Аналитическое моделирование электромагнитных кристаллов

3.2 Определения понятий.94

3.3 Дисперсионное уравнение.97

3.4 Отрицательная рефракция без обратной волны.100

3.5 Обратные волны без отрицательной рефракции.104

3.6 Многоволновое преломление на низких частотах.106

3.7 Отрицательная рефракция при всех углах падения.110

3.7.1 Прямые волны рядом с точкой М.110

3.7.2 Обратные волны рядом с точкой Г.112

Заключение

к главе 3.113

Заключение

115

Литератур, а 117

Современное состояние вопроса

Данная диссертационная работа посвящена аналитическому моделированию электромагнитных свойств двухи трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов с различной внутренней геометрией, а также изучению возможности наблюдения эффектов обратных волн и аномальной рефракции в таких материалах.

Интерес к фотонным кристаллам и их приложениям появился около пятнадцати лет назад. Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов и структур (PBG — Photonic Band Gap structures) является чрезвычайно актуальным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Такое внимание к этим структурам обусловлено их дисперсионными свойствами, а именно наличием полосы полного отражения — частотного диапазона волн, которые практически не распространяются в этих кристаллах. Данные структуры находят применение в частотно-селектирующих и волноводно-резонаторных устройствах. Другими словами, эти искусственные кристаллы привлекают к себе внимание исследователей также благодаря крайне интересным возможностям управления светом, открывающимся с их помощью. Начало исследованиям фотонных кристаллов было положено пионерскими работами профессоров Э. Яблоновича и С. Джона [1, 2] в 1987 году в оптическом диапазоне. В последнее время появилось множество литературы по тематике фотонных кристаллов, см., например, [3, 4, 5, 6]. Начиная с 2000 года, область исследования фотонных кристаллов расширилась, распространившись также на другие частотные диапазоны. Стали рассматриваться кристаллы, состоящие не только из диэлектрических и металлических включений простой формы, но и из включений, обладающих магнитными свойствами (благодаря сложной геометрии включений или собственным магнитным свойством материалов). Такие структуры получили название электромагнитных кристаллов [7].

В связи с крайней сложностью электромагнитных процессов в фотонных кристаллах, анализ их дисперсионных и отражательных свойств обычно производится численными методами. Существует множество численных моделей прохождения электромагнитных волн в фотонных кристаллах, основанных на таких методах, как FDTD или МоМ (метод моментов). Основными среди них признаны метод Пендри, использующий условия квазипериодичности поля в фотонном кристалле так, что для получения коэффициентов в дисперсионном уравнении достаточно решить уравнения Максвелла численно (методом конечных разностей) в масштабе одной ячейки, и метод Блоха-Флоке, приводящий к бесконечной системе дисперсионных уравнений путем разложения поля по пространственным гармоникам (см., например, работы группы профессора Дж. Пендри [3, 8]).

Что же касается численно-аналитические методов, то первые работы по их построению для двумерных фотонных кристаллов (включения в виде бесконечных цилиндров) такие как [9], появились совсем недавно, лишь в 1994 г. Подобные работы в литературе редки и носят единичный характер. Этот подход (использующий так называемое обобщенное тождество Рэлея) пока что не распространен на случай трехмерных фотонных кристаллов из-за не преодоленных до сих пор ограничений метода. Первые работы, в которых предложена аналитическая модель трехмерного фотонного кристалла, такие как [10, 11], появились лишь в 2000 г.

Аналитический подход позволяет получить дисперсионное уравнение в явном виде. Ограничением применимости подхода [10] являются достаточно малые размеры включений по сравнению с длиной волны. Это ограничение в данной работе будет сохранено. Кроме этого, недостатком [10] является необходимость аналитического решения задачи об отражении наклонно падающей плоской волны от одного (двумерного) слоя включений, так как в явное дисперсионное уравнение в качестве основного параметра входит импеданс двумерного слоя как функция отношения компонент волнового вектора основной пространственной гармоники. Из-за этого недостатка модель [10] применялась лишь для простейшей геометрии решетки и включений (орторомбическая решетка, сферические и цилиндрические включения).

В это же время профессор Дж. Пендри опубликовал статью [12], вызвавшую растущий интерес к средам с обратными волнами и отрицательной рефракцией. Эти среды были впервые рассмотрены профессором В. Г. Веселаго в работе [13] в 1968 г. Хотя предпосылки к рассмотрению таких сред были сделаны задолго до этого. Еще в 1940 г. академик Л. И. Мандельштам, читая свои лекции на физическом факультете Московского института, говорил о возможности существования таких сред [14]. Теоретические предсказания Веселаго были экспериментально проверены группой Р. Шелби (R. Shelby) и Д. Смита (D. Smith) [15, 16, 17] в микроволновом диапазоне при помощи одноосного аналога среды Веселаго, состоящего из решетки проводов и резонансных рассеивателей с магнитными свойствами (split ring resonators, SRR: s).

Эффекты обратных волн и отрицательной рефракции можно наблюдать также и в некоторых фотонных (электромагнитных) кристаллах [18, 19, 20, 21, 22] при определенных условиях. Это неудивительно, поскольку близкие эффекты наблюдаются в одномерных и двухмерных периодических структурах [23, 24]. Более того, аналогичное явление было предсказано еще академиком Л. И. Мандельштамом [25, 26].

Цели

Целями данной работы являются:

1. Создание аналитической модели фотонных кристаллов, основанной на принципе локального поля, позволяющей производить расчет дисперсионных кривых и коэффициентов отражения без привлечения численного моделирования.

2. Адаптация модели для фотонных кристаллов с различными внутренними геометриями, включающими в себя как двухмерные так и трехмерные взаимные и невзаимные кристаллы, и рассмотрение нескольких видов таких кристаллов.

3. Рассмотрение возможности создания управляемых фотонных кристаллов в диапазоне СВЧ.

4. Анализ возможностей существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции (вместе или по отдельности) в немагнитных фотонных кристаллах.

Краткое содержание

В данной диссертационной работе приведен метод, основанный на принципе локального поля, позволяющий исследовать дисперсионные свойства различных периодических структур. Этот метод позволяет получить трансцендентное дисперсионное уравнение, которое может быть решено как численно, так и приближенно аналитически. Кроме того, построена модель отражения от полупространства, позволяющая рассчитывать коэффициент отражения через известные решения дисперсионного уравнения.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе рассматриваются дисперсионные и отражательные свойства двухмерных электромагнитных кристаллов в виде прямоугольных решеток из бесконечных параллельных 1) идеально проводящих проводов, 2) реактивно нагруженных проводов, 3) спиралей из идеально проводящих проводов. Построена аналитическая теория дисперсии и отражения для таких структур. Приводятся результаты расчетов дисперсионных кривых и зависимостей коэффициента отражения от полупространства от частоты. В квазистатическом приближении найдены материальные параметры для рассматриваемых структур. Демонстрируется наличие низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из идеально проводящих проводов, а также возможность создания магнитной стенки при помощи полупространства из такого материала на частоте, соответствующей верхней границе низкочастотной зоны. Выявляется возможность изменения дисперсионных и отражательных свойств кристалла из проводов путем внесения в провода реактивных нагрузок. Внесение индуктивных нагрузок эффективно сужает ширину низкочастотной запрещенной зоны, а кристалл из проводов нагруженных на резонансные контура приобретает зону пропускания около частоты резонанса контура, причем на самой частоте резонанса кристалл становится прозрачным, а на частотах, соответствующим нижней и верхней границам зоны пропускания полупространство такого кристалла становится магнитным и электрическим стенками соответственно.

Вторая глава посвящена трехмерным электромагнитным кристаллам, образованным решетками с элементарной ячейкой в виде параллелепипеда, состоящими из 1) малых электрических рассеивателей, 2) малых ферритовых сфер. При анализе трехмерных структур используется аналитическая модель, аналогичная модели, используемой для описания дисперсии и отражения от двумерных электромагнитных кристаллов. На примере решетки из малых невзаимных ферритовых сфер продемонстрированы возможности расчета дисперсионных кривых, коэффициентов отражения от полупространства и эффективных материальных параметров. Детально проанализирована структура запрещенной зоны, образующийся вблизи частоты собственного резонанса включений.

В третьей главе подробно обсуждаются вопросы существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции фотонных (электромагнитных) кристаллов на примере трехмерной решетки малых изотропных рассеивателей. Приводится классификация прямых и обратных волн, положительной и отрицательной рефракции, а также прямых и обратных волн по отношению к границе раздела. Показано, что при рассмотрении различных эффектов на различных частотах в фотонных кристаллах возможно наблюдать описанные эффекты как по отдельности, так и вместе.

Актуальность

Работа посвящена исследованию дисперсионных и отражательных свойств фотонных кристаллов, которые являются быстро развивающимся направлением современной фотоники. При помощи фотонных кристаллов становится возможным управление светом и создание новых приборов, которые могут использоваться в различных отраслях техники. Фотонные кристаллы являются одной из основных частей на основе которых планируется создание оптического компьютера, поскольку при их помощи можно создавать как волноведущие устройства, и разветвители, так и суперпризмы и другие компоненты. В работе затрагивается вопрос существования материалов в которых могут наблюдаться эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, подобные наблюдаемым в среде Веселаго. Данный вопрос является в данный момент крайне актуальным, поскольку при помощи среды Веселаго возможно создание идеальных псевдолинз [12] и высокодобротных резонаторов крайне малого размера [91].

Научная новизна

Аналитическое моделирование фотонных (электромагнитных) кристаллов является одним из важнейших и в то же время наименее развитым направлением исследования этих материалов. В данной диссертационной работе предлагается оригинальный метод, позволяющий без привлечения сложных численных вычислений получать информацию о дисперсионных и отражательных свойствах фотонных кристаллов. Более того при его помощи становится возможным не только анализ известных геометрий фотонных кристаллов, но и проектирование новых материалов с необходимыми свойствами. Кроме того, возможно получить материалы, свойства которых могут быть изменены не только при помощи смены геометрии, но и путем изменения каких либо внешних факторов. Иными словами могут быть получены управляемые фотонные кристаллы. Показано существование низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из проводов и доказано, что при помощи полупространства, заполненного таким материалом, может быть получена магнитная стенка. В работе предложена концепция бианизотропных и невзаимных электромагнитных кристаллов. Существование эффектов отрицательной рефракции и обратных волн в фотонных кристаллах, как впрочем и в других периодических структурах является известным фактом, однако обобщение и систематизация результатов, приведенные в данной работе являются оригинальными.

Положения, выносимые на защиту

1. В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.

2. Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).

3. Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.

4. Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотроп-ного материала.

5. Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.

6. Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.

Список публикаций

1. Белов П. А. Дисперсионные и отражательные свойства двухмерного электромагнитного кристалла из реактивно нагруженных проводов, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. — СПб: СПбГИТМО, 2002. — с. 162 — 170.

2. Белов П. А., Симовский К. Р. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов, — В кн.: Оптические и лазерные технологии. — СПб: СПбГИТМО, 2001. — с. 58−66.

3. Белов П. А., Аналитическая модель распространения электромагнитных волн в трехмерных фотонных кристаллах, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики: Сборник статей // С. А. Алексеев, П. А. Белов, В. Г. Беспалов и др.- Под ред. И. П. Гурова и С. А. Козлова. — СПб: СПбГИТМО, 2000. — с.202−210.

4. Белов П. А., Симовский К. Р. Формулы типа Лоренц-Лорентца и Клаузиуса-Мосотти для анизотропных искусственных диэлектриков // Вестник Молодых Ученых: Физические Науки. — 2000. — Т. 1. — с. 34−40.

5. Белов П. А., Симовский К. Р., Кондратьев М. С., Булыгин Д. О. Возбуждение дифракционной решетки из бианизотропных частиц плоской электромагнитной волной // Известия вузов. Приборостроение. — 1998. — Т. 41, № 3. — с. 21−32.

6. Belov Р.А., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. — 113 103.

7. Belov P. A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectrics with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis// Microwave and Optical Technology Letters. — 2003. — Vol. 37, No. 4. — pp. 259−263.

8. Belov P.A., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66. — 36 610.

9. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Nonreciprocal microwave bandgap structures 11 Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66. — 16 608.

10. Maslovski S.I., Tratyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model /// Microwave and Optical Technology Letters. — 2002. — Vol. 35, No. 1. — pp. 47−51.

11. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonant reflection from dipole arrays located very near to conducting planes //J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No.l. — pp. 129−143.

12. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires //J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No. 8. — pp. 1153−1170.

13. Belov P.A., Simovski C.R. Reflection properties of layer or half-space of particulate photonic crystal // SPIE Proc. — 2001. — Vol. 4453. — pp. 18−29.

14. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonance reflection properties of dipole grids near ideally conducting planes // SPIE Proc. — 2001. — Vol. 4467. — pp. 265−272.

15. Belov P.A. Analytical model of electromagnetic wave reflection from layer or half-space of photonic crystal // SPIE Proc. — 2001. — Vol. 4416. — pp.334−339.

16. Belov P. A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // SPIE Proc. — 2000. — Vol. 4073. — pp. 266−276.

17. Simovski C.R., Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Interaction effects in two-dimensional bianisotropic arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1999. — Vol. 47, No. 9. — pp. 1429−1439.

18. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Electromagnetic interaction of chiral particles in three dimensional arrays //J. Electromagnetic Waves Applic. — 1999. Vol. 13. — pp. 189−203.

19. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Excitation of multilayered grids of bianisotropic particles by plane wave // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 691 698.

20. Kondratjev M.S., Simovski C.R., Belov P. A. Reflection and transmission of plane waves in bianisotropic planar grids // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 669−678.

21. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Analytical-numerical study of electromagnetic interaction in two-dimensional bianisotropic arrays // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 679−690.

22. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Problem of the local field for plane grids with bianisotropic particles // SPIE Proc. — 1997. — Vol. 3039. — pp. 680−691.

23. Simovski C. R, Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Excitation dyadics for the grids of chiral and omega particles // SPIE Proc. — 1997. — Vol. 3039. — pp. 692−703.

Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. URSI/IEEE XXVII Convention on radio science, Espoo (Finland), 2002.

2. XXIV General Assembly of URSI, Maastricht (Nitherlands), 2002.

3. XIV Int. Conf. on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON 2002), Gdansk (Poland), 2002.

4. 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON 2002) and European Symp. on Photonic Crystals, Warsaw (Poland), 2002.

5. International Seminar Day on Diffraction, St. Petersburg (Russia), 2002.

6. NATO ARW Bianisotropics 2002, 9th International Conference on Electromagnetics of Complex Media, Marrakech (Morroco), 2002.

7. 2002 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium and USNC/-URSI National Radio Science Meeting, San Antonio, TX, (USA), 2002 (invited presentation).

8. ICEAA 01, International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, Torino (Italy), 2001.

9. International conference for young scientists 0ptics'2001, St. Petersburg (Russia), 2001.

10. The 11th Finnish Electromagnetics Meeting Electromagnetics'2001, Vaasa (Finland), 2001.

11. PECS 3, Workshop on Photonic and Electromagnetic Crystal Structures, Scotland (UK), 2001.

12. International Seminar Day on Diffraction Millennium Workshop, St. Petersburg (Russia), 2000.

13. Bianisotropics'2000, 8th International Conference on Complex Media, Lisbon (Portugal), 2000.

14. MMET2000, Kharkov (Ukraine), 2000.

15. 2000 IEEE Antennas and Propagation International Symposium and USNC/URSI National Radio Science meeting, Salt Lake City, Utah (USA), 2000.

Заключение

В данной диссертационной работе описана теория дисперсии и отражения для двумерных и трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов, основанная на приближении локального поля.

При рассмотрении дисперсионных свойств двухмерных кристаллов образованных прямоугольными решетками параллельных идеально проводящих проводов, реактивно нагруженных проводов и спиралей обнаружено явление сильной пространственной низкочастотной дисперсии. При проведении сравнения с локальной моделью, которая использовалась для среды из проводов ранее, оказалось, что старая локальная модель не описывает прохождения электромагнитных волн под косыми углами. При нормальном прохождении обе модели дают одинаковые результаты.

Установлен факт, что полупространство, заполненное решеткой из параллельных проводов на частоте соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны, ведет себя как магнитная стенка. Это свойство может оказаться полезным при проектировании отражателей для антенн.

Продемонстрирована возможность изменения дисперсионных свойств решетки из проводов путем внесения реактивных нагрузок с целью изменения ширины низкочастотной запрещенной зоны (индуктивные нагрузки), создания искусственных диэлектриков (емкостные нагрузки), либо для получения резонансной полосы пропускания (нагрузки в виде параллельного резонансного контура). Полученные таким образом искусственные материалы находят применение в антенной и микроволновой технике в качестве экранов, а также частотных и поляризационных фильтров.

Рассмотрена новая концепция и возможность создания бианизотропного электромагнитного кристалла в виде решетки параллельны спиралей, сочетающего в себе свойства кристалла из проводов нагруженных на параллельные резонансные контура и бианизотропного материала, а также концепция невзаимных электромагнитных кристаллов, проиллюстрированная примером трехмерного кристалла из малых ферри-товых сфер.

При изучении трехмерных электромагнитных кристаллов, образованных решеткой рассеивателей, продемонстрировано существование запрещенной зоны кристалла вблизи собственного резонанса включения. Построенная аналитическая теория дисперсии позволяет произвести детальное изучение внутренней структуры такой запрещенной зоны, которое было осуществлено на примере невзаимного электромагнитного кристалла образованного решеткой резонансных ферритовых сфер.

Вдобавок к перечисленным результатам в работе рассмотрена возможность наблюдения эффектов обратных волн и отрицательной рефракции как вместе так и по отдельности в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Этот вопрос крайне важен в связи с растущим интересом к средам Веселаго, на основе которых возможно создание идеальных псевдолинз и резонаторов с малыми размерами.

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие положения, выносимые на защиту:

1. В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.

2. Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).

3. Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.

4. Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотроп-ного материала.

5. Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.

6. Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.