Преобразование параллельных ветвей с источниками ЭДС и тока

Если сложная электрическая схема содержит некоторое количество ветвей с источниками ЭДС или тока, соединенных параллельно, то расчет такой схемы может быть существенно облегчен путем замены параллельных ветвей одной ветвью с эквивалентными сопротивлением и ЭДС или эквивалентным источником тока. Проиллюстрируем сказанное на примере схемы, приведенной на рис. 2.7.

На схеме рис. 2.7 а между точками 1 и 2 подключены две ветви с источниками ЭДС E₁ и E₂ и сопротивлениями R₁ и R₂. К этим же точкам подключен источник тока J₃. Требуется заменить часть схемы слева от точек 1 и 2 на эквивалентную с источником ЭДС Е и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.7 б, либо на схему с источником тока J^У и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.8.

Условием эквивалентности является одинаковая для всех трех схем мощность, выделяющаяся на R_Н. Для этого необходимо, чтобы при заданном R_Н напряжение U и ток I в нём оставались неизменными. Для схемы рис. 2.7 а по первому закону Кирхгофа запишем.

. (2.12).

или, используя обобщенный закон Ома,.

(2.13).

где;; .

В схеме рис. 2.76 ток.

(2.14).

В схеме рис. 2.8 (2.15).

где J^У — эквивалентный источник тока.

Так как условия эквивалентности должны выполняться при любых напряжениях U и токах I, то приравнивая правые части (2.13) и (2.14), а также (2.13) и (2.15), получим.

;

.

Из последних уравнений следует.

; (2.16).

(2.17).

. (2.18).

Обратим внимание на то, что эквивалентная проводимость g является суммой проводимостей всех ветвей независимо от того, есть или нет в данной ветви ЭДС. Исключение составляет источник тока J₃ — проводимость этого участка цепи равна нулю и может не учитываться при подсчете проводимости g. Так как сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, то сопротивление R₃, соединенное последовательно с J₃, не меняет величину сопротивления, а значит, и проводимости ветви источника тока. Вместе с тем, значение эквивалентной ЭДС Е, как и эквивалентного источника тока J^У, зависят от величин ЭДС Е₁ и Е₂ и тока J₃.

Правило знаков получим из (2.17) и (2.18). Если стрелки источников ЭДС и источников тока направлены так же как стрелки эквивалентных Е и J^У, т. е. к точке 1 (см. рис. 2.7 а), то берут соответствующие слагаемые со знаком плюс. В нашем случае это Е₁ и J₃. Для ветви с Е₂ знак противоположный.

Пример 2.3. Преобразовать схему рис. 2.7 а к виду рис. 2.7 б, если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 60 Ом; Е₁ = 90 В; Е₂ = 30 В; J₃ = 1 А.

Решение

1. Определяем проводимости ветвей

; .

2. Определяем проводимость эквивалентного источника

; Ом.

3. Определяем силу источника тока

А, где J₁ и J₂ — эквивалентные источники.

4. Составляем преобразованную схему (см. рис. 2.7 б).