Решение системы дифференциальных уравнений, исследование фазовых кривых

В этом разделе работы мы исследуем фазовые кривые системы уравнений:

Эта система является линейной, автономной и однородной системой уравнений первого порядка. Поскольку система однородна, у нее есть нулевое решение:,. Перепишем систему в виде:

Выпишем матрицу коэффициентов системы, обозначим ее :

Составим характеристическое уравнение и решим его:

Корнями этого уравнения являются числа и. Это собственные числа матрицы. Необходимо найти соответствующие этим числам собственные векторы. Заметим, что, поскольку имеется нулевое собственное значение, система является сложной: у нее есть положения равновесия, отличные от точки .

Рассмотрим матрично-векторное уравнение (то есть), где — это вектор с координатами и. Перепишем это уравнение в координатах, то есть запишем его как систему уравнений относительно и :

Второе уравнение можно поделить на (эта операция не меняет множества решений), и тогда мы получим систему, в которой два одинаковых уравнения:

Понятно, что общее решение этой системы определяется равенством, так что в качестве собственного вектора годится любой ненулевой вектор, у которого первая координата совпадает со второй. Например, можно взять вектор .

Теперь рассмотрим уравнение, то есть. Как и раньше,. В координатах это уравнение будет выглядеть так:

Перенесем в левые части уравнений слагаемые, стоящие в правых частях: линейный уравнение плоскость кривая.

Эта система содержит два одинаковых уравнения, и одно из них можно отбросить. В данном случае в качестве собственного вектора можно взять .

Общее решение системы уравнений имеет вид:

где — произвольные вещественные константы.

В координатах решение запишется так:

Поскольку один из корней характеристического уравнения положителен, стационарное решение неустойчиво: если, например, положить, , то мы получим решение, которое с ростом будет удаляться от положения равновесия (то есть от начала координат) в бесконечность.

Фазовые кривые схематично показаны на рисунке:

Каждая точка прямой является стационарной фазовой кривой, то есть положением равновесия системы. Остальные фазовые кривые представляют собой лучи, уходящие от прямой в бесконечность. Все эти лучи параллельны вектору .

Рассмотрев и изложив необходимый теоретический материал, мы решили задачу о поведении фазовых кривых линейной автономной системы на плоскости.