Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных нормальных совокупностей, в случае, когда дисперсии неизвестны и одинаковы (t-критерий, z-критерий)

Пусть из каждой из двух нормально распределенных генеральных совокупностей (с параметрами) и (с параметрами) извлечены выборки объема и соответственно. Требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве средних значений этих генеральных совокупностей. Альтернативная гипотеза формулируется в соответствии с условиями задачи или эксперимента:

(двустороння критическая область);

(левостороння критическая область);

(правостороння критическая область).

Случай, когда дисперсии генеральных совокупностей и известны. В этом случае для проверки нулевой гипотезы используют случайную величину:

.

где — выборочные средние первой и второй выборок соответственно. Если нулевая гипотеза справедлива, то статистика имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной единице (разд. 3). Критическое значение выбирается в соответствии с задаваемым уровнем значимости по таблице значений функции Лапласа (прил. 2) или стандартного нормального распределения.

Если объемы выборок достаточно велики, то случайную величину можно использовать и при неизвестных дисперсиях генеральных совокупностей, положив в выражении для, .

Эту же статистику используют и при проверке гипотезы о равенстве вероятностей «успеха». Объемы выборок должны быть достаточно велики, чтобы биномиальное распределение можно было бы приближенно считать нормальным.

Пример. Двое рабочих на одинаковых станках изготовляют одинаковые детали. Есть ли значимая разница между долями выпускаемого ими брака? Была собрана следующая информация:, ,, (число деталей, изготовленных первым и вторым рабочими соответственно и число бракованных деталей у первого и второго рабочих). Положить .

Решение. Согласно условиям задачи требуется проверить нулевую гипотезу о равенстве значений вероятности «успеха» — появления бракованной детали () для первого и второго рабочего, причем, поскольку объем выборки достаточно велик, можно использовать статистику. Поскольку, то альтернативную гипотезу следует принять в виде (левосторонняя критическая область).

Итак, было обследовано деталей, изготовленных первым рабочим, из них — оказались бракованными, тогда.

.

Аналогично для второго рабочего,. Тогда экспериментальное значение статистики:

.

Для критическое значение равно, таким образом,. Следовательно, нулевая гипотеза отвергается: нельзя утверждать, что второй рабочий в среднем делает больше брака, чем первый.

Случай, когда дисперсии генеральных совокупностей и неизвестны, но известно, что. Для проверки нулевой гипотезы используется случайная величина:

.

где и — выборочные дисперсии; - исправленные выборочные дисперсии.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы (разд. 3). Критическое значение и критическая область выбираются в соответствии с альтернативной гипотезой и задаваемым уровнем значимости.