Поляризация электрон-позитронного вакуума и динамические эффекты в атомных спектрах

Актуальность темы

диссертационной работы.

Спектроскопия атома водорода и водородоподобных атомов является очень важным направлением исследований современной физики. На протяжении последних почти 125 лет, начиная с открытия Бальмером в 1885 году серии линий в видимой области спектра атома водорода, атомная спектроскопия не раз приводила к глобальным переосмыслениям и дополнениям законов физики. Как хорошо известно, попытки объяснения серии Бальмера, а также других спектральных серий, в конечном итоге привели к созданию квантовой механики, которая триумфально описала спектральные серии в спектре атома водорода. Повышение точности измерения частоты переходов в атоме водорода привело к открытию в 1947 году Лэмбом и Резерфордом расщепления 251/2 и 2Рг/2 уровней, названного лэмбовским сдвигом. Это открытие послужило мощным стимулом для развития квантовой электродинамики (КЭД) и в целом квантовой теории поля. Теория перенормировок, развитая для объяснения этого сдвига, стала ключевым элементом квантовой электродинамики. По аналогии с КЭД были построены квантовая хромодинамика (КХД) и теория электрослабых взаимодействий, и на основе этих теорий была принята концепция Стандартной модели. Поэтому проверке КЭД на простых водородоподобных атомных системах уделяется большое внимание. Благодаря прогрессу в развитии лазерной спектроскопии удалось с 1997 по 2004 годы измерить с высочайшей точностью оптическую частоту 15 —" 25' двухфотон-ного резонанса и оптические частоты 25 —> п5/пБ двухфотонных переходов в водороде и дейтерии [1−6]. В результате для перехода 15 —> 25 в атоме водорода была достигнута точность измерения с относительной ошибкой порядка Ю-14. Благодаря современной прецизионной спектроскопии удалось значительно повысить точность определения постоянной Ридберга и среднеквадратичного зарядового радиуса протона (его часто называют сокращенно радиусом протона) [6]. Основоположник современного способа прецизионной лазерной спектроскопии Теодор Хэнш удостоен Нобелевской премии по физике в 2005 г.

Также мюонные атомы уже почти на протяжении 60 лет являются важными объектами исследований физики. Основными направлениями таких исследований стали мюонный катализ ядерного синтеза, проверка квантовой электродинамики связанных состояний в мюонных атомах и изучение электромагнитной структуры атомных ядер. Актуальность исследования КЭД процессов в мюонных атомах заключается в том, что в них КЭД эффекты могут проявиться с еще неизученной стороны из-за того, что в мюонных атомах энергия уровней почти в 200 раз больше, чем в обычных атомах. Наиболее сильно в мюонных атомах проявляется эффект поляризации вакуума, обусловленный рождением и аннигиляцией электрон-позитронной пары. Также энергетические уровни мюонных атомов гораздо чувствительнее к структуре атомных ядер, чем энергетические уровни обычных атомов. Например,' смещение энергетического уровня за счет конечного размера протона для 2й,-состояния ¦ атома мюонного водорода составляет по величине примерно 1/50 от лэмбовского сдвига. В то время как аналогичное смещение для 15-состояния атома водорода есть приблизительно 1/7000 от лэмбовского сдвига. Это означает, что спектроскопия атома мюонного водорода может предоставить более точную информацию о размере протона.

Эксперименты по лазерной спектроскопии атомов мюонного, водорода начались в 2001 году [7] и, как ожидалось, они должны были уточнить значение радиуса протона, полученное из спектроскопии атома водорода. Однако эксперименты были завершены лишь в 2010 году и привели к неожиданным результатам [8]: радиус протона, определенный из анализа данных спектроскопии мюонного водорода, оказался на 4% меньше радиуса, полученного с помощью спектроскопии обычного водорода. Именно поэтому экспериментаторы не наблюдали резонанс, предсказанный на основе данных по спектроскопии атома водорода, и потребовалось достаточно много времени для выяснения причин возможной ошибки. Это расхождение не укладывается в погрешность экспериментов и является также слишком большим, чтобы его можно было устранить путем учета еще нерассчитанных КЭД поправок. Эта проблема является чрезвычайно серьезной, и требуется тщательная проверка всех возможных причин, которые могут приводить к расхождению значений для радиуса протона, начиная с перепроверки точности экспериментов до перепроверки методов, которые используются для описания связанных состояний в КЭД. Если предположить, что в резонансных экспериментах все проанализировано правильно, то это означает, что в теории может быть потеряно примерно 100 кГц для лэмбовского сдвига 15-состояния атома водорода или примерно 75 ГГц (0.3 мэВ) для частоты перехода 2в — 2Р атома мюон-ного водорода. В дополнение к этому остаются расхождения между теорией и экспериментом для тяжелых мюонных атомов, которые не могут быть устранены подгонкой свободных параметров, входящих в модели атомных ядер [9,10]. Поэтому развитие новых более точных методов описания КЭД связанных состояний, в том число и вакуумно-поляризационных эффектов в атоме, является актуальным.

Цель работы.

Целью работы является исследование влияния поляризации вакуума на энергетические уровни атомов и их спектры в рамках подхода к теории связанных состояний, основанного на формализме обобщенной квантовой динамики (ОКД).

Научная новизна работы.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые используется формализм обобщенной квантовой динамики для описания процессов рождения и аннигиляции электрон-позитронной пары в атоме и вычисления вакуумно-поляризационных поправок к энергии уровня атома. Такой подход открывает новые возможности для решения проблемы связанного состояния в рамках подхода, основанного на использовании оператора эволюции. Преимуществом развитого в диссертационной работе нового способа описания вакуумно-поляризационных эффектов является тот факт, что он не приводит к ультрафиолетовым (УФ) расходимостям. В результате проведенных исследований определены и рассчитаны новые вакуумно-поляризационные поправки, которые ранее не учитывались для описания атомных спектров.

Достоверность результатов и выводов.

В представляемой диссертационной работе корректно используются современные методы квантовой теории, которые зарекомендовали себя как наиболее точные методы, показали свою предсказательную силу в ядерной физике и успешно применяются в различных областях квантовой физики. Достоверность проведенных исследований подтверждается тем, что в работе в частном случае воспроизводится результат, получаемый с помощью других общепринятых методов описания связанных состояний в квантовой электродинамике, а именно поправка Юлинга. Достоверность результатов обеспечивается строгостью математических преобразований, проведенных в работе, и использованием современных методов численных вычислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанный метод описания вакуумно-поляризационных эффектов позволяет вычислять поправки к спектральным линиям атомов исходя из основополагающего определения связанных состояний, в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией.

2. Рассчитанные динамические поправки к энергетическим уровням атомов являются новыми поправками и не могут быть вычислены с помощью стандартных методов.

Научная ценность и практическая значимость.

Проведенные в диссертационной работе исследования демонстрируют возможности подхода обобщенной квантовой динамики для описания эволюции связанного состояния. Полученные результаты позволяют более точно вычислять атомные спектры и важны для изучения размера и структуры атомных ядер.

Апробация работы.

Результаты исследовательской работы докладывались соискателем на 14 научных международных и всероссийских конференциях: «X-XV международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2006;2011) — «X-XI международные чтения по квантовой оптике» (Самара, Волгоград, 2007, 2011) — «International Conference on Coherent and Nonlinear Optics», «Conference on Lasers, Applications, and Tech-nologies», «School for Young Scientists and Engineers» ICONO/LAT (Kazan, 2010) — «LX International Conference on Nuclear Physics «Nucleus 2010». Methods of Nuclear Physics for Femtoand Nanotechnolies» (Saint-Petersburg, Peterhof, 2010) — «Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2009» (Санкт-Петербург, 2009) — «IX международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии» (Казань, 2009) — «XX международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Петровские чтения. Волга-2008» (Казань, 2008) — «XI всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» (Звенигород, Моск. обл., 2008).

Исследовательская работа награждалась медалью Министерства образования и науки Российской Федерации «За лучшую научную студенческую работу» по итогам открытого конкурса на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в высших учебных заведениях Российской Федерации (Москва, 2008) — стипендией Мэра г. Казани по итогам конкурса научно-практической конференции студентов и аспирантов «Наука и инновации в решении актуальных проблем города» (Казань, 2010) — дипломом первой степени по итогам республиканского конкурса научных работ студентов на соискание премии им. Н. И. Лобачевского (Казань, 2006) — дипломом за лучший доклад по итогам конкурса на «XII международной молодежной научной школе «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2008) — дипломами первой и второй степени по итогам конкурсов «Итоговой научно-студенческой конференции КГУ». (Казань, 2006, 2008).

Личный вклад соискателя.

Автором было сформулировано и решено обобщенное динамическое уравнение для однопетлевой и двухпетлевой поляризации вакуума. Получены и рассчитаны вакуумно-поляризационные поправки к энергетическим уровням легких обычных и мюонных атомов и тяжелых мюонных атомов.

Публикации.

Основные результаты по теме диссертации изложены в 12 статьях, 4 из которых входят в список ВАК.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 119 страниц, включая 43 рисунка и 8 таблиц.

Выводы диссертационной работы.

1. Разработанный метод позволяет явно учитывать в поправках к энергетическим уровням эволюцию квантовых систем.

2. Динамические поправки необходимо учитывать наравне с другими КЭД поправками для более точного описания атомных спектров и исследования структуры атомных ядер .

3. На основании проведенного исследования динамических поправок можно предполагать, что размер протона., определенный из спектроскопии атома мюонного водорода, является более правильным.

4. Чтобы точно ответить на вопрос, позволяет ли учет динамики КЭД процессов устранить существующее расхождение между теорией и экспериментом в атомной спектроскопии, требуется также исследовать динамический эффект в атоме водорода, связанный с собственной энергией электрона.

5. Для тяжелых мюонных атомов требуется провести переподгонку свободных параметров, входящих в модели атомных ядер, с учетом динамических поправок.

1.4 Заключение.

В этой главе были сформулированы основные теоретические проблемы, с которыми столкнулась современная спектроскопия атомов водорода и мюонного водорода, а также тяжелых мюонных атомов. Решение существующих в теории проблем в свою очередь поможет перейти на новый уровень понимания законов квантовой физики. Поэтому спектроскопия как обычных атомов, так и экзотических атомных систем остается сегодня актуальной задачей и используется для того, чтобы все глубже заглянуть внутрь вещества и точнее определить фундаментальные законы природы. Например, нобелевский лауреат по физике за вклад в развитие точной лазерной спектроскопии 2005 года Теодор Хэнш сравнивает изучение лэмбовского сдвига с разгадкой розетт-ского камня [68]. На сегодняшний момент времени существует расхождение между теорией и экспериментом. Можно ожидать, что с увеличением исследуемой энергетической области (например, спектроскопия иона гелия и иона мюонного гелия) это относительное расхождение будет тоже увеличиваться. Остается надеяться, что устранить это расхождение сможет принципиально новая теория, являющаяся обобщением существующей сегодня стандартной теории.

Глава 2.

Нелокальные взаимодействия и квантовая динамика.

2.1 Формулировки квантовой теории.

Существуют две общепринятые формулировки квантовой теории: каноническая формулировка и фейнмановская формулировка. В канонической квантовой теории, а в частности, в атомной физике [22,23], постулировано, что динамика системы описывается уравнением Шредингера (с гамильтонианом Дирака). В этом случае взаимодействие в системе является мгновенным и описывается гамильтоновой динамикой. Уравнение Шредингера следует из теоремы Стоуна при условии строгой непрерывности оператора эволюции.

1іт\и3(і2,0) — ^(?і, 0)|| = 0, (2.1) где С/5 (і, 0) есть оператор эволюции в представлении Шредингера. В случае когда взаимодействие немгновенно во времени, условие строгой непрерывности нарушается [66]. В результате использование уравнения Шредингера в квантовой теории поля при описании нелокальных процессов приводит к ультрафиолетовым расходимостям. Как известно, причиной УФ-расходимостей в КЭД является локальность теории, и поэтому долгое время считалось, что проблему нелокальности можно решить путем введения нелокального формфактора в плотность гамильтониана взаимодействия. Однако в релятивистской теории, если мы «размазываем» взаимодействие в пространстве, то мы должны «размазывать» его и во времени, что неизбежно приводит к потере в гамильтоновой динамике унитарности или релятивисткой инвариантности. Причиной этого является то, что уравнение Шредингера является локальным во времени и гамильтониан описывает мгновенное взаимодействие. И как следствие в гамильтоновой динамике взаимодействие в принципе не может быть нелокальным во времени. Преимущество канонической квантовой теории — это удобный математический аппарат, использующий язык векторов (а точнее лучей) состояний в гильбертовом пространстве и язык операторов, а недостаток — это использование локального во времени уравнения Шредингера. Именно локальность аргументировала, что она является основной причиной бесконечности в квантовой теории поля.

Фейнмановская формулировка квантовой теории отличается от канонической [43,82]. Главная идея этого формализма состоит в том, что квантовая динамика может быть описана без использования уравнения Шредингера. Фейнмановская теория начинается с анализа явления квантовой интерференции, которое сопровождается • непосредственно введением понятия суперпозиции амплитуд вероятности (первый постулат Фейнмана). Амплитуда вероятности события, которое может произойти несколькими различными способами, есть сумма амплитуд вероятности для каждого из событий [43]. В фейнмановской формулировке квантовой теории этот постулат используется как основополагающий постулат теории (первый постулат Фейнмана). Его можно использовать различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Фейнман в качестве альтернатив рассматривал движения по различным возможным траек ториям в пространстве-времени, которые все дают вклад [43]. Фейнмановская формулировка содержит в себе как и важнейшую идею суперпозиции амплитуд вероятности, так и понятие амплитуды вероятности, связанное с определенными перемещениями, или траекториями в пространстве-времени, и искусственно постулирует, что эта амплитуда вероятности, имеет фазу, пропорциональную классическому действию для соответствующей траектории exp (?^[^(i)]) (второй постулат Фейнмана) [43], где Sab есть классическое действие (в единицах К) ь J МЬ (х, х). (2.2) а.

Амлитуда вероятности (Ьа) того, что частица перейдет из пространственно-временной точки (Ьа, ха) в пространственно-временную точку (Ц, хь), равна.

Ьа) = ^]ехр (¿-ЗДаф)]). (2.3) х{1).

Второй постулат был введен таким образом, чтобы из него следовало уравнение Шредингера. Теория Фейнмана очень отличается от канонической квантовой теории. Эти разные подходы достоверны и эквивалентны и дополняют друг друга в решении различных проблем квантовой физики.

2.2 Формализм обобщенной квантовой динамики.

В работе [66] было показано, что уравнение Шредингера не является самым общим динамическим уравнением, совместным с современными концепциями квантовой физики, ибыло выведено более общее уравнение движения как следствие основополагающих физических принципов. Являясь эквивалентным уравнению Шредингера в случае, когда взаимодействие в системе является мгновенным, это более общее уравнение позволяет расширить квантовую динамику на случай нелокальных во времени взаимодействий. Это динамическое уравнение, развитое на основе формализма обобщенной квантовой динамики (ОКД), открывает новые возможности для решения многих проблем квантовой физики [83,84,93,95].

2.2.1 Оператор эволюции.

Как постулат в ОКД используется то [66,87], что вероятность события есть модуль квадрата комплексного числа, названного амплитудой вероятности. Общая амплитуда вероятности упорядоченной по времени последовательности событий есть произведение отдельных амплитуд вероятности для каждого события. Амплитуда вероятности события, которое может произойти несколькими различными способами, есть сумма амплитуд вероятности для каждого из этих способов. Очевидное преимущество формализма ОКД состоит в том, он объединяет в себе первый постулат Фейнмана и удобный математический аппарат канонической квантовой теории и приэтом не содержит «искуственных» постулатов. В работе [66] было показано, что вместо процессов, в которых частицы системы имеют определенные траектории, в качестве альтернатив события можно использовать процессы с определенными временами начала и конца взаимодействия в системе. Используя основные предположения фейнмановской формулировки, матричные элементы оператора эволюции представляются как сумма вкладов всех альтернативных способов реализации соответствующего процесса эволюции. В формализме ОКД амплитуда вероятности Ц) Ф) того, что при измерении в момент времени? система будет обнаружена в состоянии ф2)> если при измерении в момент времени ¿-о она находилась в состоянии ф), представляется в следующей форме [66] г ?2.

ШЩМШ) = (ЬШ + / / ШЭ&МШ) — (2.4).

0 ?0.

Здесь ?1)1¹) ~~ амплитуда вероятности того, что если в момент времени ?1 состояние системы было то взаимодействие в системе начнется в момент времени ?1, закончится в момент времени ?2 и в тот же момент система окажется в состоянии ф2). Величина (^2есть амплитуда вероятности того, что в системе не было взаимодействия. Представление (2.4) выражает тот факт, что если в момент времени? система обнаружена в состоянии отличном ОТ СОСТОЯНИЯ В момент Времени ?0) то в промежуток времени между? и £о имело место взаимодействие в системе, которое должно было начаться в какой-то момент времени ?1 (? ^ ?1 ^ £о) и в какой-то момент времени ?2 (?2 ^ ?1 ^ ¿-о) закончится. Интеграл в правой части (2.4) означает суммирование вкладов от всех этих альтернативных возможностей, а это и есть принцип суперпозиции амплитуд вероятности. Для наглядности на рис. 2.1 приведен пример времен начала и конца взаимодействия. Тогда оператор эволюции.

Н-1−1-1-> и ^ ?2? ВРЕМЯ.

Рис. 2.1. Пример времен начала и конца взаимодействия.

Н-1—н и ti ?2 ВРЕМЯ.

Рис. 2.2. Пример промен более фундаментальных процессов.

11 (?, ¿-о) можно записать в следующем виде г ?2 о) = 1 + / У <Й1 (2.5).

0 ?0 где оператор ¿-" (¿-г,^) описывает вклад в оператор эволюции ?/(?,?0) от процессов, в которых взаимодействие начинается в момент времени ?1 и заканчивается в момент времени ?2.

2.2.2 Обобщенное динамическое уравнение.

Как было показано [66], для того чтобы оператор эволюции о) был унитарным и удовлетворял композиционному закону.

С/+(МоММо) = ?/(Мо)^+(Мо) = 1 (унитарность), {/(£,£)£/(£',¿-о) = и (Ь, Ьо) и [/(?о,?о) = 1 (композиционный закон), оператор ¿-" (¿-¡-^¿-х) должен удовлетворять уравнению.

2 ?4.

2-^1)^2¹) = IСЙ4 У (2−6).

1 ?1.

Это рекуррентное соотношение (2.6) показывает, что вклады в процесс, который происходит в промежуток времени г = ?2 — ?1, вносят процессы, которые происходят в еще меньшие промежутки времени ?4 — ¿-з (рис. 2.2). Таким образом, это уравнение является прямым следствием принципа суперпозиции амплитуд вероятности и унитарности оператора эволюции. Исключительно важным является то, что для построенного оператора эволюции достаточно знать вклад в ?(?2, ?1) от процессов с бесконечно малыми временами взаимодействия. Если эти вклады заданы, уравнение (2.6) позволяет определить для любых ?1 и ?2- Естественно предположить, что в пределе ?2 —" ?1 наибольший вклад в оператор эволюции дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в системе. Например, для атомной физики фундаментальным взаимодействием является процесс обмена кулоновским фотономдля КЭД — процесс поглощения (или испускания) фотона и процесс рождения (или аннигиляции) электрон-позитронной пары. Тогда используя соотношение (2.6), оператор 5(?2, ?1) можно представить в виде разложения в ряд по степеням фундаментальных взаимодействий. Обозначая вклад как вклад от процессов с бесконечно малым времен взаимодействия, можно записать граничное условие для уравнения (2.6).

2,?1), Яшь (*2}"о + 0(те), (2.7) где т = Ь2 — ?1 — время взаимодействия, е — некоторая степень, выбираемая таким образом, чтобы уравнение (2.6) в пределе —> ?1 имело единственное решение, имеющее поведение (2.7) В окрестности ТОЧКИ ?2 = ?1, обобщенный оператор взаимодействия, описывающий фундаментальные взаимодействия. Дополненное этим граничным условием уравнение (2.6) становится динамическим уравнением. В случае, когда обобщенный оператор взаимодействия имеет следующий вид.

ЯшЬ (£2,£ 1) = -2Щ2 — (2.8) где Я/(£) — гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия, из уравнения (2.6) можно получить уравнение Шредингера в интегральной форме в виде разложения Дайсона [66]. Дельта-функция — ?1) в соотношении (2.8) указывает на мгновенность взаимодействия. Уравнение (2.6), полученное из общих физических принципов и являющееся в частном случае уравнением Шредингера, названо обобщенным динамическим уравнением (ОДУ) [66]. ОДУ (2.6) позволяет обобщить теорию на случай, когда взаимодействие в системе является нелокальным во времени и, следовательно, динамика в системе не является гамильтоновой.

2.2.3 ОДУ в терминах Т-оператора.

Для практических вычислений обобщенное динамическое уравнение (2.6) удобно переписать в терминах Т-оператора в дифференциальной форме. Т-оператор определяется с помощью оператора S{t2,t{) следующим образом (здесь и далее используется рациональная система единиц h = с = 1).

Т (т) = exp (-itfoi2)5(i2,ii) ехр (г#0*і). (2.9).

Здесь S (?2: ^і) ~ оператор в представлении взаимодействия, Т (т) — тот же самый оператор в представлении Шредингера и, Но — свободный гамильтониан. Далее можно записать Т-оператор в энергетическом представлении, связав энергетическое и временное представления фурье-преобразованиями со.

T (z) =i J dr exp (izr)T®, (2.10) о oo f® = [ dx exp (-izr)T (z). (2.11).

27 Г J.

— oo.

Принцип причинности требует, чтобы матричные элементы оператора Т (т) обращались в нуль при г < 0. Из принципа причинности г > 0 следует, что — аналитическая операторная функция от 2 в верхней половине комплексной плоскости. В этом случае оператор эволюции (2.4) можно представить в следующем виде п2|[/(М[)Ж) = (п2|п!) + г Т ехр (-г (г — ЕП2)£) {п2Т^)гы) ехр (г (г — ЕПг) Ьо).

— оо где г- = х+гу — энергия (как комплексное число) и у > 0, п обозначает полный набор дискретных и непрерывных переменных, описывающих систему, |п) и Еп — собственные вектора и собственные значения свободного гамильтониана.

Hq, т. е. Ноп) = Епп). В терминах оператора T (z) обобщенное динамическое уравнение (2.6) может быть представлено в виде [66] и приведено к дифференциальной форме или.

T (z) = -T (Z){G0(Z))2T (Z). (2.15).

Здесь Gq (z) есть свободный гриновский оператор

G0(z) = (z — НоГ1 или = (2Л6) п z.

Суммирование по п подразумевает суммирование и интегрирование по всем свободным состояниям системы. Граничное условие для уравнения (2.14) выбирается как.

T (z) B (z), (2.17) z—>оо где B (z) определяется с помощью обобщенного оператора взаимодействия Нntihih), записанного в представлении Шредингера оо.

B (z)=i J тexp (izт)exp (-iHot2)Hmt (t2,tl)exp (гHotl). (2.18) о.

Таким образом, оператор В (г) есть оператор взаимодействия с бесконечно малым временем взаимодействия.

Уравнение (2.14) позволяет получить решение для любыхг, если определено соответствующее граничное условие для этого уравнения. Граничное условие (2.17) означает, что наибольший вклад в в пределе —" оо дают процессы, ассоциируемые с фундаментальными взаимодействиями в рассматриваемой системе, описываемые оператором В (г). Несмотря на то, что в граничном условии (2.17) 2- устремляется к бесконечности, мы можем ограничиться рассмотрением области энергии, лежащей гораздо выше нашего низкоэнергетического приближения, но гораздо меньшей области энергии, соответствующей более фундаментальной высокоэнергетической теории. Такую область энергий мы обозначим как Т>. Тот факт, что область Т> лежит гораздо выше масштаба низкоэнергетической динамики, позволяет утверждать, что при таких «бесконечно больших» энергиях основной вклад в оператор Т (г) дают процессы, которые можно определить как «фундаментальные» для данной низкоэнергетической теории. И, как следствие этого, оператор взаимодействия В{г) достаточно близок к истинной Т-матрице, т. е. к (^¡-Т^)]^}. Так, чтобы учесть тот факт, что любая теория имеет границы применимости, вместо граничного условия (2.17) для уравнения (2.14) мы должны воспользоваться выражением (ф2 В (г)ф!) + г^Ъ. (2.19).

Для того чтобы уравнение (2.14) с граничным условием (2.19) имело единственное решение, оператор взаимодействия В (г) должен быть достаточно близок к истинной Т-матрице в области V, другими словами, функция Н{г) должна быть малой для х е Т> [66].

2.2.4 Оператор Грина.

Если представить оператор эволюции в представлении Шредингера как преобразование Фурье оо } <�ьехр (-«*)ад, (2.20) оо где С/^й, 0) = ехр (—гН^и^Ь) ехр (гЯо^г) — оператор эволюции в представлении Шредингера, то обратное преобразование Фурье даст оо.

С?(г)=г J сЙехр (гг*)С/5(*, 0), (2.21) о где С (г) — гриновский оператор. Физический смысл гриновского оператора заключается в том, что он описывает эволюцию системы в энергетических переменных и содержит в себе информацию от всех времен. Из выражения (2.4) следует, что гриновский оператор есть [66] или.

ЭД = <ЭД + <?о (*)Т (*).

Здесь (ЗД = (г — -Но)-1 свободный гриновский оператор, описывающий свободную систему, т. е. систему в отсутствие каких-либо взаимодействий, и Т (г) — оператор взаимодействия, описывающий взаимодействия в системе.

2.3 Взаимодействие квантовой системы с вакуумом.

2.3.1 Свободные состояния в КЭД.

Уравнение позволяет (2.14) описывать нелокальное взаимодействие квантовой системы с вакуумом. Но Т-матрица описывает не только взаимодействие между частицами, но и их самодействие (т.е. взаимодействие с вакуумом), в то время, как свободный гриновский оператор (?о (^) описывает эволюцию частиц в отсутствии каких-либо взаимодействий. В этом случае для практических вычислений удобно перейти от свободного оператора. Грина Со (г) и оператора Т (г) к другим операторам. Вклад в оператор Грина от процессов, связанных с самодействием’частиц, имеет такую же структуру, как свободный гриновский оператор Єо (г). По этой причине естественно заменить свободный оператор на пропагатор Со (^), который описывает эволюцию частиц, взаимодействующих с вакуумом, а следовательно имеет следующий вид [87,88] д{г) = (г — Щ — ОД)" 1. (2.24).

Здесь оператор С (г) определяется уравнением С (г)п) = Сп (г)п). Условие г — Я<0> - Сп (г) = 0 (2.25) определяет физические массы частиц. Следует отметить, что Со (г) отличается от свободного гриновского оператора тем, что в пропагаторе заменяется на Е^ + Сп (г). Если бы Сп (г) не зависела от г, то ее можно было бы рассматривать как поправку к энергии, обусловленную взаимодействием с вакуумом. Однако в общем случае эту зависимость от л, которая есть проявление того, что взаимодействие с вакуумом является нелокальным во времени, необходимо учитывать. Соответственно, оператор T{z) необходимо заменить оператором M (z), описывающим взаимодействие только между частицами. Эти операторы связаны следующим простым соотношением [87,88].

G0(z) + Gq{z)T{z)Gq{z) = G{z) + Go (z)M (z)Go (z). (2.26).

Используя это соотношение, можно переписать обобщенное динамическое уравнение в терминах оператора M{z) и функции Cn (z) п2м (г)гы) = -ЫА-ООЫ.

— (гъМ (г)т) ({niDs{z)m) + (n2D5{z)n2)), (2−27).

Cn (z) = —(nDsn), (2.28) где (niDs (z)ni) и (ri2Dr (z)ni) связаны с операторами M{z) и Gq (z) следующими соотношениями [88] пзІОДІщ) = (n2|ni).

D (z) = M{z) (Go (^))2 M{z). (2.30).

Первый член в правой части выражения (2.29) содержит множитель (П2ІП1) и описывает «сингулярную» часть (ri2D ('z)ni). Граничные условия для уравнений имеют вид п2|М (г)|ш>, ЫД-ОгОК), (2.31).

Cn{z) -> (nBs (z)n), (2.32) z|—>00 где B§(z) и Br (z) описывают соответственно «сингулярную» и «регулярную» части оператора взаимодействия п2В{г)ты) = {n2n1)(niB6(z)n1) + {n2Br{z)m). (2.33).

Здесь Br (z) — регулярная часть оператора взаимодействия, описывающая взаимодействие между частицами, a B$(z) — сингулярная часть оператора взаимодействия, описывающая их самодействие. Уравнение на Cn (z) имеет следующий вид [65,87,88] c"(Z) = -(n|MW (§"(,))2MWH. (2.34).

Это уравнение и уравнение на М{г) можно решать итерационно, положив в первой итерации М (г) = Вг (г), где оператор Вг{г) есть регулярная часть оператора В (г) и выражается через гамильтониан взаимодействия системы.

2.3.2 Связанные состояния в КЭД.

Подход, описанный в предыдущем подразделе 2.3.1, оказывается чрезвычайно эффективным при решении проблемы связанных состояний в КЭД. Для решения этой проблемы мы можем воспользоваться теми же уравнениями, но записанными в картине Фарри, в которой в качестве базисных векторов используются собственные векторы гамильтониана Дирака, т. е. Ноп) — где #0 есть гамильтониан Дирака-Кулона. Действительно, связанные состояния мюона (или электрона) в кулоновском поле ядра и энергии этих состояний могут считаться «голыми» состояниями и «голыми» энергетическими уровнями мюонного (или электронного) атома в случае, когда частицы системы не взаимодействуют с вакуумом. Для того, чтобы определить настоящие состояния и энергии уровней мюонных атомов, мы должны рассмотреть взаимодействие таких «голых» атомов с вакуумом. Таким образом, вместо свободных состояний в качестве базисных состояний можно использовать полную систему векторов |п), являющихся решениями уравнения Дирака. Таким образом состояние п) можно рассматривать как «свободные» состояния системы. Если взаимодействие в системе, за исключением взаимодействия частиц с кулоновским полем, отсутствует, то эволюцию системы можно описать «свободным» гриновским оператором, который можно представить в следующем виде [88].

Теперь для описания динамики системы мы должны учесть, что частицы в «свободных» состояниях |п) могут участвовать в других взаимодействиях, например, в процессах рождения и поглощения фотонов или рождения и уничтожения электрон-позитронных пар. Причем последний процесс является доминирующим в мюонных атомах. В результате из условия полюса в.

2.35) матричном элементе гриновского оператора п|С (г)|и> = (2'36) следует уравнение г — Е^ — Сп{г) ~ 0, определяющее КЭД поправки к энергетическим уровням мюона (или электрона) в кулоновском поле ядра. Это условие является следствием основополагающего определения связанных состояний (1.67), в котором стационарное состояние изменяется во времени как свободное состояние с постоянной энергией. Тогда величина.

АЕп = Еп- = Сп (Еп) (2.37) есть лэмбовский сдвиг энергетического уровня п.

Схожий по виду подход в терминах оператора эволюции и оператора Грина развивается Коэном-Таннуджи и соавторами в [89], в котором п|ед|п> =- 1 (2.38) где оператор Грина определяется как резольвента полного гамильтониана <?(г) = (гЯ)" 1- Я = Н0 + У, и <ЗД равен в (г) = + <ЗДГОоМ + + - • (2.39).

Здесь Т-оператор есть сумма обычного борновского ряда.

Т = V + УС0{г)У + УО0(г)УО0(г)У +.. (2.40).

Выражения записаны не картине Фарри, но никаких трудностей перенести полученные результаты на случай картины Фарри не возникает. Поправка к энергии Ип{г) раскладывается в ряд по теории возмущений [89] г) = {пУп) + <�ті|УС?оМ^|7і) + {пУво{г)Уво{г)Уп) +.. (2.41).

Как видно, такой подход в [89] построен на гамильтоновой динамике, и это неизбежно приводит к УФ-расходимостям в поправке Яп^). Но подход ОКД отличаются от него более фундаментальными определениями оператора эволюции и оператора Грина и, как будет показано в следующей главе, оказывается свободным от УФ-расходимостей. В отличие от (2.41) в формализме ОКД функция Cn{z) определяется дифференциальным уравнением (2.34), которое свободно от УФ-расходимостей за счет дополнительной степени в знаминате-ле, и если правильно определить граничное условие для этого уравнения, то и в поправке к энергии УФ-расходимостей тоже не появится.