Модели панельных данных

Постановка задачи

Одной из основных проблем дисперсионного анализа является большое число переменных, включаемых в модель. Особенно остро эта проблема проявляется при анализе большого числа однородных объектов, характеристики которых изменяются во времени. Для анализа данных подобной структуры были разработаны специальные модели и методы.

Пусть в течение Т моментов времени рассматриваются m различных объектов, у каждого из которых фиксируются значения некоторого показателя. Совокупность таких измерений принято называть панельными данными. Если Т достаточно велико, то панельные данные представляют собой многомерный временной ряд. Как правило, панельными данными называют данные, в которых число объектов многократно превышает количество моментов времени.

Сейчас в распоряжении исследователей имеется широкий спектр различных эконометрических моделей, описывающих панельные данные [ 28, 30, 33, 35, 861. Специфика большинства из них заключается в представлении времени как качественного фактора. Рассмотрим одну из простейших моделей такого тина.

Предположим, что наблюдение /-го объекта в момент времени t описывается следующим уравнением:

где у_и — значение зависимой переменной /-го объекта в момент времени t ос — эффект /-го объекта; Р, — эффект момента времени t 0 = (0_Р …, Q_k)^T — вектор неизвестных параметров; х. — вектор значений независимых переменных, которые были зафиксированы у /-го объекта в момент времени t ?_jt — независимые случайные ошибки измерения.

Эффекты времени и объектов отражают влияние качественных факторов, а именно факторов «объект» и «момент времени», на зависимую переменную. При этом следует различать ситуации, когда такие факторы могут рассматриваться как фиксированные или как случайные, что приводит к четырем различным вариантам модели (9.21). Если оба фактора рассматриваются как фиксированные, то следует использовать модели дисперсионного анализа, рассмотренные выше. Сложности возникают при наличии случайных факторов. Далее для определенности будем считать фактор объекта фиксированным, а фактор времени — случайным.

Классические предположения о случайных составляющих модели (9.21) записываются следующим образом:

Далее запишем модель (9.21) в матричном виде:

где  — вектор наблюдений; 0 = (а, а_ш,.

0, …, Q_k)^T — объединенный вектор неизвестных параметров; X = [Х_а | X] — матрица значений независимых переменных; Х_а — матрица значений фиктивных переменных, соответствующих эффектам объектов; X— матрица значений фиктивных переменных, соответствующих эффектам времени; X — матрица значений переменных х_/7; а = = (а,…, а_т)⁷ — вектор эффектов объектов; Р=((3₁,…, р_г)⁷ — вектор эффектов моментов времени; U — вектор случайных компонент модели; Е — вектор случайных ошибок.

Как и в обычном регрессионном анализе, для получения и объяснения последующих выводов необходимо задать ряд ограничений на свойства компонент модели (9.21). Это означает выполнение условий:

где ; N — число наблюдений (в случае отсутствия пропусков в данных N = тТ). Величины ajj, сг определяют вариацию случайной составляющей модели и получили название компоненты дисперсии, а модель (9.22), (9.23) часто называют моделью компонент дисперсии.