Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком

Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики [1−4]. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся па протяжении более 20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микрои напомеханических осцилляторов [5, 6| и динамики атомарных конденсатов в пространственно-периодических оптических структурах [7,8] до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы [9| и коллективных эффектов в социо-экоиомических моделях [10].

Методы, традиционные для радиофиники (в первую очередь, теория колебательно-волновых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач [1,4,10−13]. К настоящему моменту их применение позволило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции [10,14] и синхронизации [4] в живых системах, локализации и распространения волновых пакетов в физических системах |7,15], структурообразования в сложных ансамблях различной природы [16].

Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрывно связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая проблема резонансного взаимодействия в системе трех мод-осцилляторов с квадратичном нелинейностью в функции связи [1|. Различные колебательные режимы обмена энергией между модами, вытекающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энергии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет перекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как конкуренцию, и как процессы модовой локализации-делокализации энергии. Результаты непосредственно переносятся и на трехволиовое взаимодействие в нелинейных средах, определяя режимы распространения воли и формирование пространственных колебательных структур [17].

Вместе с тем следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), так и нелинейность межэлементпых связей.

На сегодняшний день прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо-экономики невозмо’лсеп без разработки теории коллективной динамики — делокализации и распространения, волновых пакетов, конкуренции и структурообразоваиия — в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка, так и нелинейного взаимодействия 2.

Отметим, тго эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно-непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных (конкуренция .мод, динамика солитопон, бризеров, кинков, сопутствующая локализация к прямом и обратном пространство), составляя, однако, отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей работе не рассматривается.

2 В большей сюпени эта проблема решена и задачах синхронизации []8|, поэтому мы касаемся этого.

Одной из основополагающих работ в области колебательно-вол новой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама [19]. в котором рассмотрена задача о делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Результаты оказались гораздо более глубокими и парадоксальными. Численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах па протяжении всего времени интернирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.

Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А. М. Коссвич, Ю. А. Косевич, Л. И. Маневич. Д.Л. Шепелян-ский, Б. В. Чириков, G. Benet. tin, J. Ford, L. Galgani, A. Giorgilli, H. Kautz, M. Kruskal, A.J. Lichtenberg, R. Livi, S. Paleari, T. Penati, A. Ponno, A. Scotti, N. Zabusky), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичпости по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса [20,21], изучить зависимость этих порогов от размера системы [22−251 и временных масштабов делокализации от энергии |26 -30].

Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-Паста,-Улама (ФПУ) долгое время вопроса лишь нгкольчь. построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательно?! цепочке ФПУ — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О. И. Канаковым [31]). Прикладная значимость этого открытия стимулировала разработку общей теории q-бризеров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространственной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкораз-мерпых папомасштабпых системах.

Локализация энергии в прямом пространстве нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений — дискретных бризеров — 'амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (A.A. Овчинников, S.J. Sievers, S. Такено. К. Kisoda), а затем как точных периодических траекторий системы (S. Aubry, R.S. МасКау). Оказалось, что присутствие дискретных бризеров существенно влияет на распространение волновых пакетов, дело-кал изацию энергии из начального локализованного возбуждения: делока-лизуется только часть энергии, а остальная остается в виде дол гож и пуще го бризероного решения (S.J. Sicvcrs. S. Takeno).

Делокализация и распространение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком остается нерешенной и интенсивно изучаемой проблемой (Б.Л. Альтшулер. И. Л. Алейпер. Д. М. Басько. Ю. А. Косевич, Л. И. Маневич, A.C. Пиковский. S. Aubry, S. Fishman, S. Flach, M. Johansson,.

D. Krimer, S. Kopidakis). В линейном случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспорядком все моды являются экспоненциально локализованными в прямом пространстве (так называемая андерсоновская локализация) [32], а следовательно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нелинейность (или взаимодействие в многочастичной квантовой задаче) приводит к взаимодействию между модами и, потенциально, к делокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты аналитических и численных исследований в этой области противоречивы [33—38], а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках |8,39|, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла наблюдаться.

Конкурентная динамика живых систем на клеточном и молекулярном уровнях лежит в основе механизмов их регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты по-прежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в нейродипамике и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга [4,14| (B.C. Анищепко. В. В. Астахов, Б.П. Без-ручко, В. Н. Белых, Е. В. Волков, A.C. Дмитриев, A.A. Короповский, А. Г1. Кузнецов, С. П. Кузнецов, А. Ю. Лоскутов, В. В. Матросов, В. И. Некоркин, В. Б. Казанцев. Г. В. Осипов. A.C. Пиковский. Д. Е. Постной. М. И. Рабинович, М. Розенблюм, Н. Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А. Е. Храмов, В. Г. Яхно, Н. Abarbahel. S. Boccaletti, B.G. Ermentroiit. E.M. Izhekevich, M. Hasler, Л. Kurths, Y. KuramoLo. U. Parlitz. L. Pecora. S. Strogatz).

Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становится все более ясной (B.C. Афраймович, A.A. Короповский. А. Ю. Лоскутов,.

В.И. Некоркии. В. Б. Казанцев, Г. В. Осипов, М. И. Рабинович, Н. Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А. Е. Храмов, В. Г. Яхпо, И. Abarbahel, Е.М. Izliekevich, R. Huerta, Т. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами.

Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития. роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е. В. Волков. А. Заикин, A.A. Романюха, Л. Цимринг, R. de Boer, J. Garneiro, С. Grebogi, E. Frey, J. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G. Lythc, C. Molina.-Paris. A. Pcrelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра не могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей [40?. Современные математические теории химических реакций в сложных потоках [411 и экологического разнообразия видов [42] учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом популяций. Механизм динамического клаетерообразовапия, недавно предложенный для описания дифференциация клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонентность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи [43].

Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике еоцио-экономических систем [44- 46]. где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимуществепно линейных функций связи, а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, по не динамика [47].

Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений дслокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях. закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.

Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатоввоспроизводимостью результатов численного моделированиявоспроизводимостью результатов па базе различных математических моделейсоответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы. Научная новизна.

• Проблема перехода от локализации к дслокализации энергии в модо-вом пространстве решена для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности). Для этого развита теория ц-бризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неустойчивости и дслокализации, показана их определяющая роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами.

• Впервые разработай численный алгоритм нахождения q-бризеров и определения их устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI), позволяющий исследовать q-бризеры в цепочка, х большого размера, используя высокопроизводительные компьютерные системы.

• Теория q-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. Исследован вклад беспорядка в процессы делокализации и развития неустойчивости q-бризеровпоказано, что в низкочастотной части спектра слабонелинейных акустических цепочек с беспорядком в пределе бесконечного размера существует зона локализованных q-бризеров, в оптических цепочках наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Предложен метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных неодиородностей определенного вида.

• Впервые проведено аналитическое исследование режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Теоретические результаты нашли подтверждение в численных экспериментах. Проведенные численные эксперименты также позволили впервые показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.

• Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых гетероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клонотипов Т-клеток, конкурирующих за профиль.

• Разработана теория формирования структур переключательной активности в малых ансамблях нейронных осцилляторов с многомас-штабпыми колебаниями и конкуренцией. Получены режимы моностабильности и бмстабилыюсти паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к неидентичности параметров нейронных осцилляторов.

• Установлена и проанализирована связь между переходом от локализации к делокализации возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Впервые обнаружена хаотическая пространственная бифуркация, вызванная нелинейным характером связи между элементами.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты применимы в широком спектре физических, биологических и социо-экопомических задач, где и нелинейное взаимодействие, и беспорядок неотъемлемо присутствуют и определяют динамику.

Делокализация q-бpизepoв описывает разрушение линейчатого спектра колебаний при превышении некоторого порога по нелинейности (энергии), что отвечает на вопрос о рабочем квазилинейном диапазоне решеток микро и наноэлектромехапических осцилляторов — перспективных устройств в задачах обработки информации, фильтрации в гигагерцовом диапазоне, прямого измерения масс молекул. Анализ зависимости ширины зоны локализованных с]-бризеров от размеров системы и средней энергии позволяет предсказать различные режимы теплопроводности в нанотрубках и нанопроводах, их характеристики. Полученные теоретические результаты согласуются с данными недавних физических экспериментов.

Теория распространения волновых пакетов в нелинейных средах с беспорядком также предсказывает и объясняет особенности переноса энергии в наиоразмерных системах, что актуально для задачи теплоотвода. в наноэлектронике. Кроме того, она описывает имеющиеся и предсказывает новые результаты по динамике Бозе-Эйнштейп конденсатов в оптических решетках — в экспериментах, которые широко рассматриваются как «макроскопическая лаборатория квантовой физики».

Теория конкуренции в многокомпонентных биологических клеточных системах позволяет выявлять механизмы регуляции клеточного составав рассмотренном частном случае ансамбля Т-лимфоцитов — определить некоторые важнейшие биологические параметры иммунной системы (недоступные для прямого экспериментального измерения) па базе имеющихся экспериментальных данных. В перспективе, совокупность фундаментальных теоретических знаний и адекватных математических моделей может дать инструмент прогнозирования клеточной динамики, иммунного ответа, анализа тактики лечения заболеваний.

Теория формирования структур последовательной активности беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией применима в задачах пейро-динамики (обработки и хранения информации нейронными ансамблями), а также для разработки алгоритмических принципов искусственных интеллектуальных систем.

Полученные результаты в области етруктурообразования в математических моделях взаимодействующих активных элементов, при интерпретации задачи в терминах взаимодействия покупателей па рынке, дают представление о возможных режимах коллективного принятия решений в зависимости от пространственной неоднородности, силы и типа нелинейной связи. На этом основании могут формулироваться рекомендации качественного характера о тактике эффективного управления для регулятора рынка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 337 страниц, включая 102 рисунка, и список литературы из 198 наименований.

6.4 Выводы.

В данной главе были исследованы принципы конкурентного и кооперативного взаимодействия, механизмы делокализации и генерации пространственных структур в ансамблях частотнои фазо-управляемых осцилляторов с нелинейным типом связи. Полученные результаты допускают интерпретацию в терминах динамики рынка взаимодействующих покупателей, принимающих решение покупать или не покупать некий товар или услугу.

Для упрощения задачи рассмотрен случай однородной связи и идентичной реакции «покупателей» на «ценовую информацию» с рынка и «мнение» соседей. Пространственная неоднородность задавалась различными начальными мнениями модельных покупателей относительно целесообразности покупки товара. Было показано, что в зависимости от типа связи цепочечные и решеточные ансамбли частотно-управляемых осцилляторов демонстрируют качественно различное поведение.

В случае конкурентного взаимодействия к < 0) типичным является развитие коротковолновых пространственных псустойчивоетей. Начальные структуры при этом разрушались, а при дальнейшей эволюции формировался шахматный паттерн (противоположные решения о покупке среди соседей). Этот режим можно интерпретировать как результат обмена негативной информацией между индивидуумами, недоверия или целенаправленного обмана, в общем случае заключающийся в потере возможности принятия адекватного коллективного решения. Как показали аналитические и численные исследования, влияние пространственной неоднородности на динамику системы (индивидуума с резко отличным от остальных мнением) определяется силой связи между элементами. При относительно слабой связи это влияние локализовано, если связь превышает некоторый порог, эффект пространственной неоднородности распространяется на большое число соседей, делокализуется.

В случае, когда обмен ипформцией носит кооперативный характер, а именно, когда покупатели изменяют свое мнение вслед за мнением соседей (коэффициенты связи в этом случае положительны), сила связи также является определяющим фактором. Слабая связь лишь незначительно сглаживает пространственные неоднородности, приводя к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, в то время как сильная связь приводит к образованию крупных кластеров с более резкими границами и более однородным распределением состояний элементов внутри кластеров. С течением времени наблюдалось укрупнение и слияние кластеров, в результате оставался один глобальный или два кластера. Также был исследован процес дслокализации, перехода от локальной, мелкомасштабной динамики к крупномасштабной при увеличении силы связей. Обнаруженный переход может быть интерпретирован как минимальный уровень обмена информации в социальных сетях, необходимый для выработки коллективного решения.

Наконец на примере модельных однонаправленных цепочек фазо-управляемых осцилляторов было показано, что сложная нелинейная связь между элементами может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации. Обнаруженный тип бифуркации характеризуется гладким (предсказуемым) многообразием в пространстве параметров. Напротив, координата пространственной бифуркации является фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой. В общем случае, ожидается, что пространственные бифуркации будут приобретать хаотические свойства когда связь привносит пели-нейпоетть в пространственную зависимость динамических режимов. Необходимо отметить, что подобная сложная и богатая динамика реализуется в ансамблях элементов, собственная динамика которых тривиальна. Таким образом, нелинейная межэлементная связь играет ключевую роль в образовании пространственных структур в ансамблях аткивных элементов, в дополнение к ранее известным эффектам топологии связей и сложной динамики индивидуальных элементов [195].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации построена теория коллективных динамических явлений делокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и дисси-пативных систем с нелинейной связью и беспорядком. Полученные результаты были применены для решения прикладных задач: исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях, закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих покупателей.

Для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) разработана теория q-бризеров точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве. Проведен анализ условий их неустойчивости и делокализации. показана роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами, решена проблема перехода от локализации к делокализации энергии. Сделан существенный шаг вперед в численном анализе q-бризсров: разработан численный алгоритм их отыскания и определения устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI). Это открыло дорогу числсииым исследованиям свойств q-бризеров в цепочках большого размера с использованием высокопроизводительных компьютеров.

В развитие этих результатов теория q-бризеров распространена па случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. в частности, получены зависимости порогов делокализации и развития неустойчивости q-бризеров от силы беспорядка. Обнаружено принципиальное различие между системами с акустическими и оптическими спектрами: в первом случае существует зона локализованных низкочастотных q-бризеров, во втором наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Выявленная зависимость порога неустойчивости от конкретной реализации беспорядка позволил сформулировать метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных пеодпородностей определенного вида.

Теория q-бризеров в нелинейных системах с беспорядком была применена для изучения режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Было предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Численные эксперименты, проведенные с применением средств высокопроизводительных вычислений, подтвердили теоретические выводы.

Было продемонстрировано, что теория q-бризеров применима не только к системам с гармоническими линейными модами. Теория q-бризеров, построенная в базисе апдерсоповских мод, впервые продемонстрировала разрушение андерсоновской локализации и возможность делокализации волновых пакетов при произвольно слабой нелинейности. Проведенные численные эксперименты также позволили показать связь характеристик иеравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.

Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых гете-роклиничееких последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оцепить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клопотипов Т-клеток. конкурирующих за стимулы выживания, получаемые от профиля. Для случая конкуренции в более сложных системах, таких как ансамбли нейронных осцилляторов с многомасштабными колебаниями, разработана теория формирования структур переключательной активности. Получены режимы моностабильпости и бистабиль-ности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к иеидептичпости параметров нейронных осцилляторов.

Исследованы явления конкуренции и структурообразования в решеточных системах частотнои фазо-управляемых осцилляторов. Дана интерпретация подобных систем как математических моделей принятия решений взаимодействующими покупателями на рынке энергетических услуг. Установлена и проаналпзарована связь между переходом от локализации к делокализацией возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Обнаружена и исследована хаотическая пространственная бифуркадия, возникающая за счет нелинейного характера связи между элементами.

Среди открытых вопросов коллективной нелинейной динамики систем с беспорядком, хотелось бы выделить следующие. Крайне актуальным с точки зрения нелинейной физики низкоразмерпых наноструктур является разработка теории ч-бризеров в двух и трехмерных нелинейных решетках с беспорядком для выявления механизмов и режимов теплопроводности. анализа зависимости от размерности системы, на существование которой указывают недавние эксперименты с графеиовыми структурами. Важным вопросом является делокалпзация и распространение волновых пакетов в трехмерных нелинейных решетках с беспорядком, в линейном пределе которых существует порог локализации андорсоновских мод по силе беспорядка. Сопутствующие численные эксперименты по моделированию двух и трехмерных колебательных решеток очень трудоемки и требуют использования параллельного программирования и высокопроизводительных вычисленийв разработке алгоритмов в качестве основы могут быть использованы созданные алгоритмы для одномерных систем. В проекции на проблему регуляции и функционирования иммунной системы задача о конкуренции в многокомпонентных ансамблях требует развития на случай многомасштабных и многоуровневых процессов: моделирования распознавания антигенного профиля Т-лимфоцитом и его активации (рецептор-лигандное взаимодействие и сигнальный каскад активации па молекулярном уровне), модерировапие иммунного ответа Т-регуляторпыми клетками (на клеточном уровне). Для удовлетворительного понимания механизмов обработки информации в коре головного мозга задача о генерации переключательной переходной динамики в берстовых нейронах с ппгибиторпым типом связи должна быть решена для больших прострапствеино-пеодпородпых пейроипых ансамблей. Для более точного понимания коллективных механизмов принятия решений па рынке взаимодействующих покупателей необходимо рассмотреть более сложные модели индивидуального покупателя (например, системы с запаздыванием) и более сложную топологию связей (случайные графы).

Научные результаты, полученные в диссертационной работе, заложили фундамент для этих перспективных направлений исследований.

Благодарности. Автор благодарит В. Д. Шалфеева, С. Флаха, М. И. Рабиновича, Г. В. Оснпова, О. И. Канакова, Т. В. Лаптеву, К. Г. Мишагипа, С. Molina-Paris, S. Aubry, S. Lepri, D. Krimer, N. Li, D. Bodifelt, N. McCullen за плодотворные научные обсуждения в тематической области работы.