Численные методы получения множеств Парето

Часто используют следующий подход. Во множестве D выбирается некоторая сетка, например, координаты которой определяются с помощью датчика случайных чисел, распределённых по равномерному закону. Потом вычисляют значения векторного критерия F в точках этой сетки, после чего за конечное число сравнений, используя функцию выбора по Парето, строится множество Парето на указанной сетке, являющееся при большом N приближением множества Парето относительно D (N — число точек сетки).

В рассмотренных выше моделях оптимизации правило выбора наилучшего решения (оптимального плана) представлено при помощи требования максимизации скалярной функции, которая таким образом отражает степень достижения целей объекта и поэтому часто называется целевой функцией.

Однако построение такой целевой функции для реального экономического объекта представляет собой, как правило, очень трудную задачу. Причины этого связаны с многообразным характером целей развития, влиянием не только экономических, но и социальных факторов, сложностью оценки полезности конечных результатов хозяйственной деятельности и т. п. Поэтому некая синтезированная общая цель производственного объекта часто может быть выражена лишь в словесной форме, но практически не поддается формулировке при помощи четко выраженной скалярной целевой функции. В связи с этим оказывается перспективным считать, что объект ставит перед собой задачу достижения не одной общей цели, но имеет в виду систему целей, каждой из которой отвечает частная целевая функция. Такой подход позволяет поставить задачу выбора наилучшего решения как проблему многокритериальной оптимизации на множестве Z допустимых наборов интенсивностей технологических способов.

Пусть f _l (z) (l = 1, …, L) целевые функции, соответствующие системе L целей производственного объекта, определенные на множестве Z. При этом большему значению f _l отвечает более высокая степень достижения l -той цели. Можно сказать, что требуется найти решение задачи векторной оптимизации В данной ситуации векторная целевая функция f (z) выступает в виде компромисса между различными целями и позволяет условно сформулировать некоторую, вообще говоря, некорректную математическую задачу, в которой требуется найти план, который был бы точкой максимума для нескольких различных функций. Для того, чтобы хотя бы частично устранить эту неправильность, используются некоторые примирительные определения решений многокритериальной задачи.

Вообще говоря, оптимум Парето не является единственным. Совокупность всех таких оптимумов образует множество Парето, которое может иметь сложную структуру. Чаще всего представление о множестве Парето дается при помощи графического изображения в пространстве частных целевых функций (критериев).

Проблема описания множества Парето в конкретной задаче многокритериальной оптимизации оказывается обычно очень сложной и решается путем последовательного решения серии вспомогательных однокритериальных задач. При этом используется, в частности, тот факт, что оптимальный план всякой задачи вида является оптимумом Парето. Следовательно, изменяя коэффициенты, можно построить некоторый набор точек множества Парето.