Степенная функция. 
Основные элементарные функции, их свойства и графики

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее — при четных положительных, далее — при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключение этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,…

На рисунке ниже приведены графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия, — зеленая линия. При а=1имеем линейную функцию y=x.

• · Область определения: .
• · Область значений: .

• · Функция нечетная, так как .
• · Функция возрастает при .
• · Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).

• · Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
• · Асимптот нет.
• · Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,…

В качестве примера приведем графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

• · Область определения: .
• · Область значений: .

• · Функция четная, так как .
• · Функция возрастает при, убывает при .
• · Функция вогнутая при .
• · Точек перегиба нет.
• · Асимптот нет.
• · Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,…

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия, — зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

· Область определения: .

При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-1,-3,-5,… Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.

• · Область значений: .
• · Функция нечетная, так как .
• · Функция убывает при .
• · Функция выпуклая при и вогнутая при .

• · Точек перегиба нет.
• · Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как при а=-1,-3,-5,…

· Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,…

На рисунке изображены графики степенных функций — черная линия, — синяя линия, — красная линия.

• · Область определения:. При x=0 имеем разрыв второго рода, так как при а=-2,-4,-6,… Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• · Область значений: .
• · Функция четная, так как .
• · Функция возрастает при, убывает при .
• · Функция вогнутая при .
• · Точек перегиба нет.
• · Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как при а=-2,-4,-6,…
• · Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).