Введение. 
Волны в анизотропных средах

В однородной анизотропной среде без пространственной дисперсии, для которой зависимость свойств от направления одинакова в разных точках, материальные уравнения принимают вид:

Di (r,) = i j ()Ej (r,), Bi (r,) = i j ()Hj (r,),.

.

Обычно в среде тензором бывает либо магнитная, либо диэлектрическая проницаемость, а вторая величина при этом является скаляром.

Волновое уравнение для анизотропной среды

Рассмотрим немагнитную негиротропную однородную и анизотропную среду с материальным уравнением вида. Уравнения Максвелла (1.16) — (1.19) для монохроматической волны имеют вид:

rot H = -iD/c, div H = 0, rot E = iH/c, div D = 0,.

и с учетом материальных уравнений сводятся к волновому уравнению.

. (3.1).

Для плоских волн уравнения Максвелла принимают вид (2.28).

[k H] = -D/c, (k H) = 0, [k E] = H/c, (k D) = 0, (3.2).

а волновое уравнение (3.1) можно записать в виде:

. (3.3).

Из системы уравнений (3.2) следует, что векторы k, D и H взаимно перпендикулярны и вектор H перпендикулярен вектору Е, но вектор Е в общем случае не коллинеарен вектору D. В плоскости волнового фронта (k r) = const лежат векторы D и H, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Следовательно, и направление потока энергии S = [E H]c/(4) не совпадает с волновым вектором k, то есть не совпадают направления групповой и фазовой скоростей.

Введем лучевой вектор s, направление которого совпадает с направлением вектора Пойтинга S, а модуль определяется из условия.

(s n) = 1, (3.4).

где n = kc/. Нетрудно показать, что.

(s Е) = 0, (s Н) = 0. (3.5).

Умножая уравнение (3.2) векторно на s и учитывая соотношение (3.4), получим:

[s D] = H, [s H] = -E. (3.6).

Материальное уравнение для соотношений (3.5) и (3.6) имеет вид.

. (3.7).

Волновое уравнение (3.3) может быть записано для компонентов в виде, аналогичном уравнению (2.29):

(n2i j — ninj — i j) Ej = 0.

Нетривиальное решение этой системы уравнений возможно лишь при равенстве нулю ее детерминанта, что задает дисперсионное уравнение:

det (n2i j — ninj — i j) = 0, (3.8).

устанавливающее частотную зависимость коэффициента преломления n () при заданном тензоре диэлектрической проницаемости i j (). Аналогично система уравнений (3.5) и (3.6) приводит к другой форме дисперсионного уравнения:

det (s2i j — sisj — -1i j) = 0. (3.9).