Уравнения Максвелла в неинерциальных системах отсчета

Максвелл [1] рассмотрел вопрос об изменении электродвижущей интенсивности в случае неинерциальной системы координат, скорость которой изменяется по закону (7). Максвелл пришел к выводу, что в случае замкнутых токов переход в неинерциальную систему координат не должен сказываться на электродинамических явлениях. С другой стороны, известно, например, что в неинерциальной системе координат наблюдается эффект возбуждения тока ускорением [25].

Среди оптических явлений в неинерциальных системах координат отметим опыт Саньяка [26], в котором наблюдается сдвиг полос в интерферометре, обусловленный вращением системы отсчета, и аналогичный ему эффект изменения пятна дифракции Френеля при периодическом изменении ускорения в системе маятника [27].

Для моделирования перечисленных явлений рассмотрим уравнения Максвелла в метрике (7). Для этого используем стандартное представление уравнений электродинамики при наличии гравитационного поля [6−7].

(13).

Здесь использованы стандартные обозначения для векторов напряженности электрического и магнитного поля, для электрической и магнитной индукции, плотности электрического заряда и тока. Метрический тензор, скаляр, вектор и трехмерный тензор, определитель которого фигурирует в системе уравнений (13), имеют вид:

(14).

Здесь мы положили для упрощения. Вычисляя определитель метрического тензора и трехмерного тензора в метрике (7), находим, что. Приведем для сравнения систему уравнений Максвелла в тензорном виде [6−7].

(15).

Наконец, волновое уравнение, описывающее скалярный потенциал в произвольной метрике имеет вид.

(16).

Используя выражение метрического тензора (14), находим уравнение потенциала в неинерциальной системе координат в метрике (7).

(17).

Компоненты скорости и ускорения вычисляются согласно первому уравнению (7) в виде.

(18).

Уравнение (17) описывает многочисленные электродинамические и оптические эффекты, которые, можно наблюдать в неинерциальных системах отсчета. Часть этих эффектов зависит линейно от скорости и ускорения, чем объясняется, например, дипольное излучение системы зарядов, эффект Стюарта-Толмена [25], эффект Саньяка [26−27] и аберрация света звезд [28]. Другие эффекты зависят от квадрата скорости, но попытки зарегистрировать эти эффекты в известном эксперименте Майкельсона-Морли [29] не увенчались успехом.

Отметим существенное отличие скалярного волнового уравнения (17) от уравнений Максвелла в трехмерной форме (13). Уравнение (17) содержит слагаемые, линейные относительно ускорения системы, тогда как уравнения Максвелла не содержит аналогичных слагаемых. Действительно, слагаемое пропорциональное ускорению возникает в уравнениях (13) при дифференцировании по времени определителя, но его производная, как это легко можно видеть, пропорциональна .

Следовательно, уравнения Максвелла описывают эффекты, обусловленные ускорением, как эффекты второго порядка, тогда как волновое уравнение описывает аналогичные эффекты как эффекты первого порядка. Отметим, что излучение электромагнитных волн и эффект Стюарта-Толмена являются эффектами первого порядка относительно ускорения системы.

Второе отличие заключается в том, что волновое уравнение (17) содержит слагаемые, пропорциональные градиенту скорости, тогда как уравнения Максвелла вообще не содержат подобных слагаемых. Отметим, что эти слагаемые описывают эффекты излучения при вращении системы, например, циклотронное излучение.

Третье отличие заключается в том, что волновое уравнение (17) не содержит особенности при переходе через скорость света, тогда как уравнения (13) теряют свой смысл при условии, что, поскольку в этом случае. С другой стороны, уравнения Максвелла в ковариантной форме (15) не содержат особенности при переходе через скорость света.

Наконец, заметим, что теория излучения в классической электродинамике строится на основе запаздывающих потенциалов, а не на основе уравнений (13). Действительно, запаздывающие потенциалы позволяют связать излучение с движением зарядов в системе, что равносильно переходу в неинерциальную систему отсчета и к волновому уравнению типа (17).