Объемное напряженное состояние

1. Полное, нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке На рис. 11.3 показаны компоненты полного напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что его численное значение определяется так.

Подставляя сюда формулы (11.4) найдем.

(12.1).

Здесь и — направляющие конусы нормали к площадке. Полное напряжение можно разложить на нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке. Очевидно, что. Напряжение можно найти, проектируя и на нормаль, т. е.. С учетом формул (11.4) получим.

(12.2).

Касательное напряжение можно найти так.

(12.3).

2. Главные напряжения, главные площадки

На наклонной площадке, у которой орт нормали совпадает с направлением, величина, а будет экстремально и равно. Такая площадка называется главной (ее направление определяют направляющие косинусы, которые обозначим). А напряжения на ней обозначим. Все его проекции на оси будут. Подставим их в формулы (11.4).

или (1).

Надо найти и при известных напряжениях в точке тела .

Очевидно, что .

Из этого следует, что одновременно не могут быть равны нулю. Тогда система уравнений (1) имеет решение, если ее определитель, т. е.

(3).

Раскрывая этот определитель получим, с учетом закона парности касательных напряжений:

(5).

После перемножений и приведения подобных членов найдем.

(12.4).

Где:

(12.5).

Величины и называются инвариантами тензора напряжений (легко убедится, что есть определитель). При повороте осей компоненты меняются, но и при этом не должны меняться, т.к., определяемые из (12.4), не зависят от выбора положения осей, а зависят от нагружения тела.

Решение кубического уравнения (12.4) дает три корня для, которые и называются главными напряжениями. Итак, имеем три главных напряжения, которые действуют на трех главных площадках, определяемых. Например, найдем главной площадки, где действует. Для этого составим три уравнения: и любых два уравнения из системы (1), подставляя в них. Решая эти три уравнения, найдем. Аналогично определяются две другие площадки, где действуют и. Можно показать, что главные площадки взаимно ортогональны.

Инварианты напряженного состояния через главные напряжения определяются с учетом (12.5) так:

Здесь учтено, что на главных площадках нет касательных напряжений.

3. Экстремальные касательные напряжения Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т. е. на невидимых площадках действуют только и (см. рис. 11.3). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .

Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (12.1) и (12.2), полагая в них:, , т.к. на главных площадках касательных напряжений нет.

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (12.3), подстановкой (6).

После преобразований, получим.

(7).

Условие экстремальности по параметрам и дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :

Третьему решению соответствуют рис. а, т. е. это площадка под углами 45 к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя и в выражение (7), получим.

Рис.а.

Окончательно.

(8).

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2), можно найти экстремальные и .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:

(12.6).

4. Октаэдрические нормальные и касательные напряжения.

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их, т.к. должно быть .

Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (6) и (7) подстановкой.

(12.7).

Рис.в Величину называют часто гидростатическим давлением

С т. О на рис. В обозначена октаэдрическая площадка с и, заштрихованы главные площадки с и показаны три площадки с экстремальными касательными напряжениями и .

Легко показать, что.

.

следовательно, и тоже являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.