Задачи. 
Теория автоматического управления. 
Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы

1. Исследуйте, являются ли положительно определенными в пространстве Я³ следующие квадратичные формы:

а) К (х) = х 4- 2х 4- Зх§ 4- 2хХ2 — 4х]Хз;

б) К (х) = х — 2х 4- Зх§ 4- 2xia:2 — 4×1Хз;

в) V (x) = х — 2х — Зх§ 4- 2xiX2 — 4x1X3;

г) V"(x) = х — 2х — х + ХХ2 4- х_хх₃

д) V (x) = х 4- Зх³ 4- 2xiX2 — 4хххз;

е) V (x) = -х, + 2xj + 2х§ 4- 2xiX2 4- 4xix₃ 4- 2хгх₃.

2. Исследуйте методом функций Ляпунова устойчивость положения равновесия следующих систем:

а) xi = 0,5 Х — Х2 4* 2×2 — z?, Х2 = —2xi — Х2;

б) xi = —Х 4- 2хз, *^2 = -2xi — Х2 — х

в) xi = 2×2 — х, Х2 = -2xi — х 4- хз, хз = -Х2 — х||;

г) xi = 2хз — х³, Х2 = ~х 4- хз, хз = 2xi — *2 «я³;

д) xi = х₂ 4- 0,5х₂х|, х₂ = -xi — х³х₂;

е) X! = -Х2 4- 0,5 xix³, Х2 = —Xi — хх2 — х³;

ж) у 4- у — у^ъ = 0;

з) У — У³ 4- у — у⁵ = 0.

3. Исследуйте по линейной модели устойчивость положения равновесия следующих систем:

а) У 4- 3j/ 4- 2у 4- sin у = 0;

б) У 4- Зу 4- 5? 4- 3(е^у — 1) = 0;

в) У 4- Зу 4- у 4- Зу 4- cos у — 1 = 0;

г) У 4- Зу 4- 2у 4- 4г/ 4- е^у — cos у = 0;

д) У 4- 2у 4- 2у 4- у 4- sin у — 2 cos у 4- 2 = 0;

е) X! — -2sinxi 4- Х2, Х2 = —2xi — х|;

ж) xi = -2 sin xi — е^Хз 4-COSX2, Х2 — -2xi — Зхг;

з) х = -xi 4- х³ 4- Х2, Х2 = - sinxi 4−1 — cosХ2;

и) xi = 2xi — 2sinxi 4- е^Хз — COSX2, X2 = —2xi 4* X2 4- X2.

4. Исследуйте устойчивость положения равновесия следующих систем:

а) xi — —х + ?2, %2 = -2xi — х

б) х = —х 1 - х + х₂, х₂ = -2xi — ?2;

в) xi = (2 + sin t)x 1 + ?2, ?2 = -2xi — ?2 — ?2;

г) xi = (0,5 + sin² t)x 1 + ?2, x₂ = -2xi — ?2;

д) xi = 0,5xi + (0,5 + sin² t)x2,

?2 = -(1 + 0,2 sin² t)x + (cos t — 2) x₂;

е) ?1 = ?1 + (0,5 + sin² ?)x2 — ??,

?2 = ~(2 + 4 sin² t)x 1 — 2×2 — ?2-

5. Определите, при каких значениях параметров устойчиво положение равновесия следующих систем:

а) х = -6xJ + ах2, ?2 = -2xi — 2x2*,

б) х = —?j + ах2, ?2 = — 2cxi — 2х|;

в) Х = -х -н ах2, ?2 = —C?i — 2х|;

г) Х = -бх? 4* ахг, х₂ = -cxi — 2^X2*