Мероморфные функции. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Более общим, чем класс целых, функций, будет класс так называемых мероморфные функций. Мероморфной функцией называют всякую однозначную функцию, не имеющую в конечной части плоскости других особых то ;ек кроме полюсов. В частности, всякая рациональная функция принадлежит к этому классу.

В самом деле, рациональная функция

во всей < расширенной* z-плоскости может иметь лишь полюем в качестве своих особых точек (при п^>гп бесконечно удаленная точка есть полюс порядка п — т_у при п^т бесконечно удалённая точка будет устранимой особенностью и, следонательно, может считаться правильной точкой при надлежащем определении функции в этой точке).

Покажем, что существует обратное предложение; если однозначнан функция в «расширенной» плоскости не имеет других особых точек, кроме полюсов, то она есть функция рациональная.

Доказательство. Так как данная функция f (z) в бесконечности может иметь лишь полюс, то она в некоторой окрестности бесконечно удалённой точки z^y> R есть голоморфная функция. В круге z ^ R может существовать лишь конечное число полюсов этой функции, так как в прогнвном случае предельная точка полюсов была бы особой точкой, не принадлежащей к полюсам, что по условию невозможно. Итак, все возможные полюсы функции f (z) имеются в конечном числе; обозначим их через г_х% z₂, …, z_k кроме того, бесконешо удалённая точка может быть также полюсом. В окрестности каждого полюса мы разложим функцию f{z) в ряд Лорана и обозначим его главную часть для точки z_x через:

а для точки эо через g (z) = A₁z-{-A₂z² -+*• • •—А_/р^р.

Вы 'итая рациональную функцию R (z) = /г, {z) -fА_а (г) .-|;

h_k (z) g (z) из данной функции f (z), мы получим:

Функция F (z) будет иметь своими единственными особыми точками точки z|, z₂,, z_k и бесконечно удалённую точку; каждая из этих точек является устранимой особенностью функции /^(г), так как её разложение Лорана в окрестности любой из этих точек, в силу единственности этого разложения; не будет содержать главной части. Следовательно, функцию F{z) можно считать голоморфной всюду в «расширенной* плоскости комплексного переменного г, если надлежащим образом назначить её значения в устранимых особых точках. Наконец, по теореме Лиувилля мы заключаем, что F{z) тождественно равно постоянному числу с. Итак, имеем F (z) = c_y откуда в силу равенства (32) следует: f (z) = R[z)—с, т. е. /(г) есть рациональная фун <�ция, что и нужно.