Точность алгебраических методов

Рассмотрим влияние возмущений матрицы системы и вектора правой части на точность решения. Относительная погрешность решения.

.

где — точное решение, в любой согласованной норме подчиняется неравенству.

.

Обозначим.

.

Величины, являются оценками относительных возмущений матрицы A и вектора b. Число ч есть не что иное, как число обусловленности матрицы A.

Естественно допустить, что.

.

Такое неравенство означает, что норма матрицы возмущений существенно меньше нормы исходной матрицы, т. е. предполагается, что прямой метод решения линейной системы устойчив. В этом случае.

.

Относительная ошибка решения системы прямым методом может достигать величины, определяемой произведением числа обусловленности и суммы относительных возмущений матрицы системы и вектора правой части. Если число обусловленности велико, то даже при малых эквивалентных возмущениях матрицы и вектора правой части погрешность решения линейной системы оказывается значительной.

Задачи, для которых ч велико, называют плохо обусловленными. Число обусловленности зависит от выбора матричной нормы. Например, для симметричной положительно определенной матрицы A в качестве можно взять ее максимальное собственное число. Тогда число обусловленности.

.

где , — максимальное и минимальное собственные числа матрицы.