Простейшие операции над векторами

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора, а конец — в конце вектора, при условии, что вектор приложен к концу вектора .

В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис. 2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника» .

Операция сложения векторов обладает свойствами:

1. Коммутативность:

.

2. Ассоциативность:

.

3. Для любого вектора (особая роль нулевого вектора):

.

Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что (для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора).

Вектор противоположный вектору обозначают .

Определение: Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору, т. е.

.

Разность получается из вектора сдвигом его начала в конец вектора, при условии, что векторы и имеют общее начало (рис. 3). Очевидно, что для любого вектора :

.

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое «правилом параллелограмма»: векторы и прикладываются к общему началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор, расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор, расположенный на второй диагонали.

Векторная алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведением вектора на вещественное число л (скаляр) называется вектор, такой, что:

• 1) ;
• 2) вектор коллинеарен вектору; 3) векторы и имеют одинаковое (противоположное) направление если л > 0 (л < 0).

Замечание: В случае, когда л = 0 или произведение является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

(ассоциативное свойство сомножителей);

(свойства дистрибутивности).

Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору, то существует вещественное число л такое, что = л.