Бирациональные инварианты и редукции алгебраических торов

С конца шестидесятых годов нашего века началось успешное применение методов бирациональной геометрии в теории линейных алгебраических групп, в частности, в вопросах арифметики этих групп. К настоящему времени накопилось большое количество фактического материала, систематизированного и обстоятельно изложенного в монографии В. Е. Воскресенского [V2]. Значительно дополняя информацию, содержащуюся в его книге 1977 г. «Алгебраические торы» [V0], данная монография восполняет скудные сведения о многообразиях над незамкнутым полем, достаточно подробно освещая необходимые понятия из теории схем и когомологий Галуа. Наиболее актуально это для теории алгебраических торов, так как последние в общей теории комплексных линейных алгебраических групп играли важную, но вспомогательную роль, так как над алгебраически замкнутым полем сам тор имеет весьма простую структуру. Ситуация радикально меняется при переходе к незамкнутым полям. Над такими полями алгебраические торы могут быть устроены весьма сложно, и их изучение приносило и приносит достаточно крупные и неожиданные результаты. Так, исследование арифметики алгебраических торов, проведенное Т. Оно [Опо], привело к получению точной формулы для чисел Тамагавы, что позволило дать ответ и на ряд трудных вопросов арифметики полупростых групп. Далее, изучение алгебраических торов позволило дать ответ на некоторые вопросы арифметики числовых полей. Последнее время возрос интерес к целым моделям алгебраических торов, определенных над локальными и глобальными полями, так как они позволяют вычислять локальные L-функции Артина, а также точные значения числа классов адельной группы алгебраического тора.

Под целой моделью линейной алгебраической группы G над полем к (локальным или глобальным) понимают групповую схему X, определенную над кольцом целых О поля к такую, что G = X o к. Существуют несколько подходов к построению целой модели для алгебраического тора. Наряду с классической моделью Нерона, изученной сравнительно недавно Нартом (E.Nart) и Ксарлезом (X. Xarles) [NX], а также К. Лиу (Q. Liu) и Д. Лоренцини (D. Lorenzini) [LL] была построена стандартная целая модель, определяемая исключительно параметрами тора Т. Побудительной для построения последней явилась совместная статья В. Воскресенского и Т. Фоминой [VF], окончательную формулировку определение стандартной целой модели приняло в заметке Воскресенского [VI]. Сопоставление указанных моделей стало предметом исследований Б. Э. Кунявского и Сансюка [KuS]: не обладая, вообще говоря, гладкостью модели Нерона, стандартная целая модель имеет всегда конечный тип над полем определения. Одна из глав работы посвящена изучению стандартной целой модели Воскресенского и ее редукции по простому модулю..

Отметим еще одно актуальное направление, получившее развитие в данной работе. Пусть L/k — расширение Галуа с конечной группой П, тогда категория к-торов, разложимых над L, двойственна категории П-модулей конечного ранга и без кручения, т. е. имеется прямая связь торов с целочисленными представлениями конечных групп. Это позволяет трудную задачу бирациональной классификации алгебраических торов отобразить в категорию модулей Галуа (решеток), что приводит к построению бирациональ-ных инвариантов алгебраических торов, которые в ряде случаев оказались весьма эффективными. С их помощью был получен ряд критериев рациональности и стабильной рациональности, а также весьма важные арифметические характеристики построенных инвариантов. В частности, актуальной задачей является проблема вычисления инварианта р (Т) — класса стабильной эквивалентности П-модуля PicX, где X — проективная модель тора Т — максимального тора связной полупростой алгебраической группы. Вычислению инварианта р (Т) посвящены работы Воскресенского, Клячко, Кунявского, Эндо, Мияты, Кольо-Телена, Сансюка, Меркурьева и др. До сих пор вопрос об инварианте р (Т) остается открытым для связных полупростых групп..

Целями данной работы являются вычисление бирациональных инвариантов алгебраических торов, или, что равносильно, целочисленных решеток малых размерностей, в частности, для решеток, определяемых системами корней полупростых групп, а также целью является изучение стандартной целой модели алгебраического тора, и ее редукции, вычисление редукций целой модели торов малой размерности..

Основным инструментом в исследованиях являются методы целочисленных представлений групп Галуа и классификация соответствующих целочисленных решеток. Важный аппарат в исследовании — это группы Брау-эра и Пикара соответствующих моделей и их группы когомологий. В работе использованы геометрический и алгебраический методы построения вялых (канонических) резольвент модуля Галуа. Используется двойственность групповых схем и их алгебр Хопфа, а также изучение редукций алгебраических торов методами разложения в композиционный ряд..

Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и геометрии Самарского госуниверситета, на конференции памяти А. Г. Куроша (Москва, МГУ, 1998 г.), на международной конференции «Journees Arithmetiques» (Рим, Италия, 1999 г.), на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева (руководитель — проф. А. В. Яковлев)..

Результаты диссертации изложены в четырех печатных работах [Ро 1, Ро2, Ро V1, Ро V2]..

Диссертация изложена на 82 страницах и состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Начиная с первой, главы разделены на пункты. В пределах каждой главы теоремы, предложения, леммы и формулы охвачены единой нумерацией в порядке их следования в тексте..

Дадим краткий обзор содержания диссертации по главам..