Эмпирическая функция распределения, гистограмма

Поскольку неизвестное распределение можно описать, например, его функцией распределения, построим по выборке «оценку» для этой функции.

Определение 1.

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке объема, называется случайная функция, при каждом равная:

Напоминание: Случайная функция:

.

называется индикатором события. При каждом это — случайная величина, имеющая распределение Бернулли с параметром. почему?

Иначе говоря, при любом значение, равное истинной вероятности случайной величине быть меньше, оценивается долей элементов выборки, меньших .

Если элементы выборки, , упорядочить по возрастанию (на каждом элементарном исходе), получится новый набор случайных величин, называемый вариационным рядом:

Здесь:

Элемент, , называетсям членом вариационного ряда илий порядковой статистикой.

Эмпирическая функция распределения имеет скачки в точках выборки, величина скачка в точке равна, где — количество элементов выборки, совпадающих с .

Можно построить эмпирическую функцию распределения по вариационному ряду:

.

Другой характеристикой распределения является таблица (для дискретных распределений) или плотность (для абсолютно непрерывных). Эмпирическим, или выборочным аналогом таблицы или плотности является так называемая гистограмма.

Гистограмма строится по группированным данным. Предполагаемую область значений случайной величины (или область выборочных данных) делят независимо от выборки на некоторое количество интервалов (не обязательно одинаковых). Пусть, , — интервалы на прямой, называемые интервалами группировки. Обозначим для через число элементов выборки, попавших в интервал :

.

На каждом из интервалов строят прямоугольник, площадь которого пропорциональна. Общая площадь всех прямоугольников должна равняться единице. Пусть — длина интервала. Высота прямоугольника над равна:

.

Полученная фигура называется гистограммой.

В курсе «Эконометрика» утверждается, что наилучшим числом интервалов группировки («формула Стерджесса») является:

.

Здесь — десятичный логарифм, поэтому:

.

т.е. при увеличении выборки вдвое число интервалов группировки увеличивается на 1. Заметим, что чем больше интервалов группировки, тем лучше. Но, если брать число интервалов, скажем, порядка, то с ростом гистограмма не будет приближаться к плотности.

Справедливо следующее утверждение:

Если плотность распределения элементов выборки является непрерывной функцией, то при так, что, имеет место поточечная сходимость по вероятности гистограммы к плотности.

Так что выбор логарифма разумен, но не является единственно возможным.