Электромагнитное поле

Электромагнитное поле, особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частицами. Электромагнитное поле в вакууме характеризуется вектором напряжённости электрического поля Е и магнитной индукцией В, которые определяют силы, действующие со стороны поля на неподвижные и движущиеся заряженные частицы. Поведение электромагнитного поля изучает классическая электродинамика, в произвольной среде оно описывается уравнениями Максвелла, позволяющими определить поля в зависимости от распределения зарядов и токов. Релятивистская механика, раздел теоретической физики, рассматривающий классические законы движения тел (частиц) при скоростях движения v, сравнимых со скоростью света. Релятивистская механика основана на теории относительности.

Цель работы: определить составляющие поля, создаваемого релятивистским зарядом, решить уравнения движения для нерелятивистского случая, так же получить преобразование Лоренца для электромагнитного поля.

Задачи: получить преобразование Лоренца для электромагнитного поля, получить составляющие стационарного электромагнитного поля релятивистского заряда, решить уравнение движения нерелятивистского заряда в электромагнитном поле

1. Электрическое поле покоящегося заряда

Электрическое поле, частная форма проявления (наряду с магнитным полем) электромагнитного поля, определяющая действие на электрический заряд силы, не зависящей от скорости его движения.

Хотя непосредственно измеряемой величиной является сила, целесообразно ввести понятие, несколько отличающееся от силы, а именно понятие о напряженности электрического поля, обусловленного совокупностью заряженных тел. Мы можем пока определить электрическое поле, или, точнее, напряженность электрического поля, как силу, действующую на единицу заряда, помещенного в данной точке пространства. Она является вектором, зависящем от координат, и обозначается через Е. Однако применять это определение следует с осторожностью. Напряженность электрического поля не всегда совпадает с силой, которая действует на шарик, заряженный единичным зарядом и внесенный в исследуемую точку пространства. Дело в том, что единичный заряд (скажем, заряд, получающийся после того, как сто раз провести кошачьей шкуркой по янтарной палочке) может оказаться столь большим, что он заметно изменит конфигурацию поля. Поэтому следует рассматривать предельный процесс, т. е. измерять отношение силы, действующей на малый пробный заряд, к величине заряда при все меньшей и меньшей величине заряда. При достаточно малой величине заряда величина этого отношения и направление силы становятся практически постоянными. Эти предельные значения величины отношения и его направления и определяют величину и направление напряженности электрического поля в рассматриваемой точке. Математически это соотношение запишется в виде

F = qE, (1.1)

где F — сила, Е-напряженность электрического поля, q - заряд. В этом соотношении предполагается, что заряд q точечный, а сила и напряженность электрического поля вычисляются для точки, в которой расположен заряд.

Аналогично можно записать и закон Кулона. Если обозначить через F силу, с которой на точечный заряд q₁ расположенный в точке х₁, действует другой точечный заряд q₂, расположенный в х₂, то закон Кулона запишется следующим образом:

Заметим, что q_t и q₂ — алгебраические величины и могут быть как положительными, так и отрицательными. Множитель пропорциональности k зависит от используемой системы единиц.

Электрическое поле в точке х, создаваемое точечным зарядом q_u расположенным в точке х, (рисунок 1), равно

(1.3)

Постоянная k определяется выбранной единицей заряда.

2. Преобразование Лоренца электромагнитного поля

электромагнитный релятивистский заряд поле Поскольку поля Е и В являются элементами тензора электромагнитного поля F_µv, их трансформационные свойства определяются преобразованием

(2.1)

Используя преобразование от системы K к системе K', движущейся со скоростью v вдоль оси х₃, мы получаем следующие формулы преобразования для составляющих полей:

(2.2)

Обратные преобразования получаются из (2.2) перестановкой штрихованных величин с нештрихованными и заменой в нав.

При общем преобразовании Лоренца от системы К к системе К', движущейся со скоростью v относительно К, поля преобразуются, очевидно, следующим образом:

(2.3)

Здесь индексы || и означают параллельность и перпендикулярность к скорости v. Преобразование (2.3) показывает, что Е и В не являются независимыми величинами. Поэтому чисто электрическое или чисто магнитное поле в одной системе координат представляется совокупностью электрического и магнитного полей в другой системе. Однако электрическое и магнитное поля полностью взаимосвязаны, и более правильно говорить как о физической реальности об электромагнитном поле F_µv, а не о полях Е и В по отдельности.

В качестве примера преобразования электромагнитного поля рассмотрим поля в системе К, создаваемые точечным зарядом q, движущимся прямолинейно со скоростью v. Этот заряд покоится в системе К', связанной с ним; преобразование полей из системы К' в систему К. Сдается формулами, обратными к (2.2) или (2.3). Предположим, что заряд движется в положительном направлении оси х₃ и проходит на расстоянии b от наблюдателя. Выбранные оси координат показаны на рис 2. Наблюдатель находится в точке Р. При начала координат совмещены, а заряд q находится на наименьшем расстоянии от наблюдателя. В системе К' точка P, в которой определяются поля, имеет координаты

и находится на расстоянии от q. Нас интересует выражение r' через координаты в системе К. Единственной координатой, которую необходимо преобразовывать, является время так как координата х₃ точки Р в системе К равна нулю. В системе К', в которой заряд покоится, электрическое и магнитное поля запишутся в виде

(2.4)

Отличные от нуля составляющие поля выражаются следующим образом через координаты системы К:

(2.5)

Теперь с помощью формул, обратных к (2.2), можно найти поля в системе К

(2.6)

Все другие составляющие поля равны нулю.

3. Стационарное электромагнитное поле релятивистского заряда

электромагнитный релятивистский заряд поле Определим поле, создаваемое зарядом е, движущимся равномерно со скоростью V. Неподвижную систему отсчета будем называть системой К систему отсчета, движущуюся вместе с зарядом, — системой К'. Пусть заряд находится в начале координат системы К'; система К' движется относительно К параллельно оси х; оси у и z параллельны у' и z'. В момент времени t = 0 начала обеих систем совпадают. Координаты заряда в системе К, следовательно, x=Vt, у=z=0. В системе К' мы имеем постоянное электрическое поле с векторным потенциалом А' = 0 и скалярным, где В системе К согласно формулам с А'=0

(3.1)

Мы должны теперь выразить R' через координаты х, y_t z в системе К. Согласно формулам преобразования Лоренца и отсюда Подставляя это в (3.1), находим

(3.3)

где введено обозначение

(3.4)

Векторный потенциал в системе K равен

(3.5)

В системе K' магнитное поле H' отсутствует, а электрическое Находим:

Подставляя сюда, выраженные через находим:

(3.6)

где R — радиус-вектор от заряда е к точке наблюдения х, у, z поля (его компоненты равны х-Vt, у, z).

Это выражение для Е можно написать в другом виде, введя угол между направлением движения и радиус-вектором R. Очевидно, что у³ + z² = R²sin², и потому можно написать в виде

(3.7)

Тогда для Е имеем:

(3.8)

При заданном расстоянии R от заряда величина поля Е возрастает с увеличением от нуля до (или при уменьшении от до /2). Наименьшее значение поле имеет в направлении, параллельном направлению движения (= 0,); оно равно Наибольшим же является поле, перпендикулярное к скорости (= /2), равное Отметим, что при увеличении скорости поле падает, a

возрастает. Можно сказать наглядно, что электрическое поле

движущегося заряда как бы «сплющивается» по направлению

движения. При скоростях V, близких к скорости света, знаменатель в формуле (3.8) близок к нулю в узком интервале значений вокруг значения =/2. Ширина этого интервала порядка величины Таким образом, электрическое поле быстро движущегося заряда, на заданном расстоянии от него, заметно отлично от нуля лишь в узком интервале углов вблизи экваториальной плоскости, причем ширина этого интервала падает с увеличением V как

Магнитное поле в системе К равно

(3.9)

В частности, при Vc электрическое поле приближенно дается обычной формулой закона Кулона E = eR/R³, и тогда магнитное поле

(3.10)

4. Электромагнитное поле нерелятивистского заряда

Рассмотрим движение нерелятивистским заряда электромагнитном поле, когда скорость заряда vс, и потому его импульс р = mv; как мы увидим ниже, для этого необходимо чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным.

Направление Н выберем за ось z, а плоскость, проходящую через векторы Н и Е, за плоскость yz. Тогда уравнения движения напишутся в виде

(4.1)

Из третьего уравнения видно, что вдоль оси z заряд движется равномерно-ускоренно, т. е.

(4.2)

Умножая второе из уравнений на i и складывая с первым, находим:

(= еН/тс). Интеграл этого уравнения, где рассматривается как неизвестное, равен сумме интеграла этого же уравнения без правой части и частного интеграла уравнения с правой частью. Первый из них есть, второй равен . Таким образом, Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде a = с вещественными b и а, мы видим, что поскольку, а умножается на , то, выбирая соответствующим образом начало отсчета времени, мы можем придать фазе любое значение. Выберем ее так, чтобы а было вещественно. Тогда, отделяя в мнимую и вещественную части, находим:

(4.3)

При этом в момент времени t = 0 скорость направлена по оси х. Мы видим, что компоненты скорости частицы являются периодическими функциями времени; их средние значения равны

Эту среднюю скорость движения заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях часто называют скоростью электрического дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и не зависит от знака заряда. В векторном виде ее можно записать как

(4.4)

Все эти формулы применимы, если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света; мы видим, что для этого требуется, в частности, чтобы электрическое и магнитное поля удовлетворяли условию

(4.5)

абсолютные же величины и H могут быть произвольными. Интегрируя еще раз уравнения и выбирая постоянные интегрирования так, чтобы при t = 0 было х = у = 0, получаем:

(4.6)

Рассматриваемые как параметрические уравнения кривой, эти уравнения определяют собой так называемую трохоиду. В зависимости то того, больше или меньше абсолютная величина а, чем абсолютная величина, проекция траектории частицы на плоскость ху имеет вид, изображенный соответственно на рис. 3

Если, то (4.6) переходит в

(4.7)

т.е. проекция траектории на плоскость xy является циклоидой (рис 4)

Рисунок 3 — Движение заряда в электромагнитном поле в зависимости больше или меньше абсолютная величина а, чем абсолютная величина .

Рисунок 4 — Движение заряда в электромагнитном поле если .

Заключение

При выполнении курсовой работы были получены теоретические и практические навыки использования преобразования Лоренца электромагнитного поля. Рассмотрены электромагнитное поле релятивистского и нерелятивистского заряда. Получены уравнения движения нерелятивистского заряда и когда. Получили составляющие электромагнитного поля для релятивистского заряда электрическое поле и магнитное поле

Список использованных источников

1. Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц — М.: Наука, 1989. — 512 с.

2. Джексон, Дж. Классическая электродинамика / Дж. Джексон — М.: Мир, 1965 — 703 с.

3. Богуш, А. А. Введение в теорию классических полей / А. А. Богуш, Л. Г. Мороз — Минск: Наука и техника, 1968 — 489 с.