Принцип максимума в рассматриваемой задаче оптимального управления (теорема 2)

Теперь можно сформулировать утверждение о необходимых условиях экстремума в рассматриваемой задаче оптимального управления.

1. Сопряженное уравнение.

(2.2.14).

при.

• 2. Условие трансверсальности
• (2.2.15)

при.

3. Условие максимума функции Понтрягина.

(2.2.16).

при.

Доказательство.

Применим теорему 1 к поставленной задаче оптимального управления. Для получения соотношений (2.2.5), (2.2.6), (2.2.8) определим необходимые вспомогательные объекты. Заметим предварительно, что в поставленной задаче .

Для нахождения матрицы частных производных воспользуемся соотношениями (2.2.12).

Получим.

• (2.2.17)
• (2.2.18)

(2.2.19).

Равенства (2.2.17)-(2.2.19) задают элементы матрицы частных производных В сопряженном уравнении (2.2.5) фигурирует объект, который представляет собой транспонированную матрицу частных производных .

Из (2.2.17), (2.2.18), (2.2.19) получаем.

(2.2.20).

Где транспонированная матрица .

Для нахождения вектора частных производных воспользуемся равенством (2.2.9). Имеем.

(2.2.21).

Тогда из соотношения (2.2.5) с учетом (2.2.20),(2.2.21) и условия получаем систему уравнений.

(2.2.22).

Система дифференциальных уравнений относительно функций представляет собой систему сопряженных уравнений в рассматриваемой задаче оптимального управления.

Теперь найдем условия трансверсальности в рассматриваемой задаче оптимального управления. Заметим, что функция определяющая терминальный член целевого функционала, предполагается аналитически заданной. Но тогда можно считать, что заданы и частные производные этой функции, а именно:

(2.2.23).

Теоретическая часть условий трансервальности для данного вида задач имеет вид (2.2.6). Как уже отмечалось, для данного вида задач с фиксированным временем и закрепленным левым концом траектории можно считать множитель Лагранжа (рассматриваемая задача на максимум). Правая часть соотношений (2.6) образуется при подстановке в производные, терминальной функции (2.23), предполагаемые заданными, значений аргументов.

Таким образом, получаем из (2.2.6).

(2.2.24).

Полученные соотношения (2.2.24) определяют, что граничные условия для функций в точке которые являются решениями системы дифференциальных уравнений (2.2.22) заданы и выражаются явно через значения основных функций (состояний) .

Условия трансверсальности установлены.

Теперь выпишем условие максимума. Для этого необходимо найти явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления. Теоретическая форма функции Понтрягина в классической задаче оптимального управления (2.2.1) — (2.2.4) имеет вид.

Явное представление для функции Понтрягина в рассматриваемой задаче оптимального управления определяется формулой (2.2.13). Заметим, что объекты, входящие в формулу (2.2.13), имеют следующий характер:

вектор — функция сопряженных переменных (сопряженная функция); по содержанию она представляет собой множитель Лагранжа, соответствующий ограничению дифференциальной связи исходнй задачи оптимального управления;

вектор — функция, описывающая состояние системы в произвольный момент времени.

скалярная функция, описывающая управление системой в произвольный момент времени.

Воспользуемся общей теоретической формой принципа максимума (2.2.8). Тогда для рассматриваемой задачи оптимального управления получаем условие максимума в следующем виде.

при.

Условие максимума установлено. Теорема 2 доказана.