Вычисление интервала справедливых цен

1) k=1,2,…,-1, n=1,…, N-1;

2) ;

то есть, рассматриваемый рынок является безарбитражным (теорема 2.2). Поскольку множество мартингальных мер, эквивалентных исходной мере, содержит более одной меры (мартингальные меры удовлетворяют соотношениям (2.4)), то рассматриваемый рынок является неполным. Рассмотрим дисконтированное, неотрицательное и ограниченное финансовое обязательство. Во второй части пособия приведены формулы для вычисления верхней и нижней цен финансового обязательства. Здесь мы изучим эту проблему с иной точки зрения, а именно представим ее как задачу линейного программирования.

Рассмотрим задачу вычисления верхней цены контракта. Напомним ее: при ограничениях: супермартингал относительно любой мртингальной меры, где — дисконтированный капитал. Покажем, что эта задача эквивалентна задаче:

Действительно. Рассмотрим ограничения. Если — супермартингал относительно любой мартингальной меры, то имеет место опциональное разложение и тогда неравенства.

выполняются. Если выполняются неравенства, то — супермартингал относительно любой мартингальной меры.

Для решения задачи (3.5) применим метод динамического программирования [белм].

Определим случайную адаптированную последовательность.

:

;

.

при ограничениях:

. Здесь.

.

Верхняя цена.

— .

Теорема 3.5. Для.

при ограничениях:

.

Доказательство.

Рассмотрим две задачи:

при ограничениях: ,(3.6).

при ограничениях:, .(3.7).

Пусть — решение задачи (3.6) последовательность:

является допустимой для задачи (3.7). Следовательно. Пусть решение задачи (3.7) достигается на последовательности.

.

то есть — решение задачи:

при ограничениях:

Из определения последовательности следует, что. Сравнивая (3.6) и (3.8) делаем вывод, что. Тем самым теорема доказана.

Теорема 2.5 позволяет предложить следующий алгоритм решения задачи.

Алгоритм 2.1.

• 1. Инициализация. Полагаем n=N, .
• 2. Итерация. Если n=0, то переходим к 3. Решаем задачу (3.6), полагаем n=n-1 и переходим к 2.
• 3. Остановка.

Решение задачи (3.6). Рассмотрим атом (рис. 3.3).

при выполнении ограничений:

(3.9).

Поскольку, то решением задачи (3.9) будет.

при произвольном. Положим.

Рассмотрим атом (рис. 2.3). В соответствии с дроблением атома требуется найти.

при выполнении ограничений:

.

.

. (3.11).

Зафиксируем, тогда.

Рассмотрим три возможных случая.

1.

• 2.
• 3.

Для первого случая.

Для второго случая.

Для третьего случая.

Таким образом, решение задачи (3.6) имеет вид:

где .(3.12).

Положим.

.

тем самым вычислены верхняя цена контракта и верхний хедж. Нижний хедж и нижняя цена контракта вычисляются аналогично, и мы в очередной раз предоставляем эту возможность читателю, Далее рассмотрим среднеквадратичное хеджирование.