Разложение периодических несинусоидальных кривых напряжения и тока в тригонометрический ряд

Рассматривается несинусоидальная перидическая функция с периодом, например, напряжение или ток Требуется разложить эту функцию в тригонометрический ряд (ряд Фурье).

Ряд Фурье имеет вид.

(11.1).

где Uo—постоянная составляющая напряжения; и амшлитуды косинусной и синусной составляющих R-й гармоники напряжения соответственно.

Эти величины вычисляются по известным формулам разложения Фурье:

(11.2).

Каждую гармоническую составляющую можно представить в полярной системе координат.

(11.3).

где.

или Тогда ряд Фурье будет записываться следующим образом.

(11.4).

Совокупность гармонических составляющих функции называется спектром. Спектр представляет собой дискретный ряд гармоник с частотами, где = 0, 1, 2,… с амплитудами и фазами (постоянная составляющая Uo здесь представляет собой амплитуду напряжения нулевой гармоники при). Такой спектр называется дискретным, или линейчатым, и изображается графически в виде диаграмм, где по оси абсцисс откладываются частоты гармоник, а по оси ординат соответствующие амплитуды (амплитудный спектр) или фазы (фазовый спектр).

В случаях симметрии формы несинусоидальнои кривой (напряжения или тока) вид, разложения в ряд Фурье упрощается, а именно:

1. Если функция нечетна, т. е. симметрична относительно начала координат (например, рис. 11.1 а, д), то и в разложении Фурье содержатся только синусные составляющие.

2. Если функция четная, т. е. симметрична относительно оси ординат (например, рис. 11.1 в), то и в разложении Фурье содержатся только постоянная и косинусные составляющие.

(11.6).

3. Если функциясимметрична относительно оси абсцисс (например, рис. 11.1 б), то и в разложении Фурье содержатся только нечетные гармоники.

В ряде случаев необходимо разложить в ряд Фурье функцию, смещенную на некоторый угол, а относительно функции, разложение которой известно. Пусть дано разложение Фурье.

тогда разложение смещенной функции имеет вид.

(11.7).

где значения определяются по формулам (11.2);

— угол смещения начала координат по оси .

Пример 11.1. Определить постоянную составляющую, первую и вторую гармоники разложения и ряд Фурье кривой двухполупериодного выпрямленного напряжения (рис. 11.1 в).

при .

Решение Кривая имеет вид.

Для разложения в ряд Фурье используем формулы (11,2). При определении коэффициентов Фурье учтем симметрию кривой относительно оси ординат. В разложении содержатся постоянная и косинусные составляющие.

Постоянная составляющая напряжения.

Здесь при интегрировании учтено, что кривая напряжения состоит из повторяющихся дважды за период полусинусоид, поэтому интегрирование проводится в пределах полусинусоиды.

После подстановки, получаем .

Коэффициент при первой гармонике.

так как, а интеграл последней функции за полупериод равен 0.

Коэффициент при второй гармонике.

При =100 В, = 42,44 В.

Таким образом,.