Особенности корреляционного анализа для неколичественных характеристик

СИЗ между порядковыми переменными сводится к статистическому анализу различных упорядочений (ранжировок) множества объектов. Он осуществляется с помощью методов ранговой корреляции. Процесс упорядочения осуществляется либо экспертами, либо формализовано (переходом от количественных значений к вариационному ряду). Исходные данные представлены таблицей рангов статистически обследованных объектов размера. При формировании матрицы возможны случаи неразличимости двух и более объектов, т. е. «объединенные» ранги.

К основным задачам теории и практики в этом случае относятся:

• — анализ структуры исследуемой совокупности упорядочения (например, точки равномерно разбросаны по области значений, т. е. нет статистической связи; наличие сгустка-ядра при произвольном разбросе других точек говорит о наличии согласованности в переменных; существование нескольких ядер говорит о статистической зависимости переменных внутри них);
• — анализ интегральной согласованности переменных и условная ранжировка по критерию степени тесноты связи каждой со всеми остальными (разные эксперты упорядочили объекты, их необходимо упорядочить по компетентности);
• — построение единого упорядочения объектов по имеющейся совокупности упорядочений.

В качестве основных характеристик парной статистической связи между упорядочениями используются ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендалла. Значения этих коэффициентов меняются в диапазоне от -1 до +1. Причем =-1, если ряды прямо противоположно упорядочены, =+1, если по упорядочению ряды совпадают, =0, если в упорядочении рядов отсутствует связь. Пусть — порядковое место (ранг) объекта по степени проявленияго свойства (переменной). Тогда степень тесноты между ранжировками (при отсутствии объединенных рангов) и с помощью коэффициента Спирмэна определяется по формуле 6.3. При наличии объединенных рангов формула усложняется.

Коэффициент Кендалла (при отсутствии объединенных рангов) вычисляется по формуле:

где — минимальное число обменов соседних элементов последовательности, необходимое для приведения ее к упорядочению. Величина симметрична относительно аргументов. При подсчете полезным оказывается факт тождественного совпадения величин и, где число инверсий — это число расположенных в неодинаковом порядке пар элементов последовательностей и, являющееся мерой нарушения порядка объектов в одной последовательности относительно другой.

где если, а иначе .

Анализируемые ранжировки видоизменяются к представлению:

Ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендалла связаны так как они являются линейными функциями от числа инверсий, имеющихся в сравнении последовательностей и. При подсчете коэффициента корреляции Спирмэна инверсиям отдаленных (по величине) друг от друга элементов приписываются большие веса. Между масштабами шкал, в которых измеряют корреляцию коэффициенты и нет простого соотношения. Однако при N>10 и при условии, что абсолютные значения этих коэффициентов не слишком близки к 1, их связывает приближенное соотношение.

1.5.

Отметим некоторые преимущества коэффициента корреляции Кендалла по сравнению с коэффициентом корреляции Спирмэна: лучше изучены его статистические свойства (выборочное распределение), возможность его использования при определении частной (очищенной) корреляции рангов, отсутствие потребности полного пересчета при добавлении новых объектов.

С целью измерения статистической связи между несколькими переменными (при отсутствии объединенных рангов) Кендаллом был предложен коэффициент конкордации (или согласованности).

где m — число анализируемых порядковых переменных (сравниваемых упорядочений); N — число объектов (объем выборки); k1,…, km — номера отобранных для анализа порядковых переменных (из исходной совокупности) m

Заметим, что. В отличии от парных связей противоположные понятия согласованности и несогласованности утрачивают прежнюю симметричность относительно нуля.

Используя коэффициент конкордации, можно решить, например, задачу анализа структуры имеющейся совокупности упорядочений путем разбиения имеющегося набора порядковых переменных x (0),…, x (p) на группы высоко коррелированных переменных. При статистическом анализе совокупности экспертных мнений (ранжировок) существенным оказывается вопрос упорядочения самих переменных (интерпретируемых в качестве экспертов) по степени их коррелированности со всеми остальными переменными. Для ответа на этот вопрос можно предложить следующий алгоритм.

Пусть — коэффициент конкордации, подсчитанный по всем рассматриваемым переменным x (0),…, x (p) за исключением переменных. Варьируя состав группы исключенных переменных, мы получим различных значений. Последовательно вычислим значения всех этих коэффициентов для k=0,1,2,…, k0 и упорядочим их (при каждом фиксированном k) в соответствии с убыванием их значений. Получим:

;

Эти упорядочения (на каждом этаже) и дают нам одновременно ранжировки самих переменных (по одной, по паре и т. д.) по степени их согласованности с остальными переменными: очевидно, ту переменную, выбрасывание которой приводит к максимальному значению меры согласованности по остальным переменным, естественно объявить наименее связанной (согласующейся) с остальными переменными.