Напряженное состояние сплошной среды

Внутренние напряжения

Понятие о внутренних напряжениях является основным, на систематическом применении которого строятся основные модели механики сплошной среды. Оно применимо как к твердому деформируемом}' телу, так и к жидкостям и газам. Обычно это понятие строится на примере твердого деформируемого тела.

Тело может быть нагружено внешними силами. Различают поверхностные силы, приложенные к внешней поверхности тела, и объемные или массовые, действующие на каждый внутренний элемент тела. Для поверхностных сил вводится понятие напряжения как плотности распределения поверхностных сил. Для каждого элемента поверхности можно ввести вектор нормали и определить напряжения, действующие на площадку поверхности с этой нормалью п. Сосредоточенные силы, действующие на поверхность тела, вводятся как идеализация реальных поверхностных напряжений высокой интенсивности, действующих на ограниченном участке поверхности. В результате действия внешних сил тело приходит в движение. Если оно закреплено, то действие внешних сил вызывает появление реакций закрепления, которые могут рассматриваться как внешние силы, обеспечивающие равновесие тела. Приложенные к телу внешние силы определяют его движение как материальной точки или как твердого тела.

По под действием внешних сил реальные тела испытывают деформации, могут разрушиться. Для описания этого явления вводится понятие напряженно-деформированного состояния тела. Из среды мысленно вырезается некоторый объем, по поверхности которого распределены силы взаимодействия с остальной частью среды. Интенсивность этих сил называется внутренним напряжением. Для выделенного элемента среды внутренние напряжения становятся как бы внешними силами, приложенными к нему. Эта операция позволяет применить к выделенному элементу законы механики, установленные для тел, движущихся под действием внешних сил. На рис. 3.1 показано тело, нагруженное внешними силами F[ и F2- С помощью мысленного разреза мы выделили часть тела, равновесие (или движение) которой рассматриваем. Па элемент поверхности разреза dS с нормалью п действует внутреннее усилие, определяемое вектором p_ndS и заменяющее действие отброшенной части. Если ориентация разреза в окрестности рассматриваемой точки будет иной, то изменится и вектор внутреннего напряжения р_п. Таким образом внутреннее напряжение в точке тела зависит от направления нормали мысленного разреза р_п — р_и(п). Это означает, для полного описания напряженного состояния в точке тела необходим объект сложной природы, чем вектор.

Рис. 3.1. Разрез в теле и внутренние напряжения.

Первоначально понятие внутренних напряжений было введено в статике для твердого тела, впоследствии оно было распространено и на движущуюся среду. При построении математических моделей сплошных сред понятие внутреннего напряжения вводится в форме постулата напряжений Коши. Ранее, для идеальной жидкости, в которой напряжения представляются лишь нормальными давлениями, аналогичный принцип был сформулирован Эйлером, однако именно постулат Коши позволил построить законченные модели сплошных сред: упругой среды, вязкой, упруго-пластичной и др.

Постулат Коши можно сформулировать следующим образом. Для любой замкнутой поверхности, выделенной внутри сплошной среды, существует распределение вектора напряжений р с результирующей силой и моментом, эквивалентными полю сил, действующих на сплошную среду, расположенную внутри выделенной поверхности, со стороны среды, расположенной вне этой поверхности.

Разрез разделяет две части тела. В зависимости о того, какую из частей мы рассматриваем, вектор внутреннего напряжения будет иметь значение р_п или — р_п (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Связь напряжений по обе стороны разреза.

Принцип Коши обладает, по замечанию Трусделла [7], «гениальной простотой. Его подлинную глубину можно оценить, только представив себе, что целое столетие выдающиеся геометры использовали при исследовании довольно частных задач упругости очень сложные, а иногда и не совсем корректные методы. В их работах нет даже намека на эту основную идею, которая сразу наметила ясные пути обоснования механики сплошных сред». Важно также иметь в виду, что постулат напряжений не может быть получен из классической механики системы дискретных точек предельным переходом.

Внутреннее напряжение нельзя непосредственно измерить. Измерение будет означать вторжение измерительного элемента в среду и нарушение напряженного состояния. Поэтому иногда внутренние напряжения называют фиктивными, возникающими как реальность только при мысленном разрезе тела и уравновешивании этими напряжениями действия отброшенной части. Внутреннее напряженное состояние можно измерить косвенно — по его действию на материал тела (но эффекту двойного лучепреломления, но пьезоэлектрическому эффекту и т. д.).