Кинематика материальной точки и поступательного движения твердого тела

Краткие теоретические сведения

Всякое движение относительно, поэтому для рассмотрения движения тел нужна система отсчета, включающая в себя тело отсчета, связанную с ним систему координат и синхронизированные часы.

Поступательным движением твердого тела называют такое движение, при котором любая прямая, проведенная через две произвольные точки тела, остается параллельной самой себе.

Твердым называют тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. При этом все точки тела движутся одинаково, поэтому достаточно описать движение лишь одной точки тела, например центра инерции (центра масс) тела. Для этого можно применить законы движения материальной точки.

Материальная точка (частица) — это модель физического тела, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Для описания движения частицы вводят радиус-вектор — вектор, проведенный из начала координат в точку, в которой частица находится в данный момент времени (рис. 1):

где — х, у, z — координаты частицы;

— орты декартовой системы координат, не зависящие от времени.

Модуль радиуса-вектора определяют по формуле:

.

Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиуса-век-тора материальной точки по времени:

Вектор совпадает по направлению с вектором элементарного перемещения и направлен по касательной к траектории движения.

Модуль мгновенной скорости определяют по формуле:

.

Перемещение — это направленный отрезок (вектор), проведенный из начального положения материальной точки в ее положение в данный момент.

Для определения перемещения материальной точки по известной ско-рости необходимо вычислить интеграл:

Длина участка траектории, пройденного материальной точкой за определенный промежуток времени, является скалярной функцией времени и называется длиной пути. Для определения длины пути необходимо вычислить интеграл от модуля мгновенной скорости по времени:

Если const, то частица движется с ускорением.

Ускорение — векторная физическая величина, равная первой производной от скорости по времени:

вектор ускорения можно представить в виде суммы двух составляющих (рис. 2) касательного (тангенциального) и нормального (центростремительного) ускорений:

= + .

Касательное (тангенциальное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости только по значению и всегда направлено по касательной к траектории. Модуль касательного ускорения вычисляется по формуле:

.

Нормальное (центростремительное) ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению, оно всегда направлено перпендикулярно к, к центру кривизны траектории в данной точке. Модуль нормального ускорения рассчитывается по формуле:

.

где R — радиус кривизны траектории в данной точке.

Для определения скорости движения материальной точки по известному ускорению следует вычислить интеграл: