Исследование движения вязкой теплопроводной жидкости с переменными характеристиками

Развитие различных отраслей промышленности сопровождается оптимизацией и интенсификацией рабочих процессов, связанных с переносом и использованием различных видов энергии, созданием высокоэффективных теплообменных систем и аппаратов, необходимых для решения ряда технических проблем. Усложнение технических устройств и неотложность проблем энергетики и охраны окружающей среды привели к тому, что в последние годы изучение процесса теплои массопереноса связано с широким кругом задач, каждой из которых присущи свои требования к точности определения искомых характеристик и понимания физической сути процессов, представляющих интерес. Знание механизма переноса теплоты и массы дает возможность изменять технологический процесс производства, повышать мощность и надежность работы теплоэнергетических установок, создавать новые, более эффективные способы производства материалов и изделий.

Неравномерно нагретая жидкость, находящаяся в поле силы тяжести, при определенных условиях может находиться в механическом равновесии. Если же неоднородность температуры (или нагрева) достаточно велика, то равновесие становится неустойчивым и возникает конвекция. Она может начаться и тогда, когда при некоторых условиях подогрева невозможно механическое равновесие [27,88].

В природе и производстве часто встречаются процессы переноса в жидкостях, когда движение возникает из-за пространственной неоднородности плотности в поле силы тяжести. Подъемная сила, вызывающая движение, возникает вследствие перепада температур, приводящего к разности плотностей (например, циркуляции в атмосфере и океане, в масле, охлаждающем силовой трансформатор и т. д.).

В последние годы значительно возросло число теоретических и экспериментальных исследований взаимодействия жидкостей с различными физическими полями. Существенно больше стало работ, посвященных взаимодействию полей с неизотермическими жидкостями и изучению воздействий, которые приводят их в конвективное движение. Появились новые направления исследований: влияние электромагнитных полей на конвекциюэлектрическая конвекцияконвекция в ферромагнитных жидкостяхконвекции, возбуждаемые за счет зависимости поверхностного натяжения от температуры или тензора напряжений от градиентов температуры и т. д. [69,72,114].

Постановки новых задач возникли в связи с нуждами производства и достижениями науки. Выяснилась большая роль конвекции в актуальных технических проблемах: кристаллизации полупроводниковых материалов из газовой и жидкой фазывыращивании совершенных кристалловохлаждении ядерных реакторовконструировании лазеров и создании оптических газовых линзв космических исследованияхв холодильной и нефтеперерабатывающей промышленностисоздании оптимального теплового и влажностного режима эксплуатации промышленных и гражданских сооружений [93,132].

Теория вязких течений жидкости представляет собой один из важнейших для практики и интересной для математических исследований раздел математической физики. Исследование существования и единственности решения задачи о вязком течении жидкости имеет большую историю. Первые шаги по применению методов функционального анализа для исследования таких задач были сделаны французским математиком Ж. Лерэ. В своих работах O.A. Ладыженская решила многие важные вопросы существования решений задачи о вязком течении несжимаемой жидкости, описала их характер [63,64]. Р. Темам [124] изложил результаты, касающиеся теории и численного анализа уравнений Навье-Стокса, которые описывают движение вязкой несжимаемой жидкости. С. М. Ма [159] доказал теорему единственности решений начально-краевой задачи для уравнений Навье-Стокса.

С.Н. Антонцев, A.B. Кажихов и В. Н. Монахов [2] исследовали корректность краевых задач для систем уравнений с частными производными, описывающими течения вязкого газа и неоднородной по плотности жидкости, изучали качественные свойства решений.

Теоремы существования и единственности решений для уравнений тепловой (термогравитационной) конвекции в приближении Обербека-Буссинеска с постоянными теплофизическими характеристиками приведены в работах В. В. Васильева [18], Е. Х. Драхлина [46], А. В. Кажихова и В. В. Рагулина [52], Н. К. Коренева [58], И. Г. Севрука [106], П. С. Чернякова [135,136].

В рассмотренной литературе математическая сторона течений вязкой жидкости с переменными теплофизическими характеристиками мало исследовалось. В своей работе О. Н. Гончарова [34] исследовала стационарную задачу для уравнений свободной конвекции. Ш. Смагулов и Б. Т. Смагулов [108] изучали корректность начально-краевой задачи для нестационарного движения свободной конвекции в замкнутой области.

В настоящее время для исследования процессов теплои массообмена применяются различные методы [1,28,35,66,90,91,134,164]. Классическим является аналитический метод, который состоит в получении явной формулы, выражающей решение через элементарные или некоторые специальные функции, но это, даже при значительных упрощениях, возможно только в некоторых случаях [16,25,46,61,82,88,117]. В работе А. Ф. Сидорова [107] изложены аналитические подходы, широко используемые при анализе и конструировании решений нелинейных уравнений термогравитационной конвекции.

Наряду с аналитическими методами для исследования задач конвекции иногда используют метод аналогий, основанный на формальной одинаковости в аналитическом описании некоторых физических явлений. На практике применяются модели, построенные на гидравлической, механической и электрической аналогии процессов [116,140].

В случае «слабой конвекции» (малая разность температур) используется приближенный метод, основанный на разложении искомых величин в ряд по степеням малого параметра [28],[75],[81].

В последнее время в связи с быстрым развитием вычислительной техники все более широкое распространение находят численные методы решения задач теплои массообмена.

В настоящее время имеется ряд общих подходов к численному решению уравнений в частных производных, которые можно положить в основу эффективных методов численного интегрирования задач конвекции: метод интегральных соотношений [134], метод Монте-Карло [113], метод частиц в ячейках [133], метод конечных разностей [4,8,9,48,90,91,154], метод конечных элементов [79,80,98,131].

Круг исследуемых задач конвекции широк. С одной стороны — это внешние задачи: конвекция возле вертикальных (горизонтальных, наклонных) пластин, цилиндров, шаров и тел другой формыс другой — внутренние задачи конвекции. Обзоры многочисленных теоретических и экспериментальных работ по этим вопросам были выполнены Г. А. Остроумовым [88], Е. Х. Драхлиным [46], А. Д. Идом [51], Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицким и Г. Ф. Шайдуровым [32], A.B. Лыковым и Б.М. Бер-ковским [69], О. Г. Мартыненко и Ю. А. Соковишиным [77], Й. Джалурия [44], Б. Гебхарт и др. [21], О. Г. Мартыненко [161].

В работах Б. М. Берковского [5], Б. Гебхарта и др. 21], А. Д. Ида [51] исследовались внешние задачи конвекции в ньютоновских жидкостях на телах простой формы (вертикальная пластина), без учета влияния кромок пластины и толщины пограничного слоя на характеристики движения и теплообмена. Метод сращиваемых асимптотических разложений, рассмотренный О. Г. Мартыненко, A.A. Березовским и Ю. А. Соковишиным [74], дает возможность их учета за счет построения двух приближений, дополняющих друг друга и охватывающих всю область течения. Взаимосвязь между приближениями отражает картину течения и теплообмена.

Большое число работ посвящено конвекции в замкнутых полостях простой формы с различными простейшими видами неизотермичности [69]. Двумерные задачи в прямоугольных областях при однородном нагреве снизу или сбоку рассматривались Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицким и E.JI. Таруниным [28,29,30], А. Д. Госменом и др. [36], П. М. Лиханским и М. С. Поварницыным [67] и др. [3,17,42,115,152], [153,157,160,165].

Р. Макгрегор и А. Эмери [73] изучали влияние чисел Грасгофа, Рэлея, Прандтля и отношения размеров полости на течение и теплообмен (здесь 0 < Gr < 105, 0 < Ra < 105, 0 < Рг < 7200, 1 ^ H/L < 20). Вертикальные и горизонтальные цилиндры с постоянным градиентом температуры исследовались в работах Г. А. Бугаенко [16], Б. П. Герасимова и И. С. Калачинской [24], В. И. Полежаева и Ю. В. Вальциферова [97] и др. [50,71,96,153,165].

Конвективные движения в области треугольного сечения рассмотрели Е. С. Турганбаев [129], Ю. Е. Карякин и Ю. А. Соковишин [54]. Здесь же приводится обзор работ, посвященный конвективному движению, в треугольных областях.

Из-за сложности исследования сравнительно немного исследовались трехмерные задачи термогравитационной конвекции и конвекция в шаровых полостях [13,86,92,120].

На практике часто встречаются случаи, когда градиент температуры в жидкости направлен противоположно вектору силы тяжести. А анализ известных нам работ по термогравитационной конвекции в замкнутых областях показывает, что мало исследовалась конвекция при неравномерном нагреве границ и почти не исследовалась конвекция при неравномерном нагреве сверху. В работах Б. М. Берковского и Е.Ф. Ного-това [6,7], Ю. К. Шлиомиса и М. И. Братухина [13], Б. П. Герасимова [22], Е. Л. Тарунина [118,119] и др. [14,29,50,55,72,73] затрагиваются некоторые вопросы конвекции при неравномерном нагреве на границерассматриваются задачи конвекции, возникающие в полостях различных сечений при заданной разности температур между вертикальными или же горизонтальными границами, на которых задается линейное распределение температуры.

Непосредственно к задачам термогравитационной конвекции при неравномерном нагреве сверху относятся задачи, рассмотренные в следующих работах. A.B. Лыков и Б. М. Берковский [69] исследовали вопрос об условиях возникновения конвекции в полости с переменной температурой стенок. Экспериментально изучается такая конвекция в работах A.B. Лыкова, Б. М. Берковского и В. Е. Фертмана [70], Е. Л. Тарунина и др. [123].

Структура течения и теплообмен в цилиндрических полостях прямоугольного сечения рассматривалось Б. М. Берковским и Е. Ф. Ноготовым [6], Е. Ф. Ноготовым [83], A.B. Лыковым и др. [68,69] и др. [95]. Проведенные в них исследования посвящены выяснению зависимости термоконвективных процессов от величины перепада температуры на верхней границе, а также от распределения температуры на ней (здесь 0 < Gr ^ 106, Рг = 0.707). Для этого на верхней границе задавалась синусоидальная зависимость температуры, а нижняя и обе боковые поверхности при постоянной температуре. Возникающее в этом случае в полости конвективное течение имеет ячеистую структуру. В центре области жидкость поднимается вверх, а у боковых границ опускается вниз. При этом у верхней границы она нагревается, а у боковых границ нижнего основания будет охлаждаться. Делается вывод о том, что при определенных условиях в верхней части можно наблюдать явление локального перегрева жидкости, т. е. в некоторых вертикальных сечениях, параллельных боковым границам, температура внутри области будет превосходить температуру в соответствующих точках на нагреваемой верхней границе. Еще рассматривался случай линейного распределения температуры на верхней и одной из боковых границ, при этом нижняя и другая боковая стенки поддерживались при постоянной температуре.

При достаточно больших числах Рэлея и Прандтля (11а < Ю10, Рг < 105) конвективный теплообмен в замкнутых прямоугольных областях изучался в работе Б. М. Берковского и В. К. Полевикова [10]. В ней рассматривается плоская задача для постоянных теплофизичесских характеристик при неравномерном нагреве сверху: в{х, 1, г) = вт тгж, ^(о, у, г) = 0(1, у, = в{х, о, г) = о.

Ранее такие задачи (для вг < 106 и Рг = 1) рассматривались в работах Б. М. Берковского и Е. Ф. Ноготова [6,7], Г. З. Гершунй, Е. М. Жуховицкого, Е. Л. Тарунина [29]. Выяснилось, что рост числа Рэлея вызывает разрушение однородной структуры решений (при нагреве сверху Яа яз 105). С ростом 11а изотермы в центре принимают форму горизонтальных линий. В области высоких чисел Рэлея (11а > 105) увеличение интенсивности теплообмена происходит сильнее, чем при меньших значениях Иа. При нагревании сверху область изменения температуры и скорости сосредотачивается у нагретой верхней границы, а при нагревании сбоку — формирование пограничных слоев происходит вдоль всех границ. С ростом Рг (1 ^ Рг ^ 102) вертикальный температурный градиент в ядре стремится к нулю и ядро становится изотермическим. Если же наращивание Яа идет за счет Сг, то величина градиента стабилизируется возле некоторого значения из интервала (0,1), зависящего от числа Прандтля Рг.

Влияние поперечных размеров полости и величины перепада температуры между верхней и нижней стенками области рассматривается в работах Б. М. Берковского и Е. Ф. Ноготова [7] (для вг ^ 108, Рг ^ 102, 0.1 ^ Н/Ь ^ 10, Авн/АОь < 2.0), А. В. Лыкова и др. 69], Е. Ф. Ноготова [83], В. К. Полевикова [95] (здесь 0 < Сг ^ 106, Рг = 0.707). Установлено, что в квадратной области при возрастании 9н/0ъ, — характерная величина неоднородности температуры на боковых стенках, а вь — на верхней границе), интенсивность конвекции уменьшается, область интенсивного движения сокращается, сосредотачиваясь у верхней границы области, наблюдается охлаждение конвекцией нижних слоев жидкости. Интенсивность конвективного движения в области увеличивается с ростом Н/Ь вплоть до Н/Ь = 1,5. При Н/Ь > 1, 5 интенсивность конвекции и теплообмен через область не зависят от высоты Н. При Н/Ь < 1 интенсивное конвективное движение захватывает всю область. В рассмотренных выше работах исследования проводились для различных сечений с твердыми границами.

В работах Г. З. Гершуни и др. [26,31], В. А. Гущина и С. М. Коньшина [39], П. П. Смышляева и др. 109,110] рассматривается конвекция в прямоугольных областях со свободной верхней границей. В случае, когда вертикальные границы поддерживались при постоянной температуре [26], а на свободной поверхности она изменяется по линейному закону, в области формируется одиночный вихрь, центр которого располагается на вертикальной оси прямоугольной области, в центре имеется почти постоянный градиент температуры (при Сг = 312, Рг = 5). С увеличением Сг (до 2 • 104, Рг = 5), вместе с увеличением интенсивности конвекции происходит изменение структуры полей и температур. В центральной части появляется ядро с двумя вихрями. При увеличении отношения Н/Ь число вихрей увеличивается. Здесь же рассматривается случай теплоизолированной верхней границы. Медленные движения вязкой жидкости (без учета инерционных и конвективных членов) исследовались в работах Г. З. Гершуни и др. [31], П. П. Смышляева и др. [109,110], делается вывод, что многовихревая структура течения во впадине при наличии внешнего потока не связана с нелинейными эффектами, а появляется уже при решении уравнений конвекции без учета инерционных и конвективных членов.

Почти все рассмотренные работы по термогравитационной конвекции исследовались с постоянными теплофизическими характеристиками. На практике часто приходится иметь дело с такими разностями температур, которые соответствуют изменению коэффициента вязкости в несколько раз (например, трансформаторное масло при изменении температуры от 20 °C до 90 °C меняет вязкость в 6−7 развода при изменении температуры от 10 °C до 100 °C меняет вязкость более чем в 4 раза), а иногда и по порядку величины (например, жидкое стекло при изменении температуры на +400°С — в 33 раза). Но, как выяснилось из обзора работ по термогравитационной конвекции, исследования с учетом зависимости вязкости от температуры немногочисленны. Применяя уравнения погранслоя, С. М. Тарг [117] решил задачу о теплообмене около тонкой пластины жидкостью с переменным коэффициентом вязкости. Обзор работ о неизотермическом стационарном течении вязкой жидкости провели С.А. Бостан-джиян, А. Г. Мержанов, С. И. Худяев [12]. И. Ф. Жеребятьев, А. Т. Лукьянов и Ю. А. Подкопаев [49], В. И. Найденов [81] рассмотрели двумерные установившиеся течения вязкой несжимаемой жидкости. Ламинарная термогравитационная конвекция в вертикальных трубах исследовалась в работах В. Б. Бородина [11], В. М. Лыкосова, П. П. Смышляева, Н.В. Цым-бал [71], Г. Е. Ковалевой [56], Т. УатаэаИ и Т. 1гут [165].

Влияние размеров ячейки, граничных условий, свойств жидкости при переменной вязкости, которая берется в виде полиномов второй и четвертой степени, изучалось Р. Макгрегором и А. Эмери в [73]. Г. З. Гершуни и С. Б. Герасимова [25] получили точное стационарное решение уравнений конвекции в бесконечном вертикальном плоском слое.

Уравнения конвективного движения рассматривались Д. Ноублом, Л. Кломбургом и др. [85] при моделировании течения расплава стекла в прямоугольной области. Конвективные движения вязкой жидкости в полости квадратного сечения при подогреве снизу исследовали Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий, Е. Л. Тарунин [30] (при Рг = 1, вг ^ 104). Конвекция, при подогреве сбоку исследовалась Е. Л. Таруниным и В.И. Чер-натынским [122] (здесь Рг = 5, Сг ^ 2 ¦ 104) для постоянного значения коэффициента температуропроводности. Аналогичную задачу, без учета инерционных и конвективных членов, с переменными теплофизическими характеристиками рассматривалась П. П. Смышляевым [109], и др. [110]. Влияние повышенного внешнего давления на конвекцию при подогреве сбоку для переменного коэффициента вязкости исследована в работе В. И. Колесниченко [57].

Так как уравнения термогравитационной конвекции связаны между собой и не разделяются, задача в общем виде весьма трудна для аналитического решения (за исключением немногих упрощенных случаев, о которых говорилось раньше). Одним из эффективных методов решения таких задач является численный метод. Численный счет обладает рядом преимуществ по сравнению с физическим экспериментом, если выбранная математическая модель достаточно хорошо описывает исследуемый физический процесс. Численное исследование задачи можно провести быстрее и с меньшими материальными затратами. Оно позволяет подробно проследить за структурой течения в зависимости от параметров, а также за изменением этой структуры во времени. Из решения задачи еще получается количественная информация об интегральных характеристиках течения (тепловой поток, интенсивность, скорости и т. д.). Несмотря на то, что по теории разностных методов решения задач математической физики имеется ряд фундаментальных работ: С. К. Годунова и B.C. Рябенького [33], A.A. Самарского и A.B. Гулина [103], В. К. Саульева [104], К. Флетчера [131], H.H. Яненко [150] и др. [91,99,105,139] для рассматриваемых задач конвективного движения уровень разработки теоретических вопросов и опыт реализации на ЭВМ недостаточен.

Рассмотрим некоторые наиболее широко используемые характерные способы пространственной аппроксимации системы уравнений в переменных «завихренность, функция тока, температура». Свойства разностной схемы определяются способом аппроксимации пространственных дифференциальных операторов, содержащихся в исходной системе уравнений. Анализ литературы показывает, что при численном исследовании задач термогравитационной конвекции наиболее часто используется симметричная аппроксимация [103] д (df дх дх здесь фиксированный индекс 3 опущен. Но разностные схемы, основанные на симметричной аппроксимации пространственных производных, успешно применялись только при слабой и умеренной конвекции Иа < 105 (здесь Сг < 106, Рг < 1) [8,31,37,87,118]. Потому что схемы с такой аппроксимацией не обладают свойством консервативности, что приводит к нарушению законов сохранения, присущих исходным дифференциальным уравнениямпоявляются фиктивные источники, дающие неограниченный рост энергии. В [22] симметричная консервативная запись инерционных и конвективных членов преобразована в консервативную схему с направленными разностями, которая выражает баланс энергии для ячейки с центром в узле сетки. Трудности, связанные с немонотонным характером симметричной аппроксимации пространственных производных, исчезают при переходе к односторонним разностям [8,37,67,90,118,137] (аппроксимация против потока) д { д! Л д, «» «» ч /т — ?1, Д uf) ~ А дх дх) h2.

•+1 — Vi + fi~ 1) и h и fi ft h i—l здесь используется обозначение и, ui, j V и, г, 3 Kj+ иЬ hJ —.

2 7 hJ 2 Такая аппроксимация не приводит к ограничениям пространственных шагов сетки по устойчивости и допускает проведение расчетов при высоких скоростях конвективного движения среды. Но она имеет погрешность аппроксимации порядка 0(h), и для обеспечения удовлетворительной точности требуется применение мелкой сетки. A.A. Самарский в [102] предложил монотонную аппроксимацию второго порядка точности.

В работах Б. П. Герасимова [23], E.JI. Тарунина [118], В. А. Онянова и E.JI. Тарунина [87], B.C. Купцовой и др. [62], В. К. Полевикова [95],.

В.И. Полежаева и др. 79], К. Флетчера [131], С. Quon [162] сравниваются отдельные конечно-разностные схемы. Б. П. Герасимов [23] сравнивает конечно-разностный метод, построенный на основе «шахматной схемы» Саульева [104], с продольно-поперечной схемой и явными методами. При решении задачи Дирихле уравнения Пуассона используется метод переменных направлений с набором итерационных параметров оптимизированных «по Жордану» [103]. При малых числах Грасгофа (Gr ^ 104, Pr ^ 1) шахматная схема позволяет вести счет с таким же шагом по времени, что и продольно-поперечная схема. Время счета при этом меньше почти в два раза. Для таких чисел Грасгофа Gr большую роль в переносе энергии играет теплопроводность, а скорости течения жидкости малы. При больших значениях Gr (Gr ^ 104, Pr ^ 1) шахматная схема по эффективности уступает продольно-поперечной схеме, но лучше явной схемы, которая имеет более жесткие условия устойчивости. В [118] E.JI. Тарунин исследовал неявную и явные схемы с симметричными и односторонними разностями. Для решения уравнений используется метод дробных шагов [150] и метод прогонки [103]. Исследована устойчивость получающихся схем в предположении постоянства коэфффициентов. В совместной работе [87] В. А. Онянов и E.JI. Тарунин рассмотрели восемь различных разностных схем (здесь Gr ^ 105, Pr = 1), используя аппроксимации односторонними и центральными разностями, аппроксимации А. А. Самарскогоприменяя продольно-поперечную схему, решая уравнение Пуассона по схеме Либмана и последовательной верхней релаксации. Были оценены пространственные и временные свойства этих схем. Выяснилось, что при решении задач термогравитационной конвекции нецелесообразно применять схемы первого порядка аппроксимации. Наиболее хороший результат дали монотонные схемы второго порядка точности и схемы повышенного порядка точности [84].

Анализ рассмотренных работ показал, что при неравномерном распределении температуры на границах области теплои масссоперенос лучше описывается схемами, использующими односторонние аппроксимации инерционных и конвективных членовнаиболее экономичным в смысле числа операций, необходимых для получения стационарного решения, являются неявные методы: метод переменных направлений [23,37,100], позволяющий применять скалярные прогонки для решения разностных уравнений.

В настоящее время отсутствуют общие методы исследования устойчивости и точности применяемых разностных схем. Для исследования устойчивости иногда используются [100] метод дискретных возмущенийметод Неймана, используюший ряд Фурьеметод Херта. Существуют практические приемы исследования устойчивости разностных схем, например — метод замораживания коэффициентов для разностных уравнений с переменными коэффициентами [33]- метод условного задания некоторых искомых функций системы [82]. Эти приемы обоснованы только для частных случаев, но на практике они хорошо проверены.

Общих методов исследования устойчивости разностных схем, отвечающих системам нелинейных дифференциальных уравнений, не существует. Большинство авторов ограничиваются проведением исследования устойчивости по методу Неймана (например, [100,118]). Для уравнений конвекции в переменных скорость, давление, температура вопросы устойчивости рассмотрел К. Б. Джакупов [43]. Для задач стационарной конвекции П. Н. Вабищевич и Т. Н. Вабищевич [17] исследовали итерационный процесс последовательных приближений по нелинейности в уравнениях Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска. Установили, что итерационный процесс сходится при достаточно малых значениях чисел Пекле, Грасгофа. Х. Е. Калис и Н. Э. Пагодкина [53], рассматривая разностную схему для уравнений конвекции с постоянными коэффициентами в переменных завихренность, функция тока, температура, получили оценки устойчивости разностных схем (в центральных разностях) для решения задач конвекции в квадратной области в зависимости от числа Грасгофа.

Из сказанного выше и из приведенных работ следует, что есть необходимость исследования системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих термогравитационную конвекцию, с переменными теплофизическими характеристиками.

Цель диссертационной работы состоит в уточнении математической модели конвективного движения вязкой теплопроводной жидкости с переменными теплофизическими коэффициентамиразработке эффективного численного метода решения задач конвективного движения и на его основе исследовать характеристики течения и температурное поле жидкостианализе полученных результатов и выявления основных закономерностей течения жидкости при неравномерном нагреве границы.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 165 наименований.

Введение

представляет собой обзор литературы и краткое содержание диссертации.

Первая глава работы состоит из трех параграфов и содержит некоторые факты, являющиеся вспомогательными в дальнейшем. В § 1 дана общая постановка задачи, приводится основная система уравнений конвективного движения, сформулированы начальные и граничные условия. При изучении особенностей конвекции обычно применяются различные упрощения, которые не искажая физической сути явления, позволяют исследовать ее с помощью доступных методов. В § 2 рассматривается приближение Обербека-Буссинеска. Приводятся в приближении Обербека-Буссинеска системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих конвективное движение вязкой жидкости в переменных (у, Р, в) и (си, ф, 9). В § 3 показана эквивалентность кравевых задач в переменных (у, Р, 9) и (о-, ф, 9).

Вторая глава посвящена математическому исследованию и доказательству теорем существования и единственности задачи конвективного движения. В § 1 приводятся известные результаты из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений: вводятся функциональные пространства, вспомогатальные утверждения, необходимые в дальнейшем. В § 2 и 3 получены априорные оценки и доказаны теоремы существования и единственности.

Третья глава посвящена построению численного метода для решения задачи тепловой конвекции. В § 1 приводятся конечно-разностные аппроксимации производных на неравномерной сетке, применяя которые получается конечно-разностная схема переменных направлений. В этой схеме для инерционных и конвективных членов используется аппроксимация A.A. Самарского. В § 2 и 3 рассмотрены варианты постановки граничных условий, приведен алгоритм расчета, указан метод решения уравнения для функции тока. В § 4 для проверки точности предложенного метода были рассмотрены тестовые задачи.

В четвертой главе на основе применения конечно-разностной схемы, исследуются характеристики течения и температурные Поля для вязкой теплопроводной жидкости. В § 1 и 2 дается постановка задачи и приводятся значения параметров, используемых при решении задачиопределяется начальное распределение поля температуры, которое соответствует «режиму чистой теплопроводности». В § 3 приведены результаты расчетов при различных условиях нагрева на границе. В § 4 рассматривается обтекание потоком вязкой теплопроводной жидкости нагретого выступа на нижнем основании.

В заключении подведены итоги проведенных исследований, приведены основные результаты расчета.

Достоверность полученных результатов подтверждается строгостью математической постановки задач, сравнением численных решений тестовых задач с решениями других авторов, использованием известных численных методов.

Результаты диссертации позволяют выявить закономерности течения вязкой теплопроводной жидкости. Они могут быть использованы при расчете линий тока и поля температуры, а также при определении застойных зон за прямоугольным нагретым выступом. Полученные результаты имеют также и теоретический характер и могут быть использованы при изучении теории краевых задач. Материалы диссертации были включены в программу спецкурсов, которые автор читал студентам физико-математического факультета ЧувГУ.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Установлена теорема существования обобщенного решения начально-краевой задачи конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости.

2. Доказана однозначная разрешимость такой задачи.

3. Предложена эффективная методика решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая конвективное течение с переменными коэффициентами вязкости и температуропроводности. Данная методика основана на использовании в методе переменных направлений монотонной аппроксимации конвективных членов направленными разностями.

4. Численно получено решение и проведен анализ структуры течения вязкой теплопроводной жидкости для некоторых задач конвективного движения.

Основные результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на Всероссийской конференции «Уравнения математической физики. Методические и прикладные вопросы» (г. Ленинград, 1981 г.), на межвузовской конференции «Молодые ученые XIX съезду комсомола» (г. Ленинград, 1982 г.), на. Всесоюзном научно-практическом семинаре «Прикладные аспекты управления сложными системами» (г. Кемерово, 1983 г.), на научных конференциях факультета ПМ-ПУ Ленинградского госуниверситета (г. Ленинград, 1981;83 гг.), на конференции молодых ученых НИИ механики и Горьковского универ

Заключение

.

В данной работе рассмотрено тепловое конвективное движение жидкости с переменными коэффициентами.

1. Получены априорные оценки для решения задачи тепловой конвекции, описываемой системой дифференцальных уравнений в частных производных.

2. Доказаны теоремы существования и единственности для начально-краевой задачи указанной системы.

3. Показана эквивалентность краевых задач тепловой конвекции в переменных «скорость, давление, температура» и «завихренность, функция тока, температура» .

4. Для исследования движения вязкой теплопроводной жидкости посредством конечно-разностной аппроксимации производных на неравномерной сетке построена разностная схема переменных направлений. Данный численный метод позволяет рассчитывать конвективные движения жидкости с различными граничными условиями.

5. Исследована структура течения и поле температуры в прямоугольной области при различных условиях нагрева на границе.

Результаты данной работы позволили выявить закономерности конвективного течения вязкой теплопроводной жидкости. Они могут быть использованы при численном расчете линий тока и поля температуры для прямоугольных областей, а также при определении застойных зон за прямоугольным нагретым выступом.