Геометрическое моделирование задач анализа и прогнозирования в экономике и алгоритмов их решения

Актуальность темы

исследования. Математическое моделирование представляет собой мощный аппарат познания внешнего мира, а также прогнозирования и управления [74]. Оно сводит исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с всеобщей компьютеризацией. Корректные математические модели позволяют проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, создавать энергосберегающие технологические процессы. Они применяются в различных областях знания, являются важным элементом автоматизированных систем управления, проектирования и технологической подготовки производства.

Применение математических методов моделирования в экономических исследованиях привело к появлению нового направления — эконометрики [40]. Основной ее задачей является количественное описание закономерностей и взаимосвязей экономических объектов и процессов на основе теоретических представлений об их важнейших, определяющих факторах с помощью математических, в частности геометрических моделей и статистических методов обработки данных [9,28,75]. Для эконометрики характерно предположение о проявлении в неявном виде изучаемых закономерностей в измеряемых и используемых в экономической статистике и прогнозировании показателях на фоне действия второстепенных, случайных факторов.

В эконометрике используются понятия, формулировки, методы решения задач из многих разделов современной математики, таких как математическая статистика, теория вероятностей, математическое программирование, численные методы решения систем нелинейных уравнений и т. д. В практических исследованиях эконометрические методы применяются в процессе создания всевозможных моделей, использующих нормативные, оптимизационные и имитирующие подходы к моделированию.

Построение таких моделей, учитывающих множество факторов, как детерминированных, так и стохастических, возможно при широком использовании методов наглядного представления исходных: данных, понимания конструктивной (геометрической) сущности алгоритмов решения, геометрически наглядной интерпретации полученных результатов. Обеспечение наглядности можно достичь представлением исходных данных, существующих между ними зависимостей или требующих изучения, выявления в виде линейных или (и) нелинейных подпространств многомерного пространства и отношений (проективных, аффинных, метрических) между ними.

Такое представление полезно как разработчикам моделей, так и их пользователям. Например, чтобы решить какие методы анализа статистических данных необходимо использовать в каждом конкретном случае и насколько удовлетворительны полученные результаты, полезно наглядное их представление. Такое представление обеспечивается набором средств визуализации путем построения графиков, двухи трехмерных диаграмм, использованием средств деловой графики. Такие возможности имеют большинство универсальных пакетов статистического анализа данных (STADIA, ЭВРИСТА, SPSS и др.).

Разработчиками таких пакетов являются большие сложившиеся коллективы, включающие специалистов разных направлений и гармонически дополняющих друг друга. Пользователи этих пакетов, будучи, как правило, выпускниками экономических факультетов ВУЗов, лишены таких возможностей и могут рассчитывать лишь на знания, полученные в ВУЗе и приобретаемые в процессе практической деятельности и самообразования. Поэтому в системе высшего образования важно рациональное, обоснованное сочетание фундаментальных, обеспечивающих и специальных дисциплин.

С этих позиций необходимо обосновать содержание и структуру курса начертательной геометрии для студентов экономических факультетов, согласовать с другими математическими дисциплинами, чтобы они могли обеспечить изучение таких спецкурсов как математическая статистика, моделирование экономических процессов и др. Начертательная геометрия наряду с другими обеспечивающими курсами (линейная алгебра и аналитическая геометрия, математическое программирование и др.) должна заложить базу для понимания сущности и наглядного геометрического представления типовых экономических задач анализа, планирования и прогнозирования, а также основных способов их решения, составляющих основу эконометрики.

Вышеизложенное определило цель и основные задачи настоящего исследования, выполненного в соответствии с планом научно-исследовательских работ кафедры прикладной геометрии МАИ (ГТУ), а также договорами о содружестве с кафедрой таксации Марийского государственного университета им. М. Горького и Йошкар-Олинским предприятием ОАО «ФармстандартМарбиофарм».

Цель работы — геометрическое моделирование задач анализа и прогнозирования в экономике, конструктивно-аналитических алгоритмов их решения, основанных на схеме расслоения многомерного пространства.

Для достижения этой цели в диссертации сформулированы и решены следующие основные задачи:

1) обосновать содержание и структуру геометрической базы, необходимой для понимания сущности и наглядного геометрического представления типовых экономических задач анализа и прогнозирования, а также алгоритмов их решения;

2) разработать способ построения детерминированных составляющих многомерных временных рядов, основанный на их представлении как совокупности одно-, дву-,., А:-мерных рядов, принадлежащих пучкам (к +1) -плоскостей;

3) применить предложенный способ построения временных рядов для моделирования задач анализа, планирования и оптимизации.

Методики выполнения работы. Способы и алгоритмы решения сформулированных задач основаны на методах алгебраической, аналитической и начертательной геометрии, математической статистики и теории временных рядов, а также теории алгебраических кривых и нелинейных преобразований.

Общей теоретической базой настоящего исследования послужили работы ученых и специалистов по прикладной геометрии, теории кривых линий и поверхностей, нелинейных преобразований: Валькова К. И. [15], Волкова В .Я. [18], Глаголева Н. А. [21], Джапаридзе И. С. [26], Иванова Г. С. [31,32,36], Котова И. И. [44,45], Первиковой В. Н. [63], Савелова А. А. [68], Филиппова П. В. [79], Четверухина Н. Ф. [84,85], Юркова В. Ю. [88], Hudson Н. [92], Loria G. [95], Sommerville D.M. [97,98], Wieleitner H. [99] и др.;

В области математической статистики, теории временных рядов, математических методов моделирования экономических процессов: Айвазяна С. А. [2,3,4], Баласанова Ю. Г. [10], Джонстона Дж. [27], Длина A.M. [28], Кэндалла М. И Стюарта А. [42,43], Лукомского Я. и [51], Тюрина Ю. Н. и Макарова А. А. [75] и многих других.

Научную новизну выполненного исследования составляют следующие результаты:

1) основные требования к содержанию и структуре геометрической базы моделирования экономических зависимостей и реализующая их примерная программа курса начертательной геометрии для студентов экономических специальностей;

2) способ конструирования многопараметрических кривых, основанный на суммировании и умножении графиков элементарных функций и предназначенный для построения аддитивных и мультипликативных моделей одномерных временных рядов;

3) два нелинейных преобразования с несобственным центром, расслаивающиеся в пучке прямых соответственно на параллельные переносы и сжатия (растяжения) и эквивалентные операциям суммирования и умножения двух однозначных функций;

4) геометрические основы построения многомерных временных рядов, базирующиеся на использовании принципа расслоения пространства и нелинейных преобразований, расслаивающихся последовательно в пучках подпространств.

Практическая ценность выполненного исследования заключается в:

1) замене трансцендентных кривых (экспоненты, логистической кривой, кривой Гомперца), применяемых при моделировании тренда, альтернативными алгебраическими кривыми, упрощающими модель детерминированной составляющей одномерного временного ряда;

2) применении дисперсионного анализа для определения влияния таксационных характеристик на продуктивность липняков и обнаружения грубых ошибок наблюдений;

3) выявлении двух (вместо одного) возможных интервалов возраста главной рубки липняков построением двумерного временного ряда корреляционной связи товарои нектаропродуктивности липняков;

4) разработке методики определения оптимального возраста главной рубки липняков товарной секции при известных почвенно-климатических условиях региона и конъюнктуры рынка;

5) обосновании совместного учета тренда и сезонной составляющей временного ряда при прогнозировании финансовых показателей работы предприятия.

На защиту выносятся результаты, определяющие научную новизну и имеющие практическую ценность:

— примерная программа курса начертательной геометрии для студентов экономических специальностей, обеспечивающая наряду с другими математическими дисциплинами спецкурсы по математическому моделированию экономических процессов;

— способ конструирования посредством нелинейных преобразований многопараметрических кривых, реализующий операции суммирования и умножения графиков элементарных функций и эквивалентный известным схемам построения аддитивных и мультипликативных моделей одномерных временных рядов;

— схема построения многомерных временных рядов с одним и более аргументами, основанная на использовании принципа расслоения пространства и нелинейных преобразований, также расслаивающихся в пучках его подпространств;

— альтернативы в виде алгебраических кривых невысокого порядка, некоторых трансцендентных кривых, используемых при моделировании трендов одномерных временных рядов, упрощающие модели детерминированных составляющих многомерных рядов;

— методика определения оптимального возраста главной рубки липняков товарной секции, основанная на построении двумерного временного ряда зависимости стоимости сортиментов ликвидной древесины от таксационных характеристик древостоя;

— предложение о совместном использовании тренда и сезонной составляющей при прогнозировании финансовых показателей работы предприятия построением временных рядов.

Реализация результатов исследования выполнена в виде: примерной программы курса начертательной геометрии для студентов экономических специальностейметодики определения возраста главной рубки липняков товарной секции, основанная на учете стоимости сортиментов и их выходе в зависимости от таксационных характеристик древостояспособа прогнозирования финансовых показателей работы предприятия, основанного на совместном учете тренда и сезонной составляющей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на следующих семинарах и научно-технических конференциях:

1) на аспирантских семинарах кафедры прикладной геометрии МАИ (ГТУ) (2001;2004 гг.).

2) на V Всероссийской научно-методической конференции «Актуальные вопросы обучения молодежи графическим дисциплинам», г. Рыбинск, июнь 2003 г.

3) на Всероссийской научно-методической конференции по прикладной геометрии и инженерной графике, г. Саратов, 2003 г.

4) на международной конференции «Baltgraf-7», Литва, г. Вильнюс, май 2004 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, в которых достаточно полно отражены теоретические и прикладные результаты выполненных исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, включающего 99 наименований, и пяти приложений. Она содержит 150 страниц машинописного текста, 35 рисунков и 9 таблиц.

Выводы.

В этой главе, посвященной построению геометрических моделей задач анализа, прогнозирования и оптимизации при определении возраста главной рубки липняков и изучении финансово-хозяйственной деятельности предприятия в виде многомерных временных рядов, получены следующие результаты:

1. Выполненным дисперсионным анализом математически подтверждено влияние таксационных характеристик на продуктивность липняков и предложен математически обоснованный способ устранения грубых ошибок в наблюдениях.

2. На основе регрессионно-корреляционного анализа товарои нектаропродуктивности липняков выявлено существование их тесной линейной зависимости от таксационных характеристик яруса и основного элемента леса.

3. Построением двумерного временного ряда корреляционной связи товарои нектаропродуктивности липняков показано существование двух возрастных интервалов (вместо одного общепринятого) главной рубки липняков.

4. Предложена методика определения оптимального возраста главной рубки липняков товарной секции на основе построения двумерного временного ряда. Методика базируется на оценке стоимости сортиментов ликвидной древесины в зависимости от их выхода из одного ствола таксационных характеристик древостоя.

5. Показано, что прогнозирование финансовых показателей работы предприятия построением временных рядов будет более достоверным при совместной оценке тренда и сезонной составляющей.

Заключение

.

В выполненном исследовании, посвященном геометрическому моделированию задач анализа и прогнозирования в экономике, разработке конструктивно-аналитических алгоритмов их решения, основанных на схеме расслоения многомерных пространств, получены следующие научные и практические результаты.

1. Обосновано содержание и структура геометрической базы, необходимой для понимания сущности и наглядного геометрического представления типовых экономических задач анализа, планирования и прогнозирования, а также методов их решения, изучаемых студентами экономических факультетов.

2. С целью построения геометрических моделейэкономических зависимостей рассмотрены основные линейные формы многомерного проективного пространства и отношения между нимиобсуждены подходы к его аффинизации и метризации, построения их проективно, аффинно и метрически полных изображений.

3. Изучены теоретико-конструктивные вопросы получения многопараметрических кривых способами суммирования и умножения графиков элементарных функций как базы аддитивных и мультипликативных моделей детерминированной составляющей одномерных временных рядов. Предложены два нелинейных преобразования с несобственным центром, расслаивающиеся соответственно на параллельные переносы и сжатия (растяжения), эквивалентные операциям суммирования и умножения двух однозначных функций.

4. На основе использования принципа расслоения пространства и, как следствие, применения преобразований пространства, расслаивающихся последовательно в пучках подпространств разработаны геометрические основы построения многомерных временных рядов. Предложено конструировать каркас одномерных образующих трендов таких рядов из дуг только рациональных алгебраических кривых, для чего построены альтернативы соответствующих трансцендентных кривых (экспоненты, кривой Гомперца, логистической кривой).

5. На основе дисперсионного и регрессионно-корреляционного анализов товарои нектаропродуктивности липняков показано существование их тесной линейной зависимости от таксационных характеристик яруса и основного элемента леса. Построение двумерного временного ряда выявило существование двух возрастных интервалов (вместо одного общепринятого) главной рубки липняков.

6. Предложена методика определения оптимального возраста главной рубки липняков товарной секции на основе построения двумерного временного ряда стоимости сортиментов в зависимости от их выхода из одного ствола и таксационных характеристик древостоя.

7. Показано, что прогнозирование финансовых показателей работы предприятия построением временных рядов будет более достоверным при совместной оценке тренда и сезонной составляющей.

8. Реализация результатов исследования выполнена в виде:

• примерной программы курса начертательной геометрии для студентов экономических специальностей;

• методики определения возраста главной рубки липняков товарной секции;

• способа прогнозирования финансовых показателей работы предприятия.