Теорема гаусса для электростатического поля

Проведём вокруг точечного заряда сферу произвольного радиуса r с центром в точке расположения заряда (рис. 3). Найдём поток напряжённости электростатического поля через эту поверхность. В данном случае направления векторов и в любой точке поверхности совпадают. Поэтому:

En = Ecos 0 = E.

Модуль напряжённости во всех точках на поверхности сферы одинаков и равен.

C учётом этого из (6) получаем:

(8).

где значок на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности. E вынесена за знак интеграла, поскольку она не зависит от S. Суммирование же всех площадей элементарных площадок даёт площадь S сферы, т. е.

Соотношение (8) справедливо не только для сферы, но и для любой замкнутой поверхности, поскольку число линий напряжённости, пронизывающих её и сферу, одинаково.

Рис. 3.

Если имеется система точечных зарядов, то очевидно, что полный поток Ф_Е напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность в силу принципа суперпозиции полей равен сумме потоков Ф_Еi, создаваемых каждым зарядом qi в отдельности, т. е.

= .

Но, как следует из (8),.

ФEi = qi / (e_{_}e).

(9).

поскольку e_ и e постоянные величины их вынесли за знак суммы. Таким образом, получен общий результат, названный теоремой Гаусса: поток напряжённости электростатического поля через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключённых внутри неё, делённой на электрическую постоянную и диэлектрическую проницаемость среды.

Заряды в пространстве могут распределяться не только дискретно, но и непрерывно. В этом случае вводится понятие о плотности зарядов. При непрерывном распределении зарядов по объёму вводят объёмную плотность заряда. Пусть заряд q равномерно распределён по объёму V. Тогда объёмной плотностью заряда r —называется отношение:

r = q/V.

Если же распределение заряда неравномерное, то надо выделить на поверхности элементарный участок dV, в пределах которого заряд dq, находящийся на нём, можно считать равномерно распределённым. Объёмная плотность заряда r— —находится по формуле:

(10).

т.е. объёмная плотность зарядов равна заряду, приходящемуся на единицу объёма. Используя (6.8), по аналогии с (6.7) можно найти заряд, расположенный в некотором объёме V:

(11).

Здесь интегрирование производится по всему объёму V, по которому распределён заряд. Тогда при непрерывном распределении заряда на некоторому объёму:

(12).