Уравнение бернулли для частных случаев

Чтобы применить уравнение Бернулли (9) для практических расчетов, необходимо определить вид потенциальной функции в зависимости от действующих на жидкость массовых сил.

1. На жидкость действует только одна массовая сила тяжести. В этом случае проекции на оси координат плотности распределения массовых сил (ось OZ направлена вертикально вверх).

Из (5а) имеем для данного случая.

. (11).

Подставив полученное значение в (9), получим уравнение Бернулли для установившегося движения несжимаемой невязкой жидкости при действии одной массовой силы — силы тяжести:

(12).

. (13).

Для частицы в двух ее положениях 1 и 2 уравнение Бернулли (12) и (13) можно записать в виде.

(14).

. (15).

Рис. 2.

2. На жидкость действуют массовые силы: сила тяжести, центробежная сила инерции переносного движения и кориолисова сила инерции (случай относительного движения). Такое движение будет наблюдаться, например, в криволинейном канале, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью (рис. 2).

Выберем систему координат: направим ось OZ вдоль оси вращения, а оси ОХ и OY пусть вращаются вместе с каналом.

Рассмотрим движение жидкости вдоль линии тока (или, что тоже, элементарную струйку жидкости). Пусть — местная скорость жидкости относительно выбранной вращающейся системы координат.

Отнесенная к единице массы сила тяжести имеет проекции.

.

Отнесенная к единице массы центробежная сила инерции представляет собой (- расстояние рассматриваемой точки от оси вращения).

Ее проекции.

.

Учитывая, что массовые силы имеют потенциал, запишем.

(16).

и получим.

.

После интегрирования найдем.

.

Так как.

.

. (17).

Вектор кориолисовой силы нормален к вектору относительной скорости движения жидкости, поэтому в выражении отсутствуют проекции плотности распределения кориолисовой силы.

Уравнение Бернулли для рассмотренного движения имеет вид.

(18).

(19).

Для двух сечений элементарной струйки имеем.

(20).

(21).

Величина представляет собой переносную скорость.