колебаний: построены трехъярусная схема возмущений для скорости стенки ию = 0(11е~2/7) и многоярусные схемы возмущений с отделенными от стенок критическими слоями для ии, = 0(Ле~2^и), с двумя критическими слоями, один из которых граничит с верхней стенкой для ию — 0(Яе" 2/13), с одним критическим и двумя пристеночными слоями для и" = 0(11е-^9).