Проверка однородности вероятностей

Одна из базовых проблем, решаемых статистическими методами, — проверка однородности вероятностей. Она часто обсуждается в литературе, а методы проверки однородности применяются при решении многих практических задач, встающих перед врачом-исследователем. Например, как сравнить по тяжести заболевания две группы — мужчин и женщин, молодых и пожилых, и т. п.

Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить в одну и осуществлять одни и те же лечебные воздействия. Если две группы различаются, то и лечить их надо по-разному.

Постановка задачи в вероятностно-статистических терминах такова. Рассматривается вопрос «карты больного» с двумя возможными ответами, например, «есть» и «нет». В первой группе из n₁ пациентов для m₁ человек ответ «есть», а во второй группе из n₂ больных для m₂ лиц ответ «есть». В вероятностной модели предполагается, что m₁ и m_2 — биномиальные случайные величины B (n₁, p₁) и B (n₂, p₂) соответственно.

Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность — что эти вероятности отличаются. Необходимо проверить гипотезу однородности H₀: p₁ = p₂ при альтернативной гипотезе о наличии эффекта H₁: p₁ p₂ Оценкой вероятности р₁ является частота р₁*=m₁/n₁, а оценкой вероятности р₂ является частота р₂*=m₂/n₂. Даже при совпадении вероятностей р₁ и р₂ частоты, как правило, различаются.

Правило принятия решения при проверке статистической гипотезы однородности двух выборок приведено в [3, гл.1]. В клинико-статистических и медико-биологических наиболее распространен 5% уровень значимости, т. е.

Пример 3. Пусть из 500 мужчин определенное нарушение выявлено у 300, а из 600 женщин это нарушение зафиксировано у 300. Есть ли разница между мужчинами и женщинами по доле лиц, имеющих рассматриваемое нарушение?

В рассматриваемом примере нужные для расчетов величины таковы: Вычислим статистику.

Поскольку |Q| = 3,34 > 1,96, то необходимо отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную. Таким образом, мужчины и женщины отличаются по доле лиц, имеющих рассматриваемое нарушение.

Итак, если частоты (выборочные доли) в группах достаточно сильно различаются, то делается вывод о различии долей в генеральных совокупностях. А если сравнительно мало различаются, то утверждают, что различие не обнаружено. А где граница? Допустимое расхождение между частотами нетрудно получить расчетным путем (см. [3, гл.1]). Для данных примера 3 = 1,960,0299 = 0,059, или 5,9%, для уровня значимости 0,05.

Пример 4. Фраксипарин получали 75 пациентов, из которых 53 мужчины (70,7%), фраксифорте — 75 пациентов, из которых 45 мужчин (60%). Различаются ли подгруппы по половому составу?

Данные, требуемые для расчетов: Вычислим статистику критерия проверки однородности (обнаружения эффекта).

Поскольку |Q| = 1,386 < 1,96, необходимо принять нулевую гипотезу и отклонить альтернативную. Различие не обнаружено, следовательно, подгруппы не отличаются по половому составу.