Принцип Даламбера. 
Теоретическая механика.

При движении материальной точки её ускорение в каждый момент времени таково, что приложенные к точке заданные (активные) силы, реакции связей и фиктивная Даламберова сила Ф = - та образуют уравновешенную систему сил.

Доказательство. Рассмотрим движение несвободной материальной точки массой т в инерциальной системе отсчета. Согласно основному закону динамики и принципу освобождения от связей имеем:

где F — равнодействующая заданных (активных) сил; N — равнодействующая реакций всех наложенных на точку связей.

Нетрудно преобразовать (13.1) к виду:

Если вектор Ф = - та считать силой, приложенной к точке, то равенство (13.2) примет форму необходимого и достаточного условия уравновешенности сходящихся сил F, N, Ф:

Вектор Ф = - та называют Даламберовой силой инерции, силой инерции или просто Даламберовой силой. Далее будем использовать только последний термин.

Уравнение (13.3), выражающее принцип Даламбера в символьной форме, называют уравнением кинетостатики материальной точки.

Легко получить обобщение принципа Даламбера для механической системы (системы п материальных точек).

Для любой к-й точки механической системы выполняется равенство (13.3):

где ?_к — равнодействующая заданных (активных) сил, действующих на к-ю точку; N _к — равнодействующая реакций связей, наложенных на к-ю точку; Ф _к = - та _к — Даламберова сила к-й точки.

Очевидно, что если условия уравновешенности (13.4) выполняются для каждой тройки сил F*, N*_:, Ф* (к = 1,. ., п), то и вся система 3п сил.

является уравновешенной.

Следовательно, при движении механической системы в каждый момент времени приложенные к ней активные силы, реакции связей и Даламберовы силы точек системы образуют уравновешенную систему сил.

Силы системы (13.5) уже не являются сходящимися, поэтому, как известно из статики (п. 3.4), необходимые и достаточные условия её уравновешенности имеют следующий вид:

Уравнения (13.6) называют уравнениями кинетостатики механической системы. Для расчетов используют проекции этих векторных уравнений на оси, проходящие через моментную точку О.

Замечание 1. Поскольку сумма всех внутренних сил системы, а также сумма их моментов относительно любой точки равны нулю, то в уравнениях (13.6) достаточно учитывать лишь реакции внешних связей.

Уравнения кинетостатики (13.6) обычно используют для определения реакций связей механической системы, когда движение системы задано, а поэтому ускорения точек системы и зависящие от них Даламберовы силы известны.

Рис. 13.1.

Пример 1. Найти реакции опор А и В вала при его равномерном вращении с частотой 5000 об/мин.

С валом жестко связаны точечные массы гп = 0,1 кг, т₂ = 0,2 кг. Известны размеры АС — CD — DB = 0,4 м, h = 0,01 м. Массу вала считать пренебрежимо малой.

Рис. 13.2.

Решение. Чтобы воспользоваться принципом Даламбера для механической системы, состоящей из двух точечных масс, укажем на схеме (рис. 13.2) заданные силы (силы тяжести) Gi, G₂, реакции связей N4, N# и Даламберовы силы Ф|, Ф₂.

Направления Даламбсровых сил противоположны ускорениям точечных масс т_ь т_2у которые равномерно описывают окружности радиуса h вокруг оси АВ вала.

Находим величины сил тяжести и Даламбсровых сил:

Здесь угловая скорость вала со- 5000* л/30 = 523,6 с Проецируя уравнения кинетостатики (13.6) на декартовы оси Ах, Ay, Az, получим условия уравновешенности плоской системы параллельных сил Gi, G₂, 1Чд, N_tf, Ф_ь Ф₂:

Из уравнения моментов находим N _в = — ⁺ —¹ — — -²——- =.

(0,98 + 274) • 0,4 — (548 -1,96) • 0,8 _w «.

=—-= -272 Н, а из уравнения проекции на ось Ay: N_a = -N_B +G,+G₂+Ф,-Ф₂ = 272 + 0,98 +1,96 + 274−548 =0,06 Н.

Уравнения кинетостатики (13.6) можно использовать и для получения дифференциальных уравнений движения системы, если составить их так, что реакции связей исключаются и в результате появляется возможность получить зависимости ускорений от заданных сил.