Оптимальная численность выборки

Средняя ошибка выборки зависит от численности выборки. Это следует из формул, по которым определяется эта ошибка (см. параграф 6.3):

• для повторного отбора: р = . —;

V п

I (j2 (~п

• для бесповторного отбора: р =. I— 1—.

V ^п v ^N)

Чем больше численность выборки, тем меньше ее ошибка. Однако большой объем выборки ведет к увеличению затрат труда и материальных средств на ее проведение. При недостаточном объеме выборки результаты ее будут содержать большие погрешности. Поэтому при организации выборочного обследования важным вопросом является обоснование оптимального размера выборки.

Для определения необходимой численности выборки используется формула предельной ошибки выборки.

В случае повторного отбора при изучении средней величины количественного признака эта формула выглядит следующим образом: = /:р^,.

_д Р _а2 2°²

по Р у = «—и, следовательно, Лг. = ?J—, отсюда следует Д1 = t^z—, откуда V п V п ^Л п

необходимая численность выборки:

Аналогично выводят формулу для расчета численности выборки, проводимой с целью определения доли альтернативного признака. В этом.

lw (1 — w), ,. ₀w (l-w)

A_w = ty_u, = t.-или A^/_w = t^zjl^z_w = t^z-, а отсюда.

V n n

Формулы для определения объема выборки при бесновторном отборе определяются аналогично. В результате численность выборки, используемой для нахождения средней величины изучаемого признака при бесповторном отборе, находится по формуле.

А численность выборки, используемой для определения доли альтернативного признака, вычисляется по формуле.

При этом нужно иметь в виду, что при сравнительно небольшой доле объема выборочной совокупности в объеме генеральной совокупности (до 5%) расчет предельной ошибки выборки производится по формулам, используемым при повторном отборе. И следовательно, в этом случае для определения численности выборки могут быть использованы формулы (6.8) и (6.9).

Пример 6.4.

Определить оптимальный объем бесповторной выборки, формируемой из 40 тыс. счетов вкладчиков Сбербанка. Предельная ошибка репрезентативности (с вероятностью 0,95) при определении среднего размера остатков вклада не должна превышала 1 тыс. руб. Известно, что среднее квадратическое отклонение в выборке равно приблизительно 0,75 тыс. руб.

При бесповторной выборке для определения ее численности для средней величины количественного признака используется формула (6.8).

В нашем примере: N = 40 тыс.; 1 = 2 (по данным таблицы при вероятности 0,95); о у = 0,75 (тыс. руб.); А_х = 1 (тыс. руб.). Следовательно:

Таким образом, необходимо отобрать 2120 счетов вкладчиков.

Пример 6.5.

Сколько студентов очного отделения Российской академии предпринимательства необходимо обследовать, чтобы ошибка исчисленной на основе случайной повторной выборки доли студентов, совмещающих работу и учебу, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки доля таких студентов составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0,997.

В случае проведения случайной повторной выборки объем выборки для доли альтернативного признака определяется, но формуле (6.7).

В нашей задаче t = 3 (см. табл. 6.1), w = 0,32, Д_ш= 0,05. Следовательно,.

Таким образом, для решения поставленной задачи нужно обследовать 784 студента.