Исключение календарного времени

Пусть задача (5.1)—(5.4) автономна, т. е./_?, i = 0, 1, …, тг, и ф_;-, j = 1, …, т, не зависят явно от t, правая часть одного из уравнений (5.2) (для определенности /Д не равна нулю для всех х, и или для тех, которые могут претендовать на оптимальность. Тогда.

х (Т) обозначим как х. Получим преобразованную задачу в форме.

Задача (5.7)—(5.9) имеет размерность фазовых переменных (п — 1) вместо п, а правые части уравнений (5.8) могут оказаться проще, чем уравнений (5.2).

В ряде случаев в исходной задаче среди уравнений (5.2) отсутствует такое, для которого правая часть знакоопределенная. Переход к новым переменным состояния у(х), где преобразование взаимно однозначно, приводит уравнения (5.2) к виду.

Правая часть одного из уравнений (5.10) должна быть при таком преобразовании не обращаться в нуль.

Пример 5.1. Оптимальный теплообмен.

При оптимально организованном процессе теплообмена двух тел заданы количество переданной теплоты и продолжительность процесса, при этом прирост энтропии, равный интегралу от произведения потока теплоты на разность обратных степеней температур (термодинамических потенциалов) должен быть минимален. Приходим к задаче.

Здесь x_l — температуры по Кельвину; c, — теплоемкости контактирующих тел, i = 1, 2; q — поток теплоты.

В силу (5.12), (5.14) знак q не изменяется и любую из переменных состояния можно использовать в качестве аргумента. Приходим к эквивалентной задаче.

Условия (5.15), (5.16) позволяют выразить I как функцию ^(т), задача сводится к форме.

Нужно найти такое допустимое управление, при котором х_г (т) доставляет минимум I с учетом условия (5.17). Эта задача вместо двух дифференциальных уравнений содержит одно интегральное ограничение.

Пример 5.2. Управление периодическим процессом биосинтеза.

При оптимизации микробиологических процессов, протекающих в аппаратах периодического действия, переменными состояния являются концентрации питательного сустрата, биомассы и продуктов жизнедеятельности бактерий (продуктов метаболизма), т. е. п = 3. Так как время в уравнения процесса явно не входит, а концентрация субстрата при отсутствии подпиток монотонно уменьшается, то ее можно принять за новую переменную вместо t и сократить число параметров состояния до двух. Оптимальные управления оказываются в результате решения функциями концентрации субстрата и могут быть реализованы с помощью управляющих устройств, измеряющих эту концентрацию.

Например, кинетику процесса биосинтеза пенициллина характеризуют моделью следующего вида:

Здесь х, s и р — концентрации биомассы, питательного субстрата и продуктов метаболизма соответственно; /с_]3 …, к_в — неотрицательные коэффициенты, зависящие от управляющих воздействий (кислотности среды, температуры и пр.).

Скорость роста биомассы х при р = 0 пропорциональна потреблению субстрата s, наличие же продуктов метаболизма тормозит рост микроорганизмов. Пусть критерием оптимальности является минимальное время процесса Т при заданных для t = Т концентрациях s (T) = s_T и р (Т) = р_т. В начальный момент заданы s (0) = s₀ и х (0) =х₀. Таким образом,.

Правая часть второго из уравнений, определяющих процесс биосинтеза, заведомо меньше нуля, поэтому можно принять s в качестве нового аргумента:

Приходим к задаче с двумя дифференциальными уравнениями и критерием оптимальности.

Если среди исходных переменных нет переменной, которая бы монотонно изменялась во времени, то можно попытаться сделать замену, введя у (х) таким образом, чтобы скорость этой переменной в силу уравнений.

сохраняла свой знак на предполагаемом оптимальном решении.

Например, если две переменных состояния связаны между собой так, что первая из них является скоростью изменения второй, то для любых управлений изображающая точка на фазовой плоскости, по осям которой отложены эти переменные, движется против часовой стрелки, а значит, при переходе к полярным координатам угол наклона фазового вектора меняется монотонно и может быть использован как переменная, заменяющая календарное время.