Основные теоремы теории вероятностей

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий А_х, А₂, А_п равна сумме вероятностей этих событий:

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий А_] и А₂.

Пусть событию А, благоприятствуют т, элементарных исходов, а событию А₂ — т₂ исходов. Так как события A_t и А₂ по условию теоремы несовместны, то событию А, + А₂ благоприятствуют т_х + т₂ элементарных исходов из общего числа п исходов. Следовательно,.

где Р (А_Х) и Р (Л₂) — соответственно вероятности событий А, и А_г.

Следствие 1. Если события А, А₂,…, А_п образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

Это следствие очевидно, если вспомнить, что события А_Х, А₁,…, А_И составляют полную группу попарно несовместных событий. Тогда их сумма — событие достоверное, а вероятность достоверного события равна 1.

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу А и А .

Примеры противоположных событий:

• 1. А — попадание при выстреле; А — промах при выстреле.
• 2. С — при бросании кубика выпала шестерка; С — при бросании кубика шестерка не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

ПРИМЕР 1. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: /⁵(И_|) = 0,2, Р (Л₂) = 0,4.

РЕШЕНИЕ. Так как выделение одновременно двух машин — невозможное событие, то по формуле (2.1) вероятность прибытия к складу хотя бы одной из этих машин будет равна:

ПРИМЕР 2. В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов — выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов — выигрыши по 5 рублей, остальные билеты — невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

РЕШЕНИЕ. Обозначим события: А— выигрыш не менее 20 рублей, А, — выигрыш 20 рублей, А₂ — выигрыш 100 рублей, А₃ — выигрыш 500 рублей.

Очевидно, что события А₁, А₂, А₃ попарно несовместны, причем справедливо выражение: А = A_t + А₂ + Ат,.

По теореме сложения вероятностей: