Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке

Диссертационная работа посвящена теоретическому и численному исследованию хаотической адвекции пассивных примесей в ламинарных гидродинамических потоках, относящихся к классу неинтегрируемых гамильтоновых систем с полутора степенями свободы. В ней рассматривается, вероятно, простейшая двумерная модель такого рода — адвекция частиц стационарным точечным вихрем на фоне течения с периодической составляющей набегающего потока. Решение этой задачи стимулировано наличием интересных природных объектов — топографических вихрей в океане и атмосфере, возникающими над горами. Актуальным, в частности, является изучение влияния приливных течений и квазистационарных океанских топографических вихрей над подводными горами на циркуляцию вод, перенос загрязнений и биологическую продуктивность океана.

В последнее десятилетие методы теории динамических систем стали активно применяться в физической океанографии с целью качественного и количественного описания влияния когерентных структур на транспорт и перемешивание водных масс, солености, тепла и вещества (примесей). Существенно возросшие за это время возможности визуализации океанских потоков с помощью буев нейтральной плавучести, спутниковых и радарных измерений позволяют уверенно выявлять различные эйлеровы когерентные структуры в океане: от планетарных круговоротов, фронтов, основных струйных течений, мезомасштабных вихрей до более мелких вихрей, струй и филаментов. Под термином «когерентная структура», вслед за многими авторами, мы понимаем некое структурно устойчивое квазистационарное образование, существующее на временах, значительно превышающих все эйлеровы временные характеристики потока. Пример такой структуры приведен на Рис. 1. Это спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N. Отчетливо видна петля меандра на фоне основной (вообще говоря, нестационарной) струи Гольфстрима. Подобные структуры возникают и в другом пограничном западном потоке — Куросио.

Целью данной работы является выявление, описание и объяснение в рамках нелинейной динамики основных механизмов перемешивания пассивных примесей (загрязнений, тепла, солёности, фитопланктона и др.) в нестационарных гидродинамических потоках. Поскольку фазовое пространство двумерного несжимаемого гидродинамического потока совпадает с его конфигурационным пространством, то геофизические потоки и лабораторные эксперименты с красителями представляют уникальную возможность наблюдать невооруженным глазом в форме пространственных картин такие фундаментальные структуры и свойства хаотической динамики как инвариантные множества и их устойчивые и неустойчивые многообразия, фрактальные границы, полеты Леви, динамические ловушки и прочее.

Одним из важнейших открытий последних 30−40 лет в физике и математике динамических систем является обнаружение, исследование и понимание нового (в строгом смысле) вида движения — динамического хаоса, т. е. хаотического поведения детерминированных нелинейных динамических систем. Формализовать понятие динамического хаоса проще всего в терминах показателя Ляпунова. Пусть Axq есть расстояние между двумя начальными состояниями в фазовом пространстве. Определим величину.

6(t) = lim (1).

4 ' Ахо->0 Ах0 4 ' характеризующую на сколько разошлись две бесконечно близкие друг к дру.

Рис. 1. Спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N. гу точки к моменту времени t. Если время t достаточно мало, чтобы можно было считать изменение начального состояния равномерным, то S (t) есть решение дифференциального уравнения.

2-А* (2) а именно.

6(t) = 6oext. (3).

Если показатель Ляпунова Л положителен, то динамика, характеризуемая величиной 6(t), экспоненциально чувствительна к малым изменениям начальных условий и называется хаотической. В ограниченном фазовом пространстве экспоненциально быстро разбегающиеся траектории возвращаются в окрестность своего начального положения, образуя при этом сложнейший клубок непересекающихся (по теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения, определяемого начальными данными) траекторий, который дает наглядный образ хаоса в детерминированных системах.

Одним из первых, кто указал на существование сложных и практически непредсказуемых движений, описываемых уравнениями классической физики, был А. Пуанкаре. Решая задачу трёх тел в небесной механике, он обнаружил, что сложное поведение динамической системы связано с существованием гомоклинической структуры (трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий неустойчивой точки равновесия), содержащей бесконечное множество траекторий как периодических, так и непериодических [33]. Развитие идей А. Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Математическая теория, которая в настоящее время изучает подобные системы, — это так называемая теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Несмотря на огромные успехи этой теории, превратившейся по сути в самостоятельный раздел математики, она в большинстве нетривиальных случаев даёт лишь качественное описание движения. В этих условиях естественно использовать физические методы исследования, основанные на введении приближённых моделей, разумных экстраполяции и правдоподобных допущений, направляемых и подкрепляемых экспериментом. При этом речь идёт не только о «настоящих» экспериментах с реальными системами, но и о так называемых численных экспериментах, т. е. численном интегрировании уравнений движения. С эрой высокопроизводительных компьютеров и появлением нового вида научной деятельности — численного экспериментирования, началась массированная атака на хаос (см., например, [1,14,36,38]).

В первой главе диссертации описывается явление адвекции пассивных примесей в двумерных потоках идеальной жидкости. В таких потоках скорость частиц можно выразить через скалярную функцию двух пространственных координат и времени — так называемую функцию тока. При этом уравнения движения частиц имеют гамильтонов вид, где гамильтонианом является функция тока, а координаты являются канонически сопряженными переменными. Для стационарного течения функция тока не зависит от времени, уравнения движения соответствуют консервативной гамильтоновой системе с одной степенью свободы и, следовательно, являются полностью интегрируемыми. В этом случае траектории частиц совпадают с линиями тока (линиями уровня функции тока). Для нестационарных двумерных течений функция тока и уравнения движения частиц явно зависят от времени, порождая неконсервативную гамильтонову систему с полутора степенями свободы (роль половинки степени свободы играет время). Такие системы, вообще говоря, не являются интегрируемыми и в них возможен динамический хаос, иногда называемый в двумерной гидродинамике лагранжевой турбулентностью. В этой же главе дан обзор современного состояния теоретических и экспериментальных исследований хаотической адвекции в жидкостях.

Во второй главе диссертации в рамках двумерной модели открытого несжимаемого периодического потока со стационарным точечным вихрем теоретически и численно выявлен типичный механизм хаотического перемешивания, описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей, предложен численный метод выявления неустойчивых периодических орбит с помощью карт изменения энергии частиц. Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое многообразие Аи которого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей.

В третьей главе рассмотрена задача хаотического рассеяния и транспорта частиц. Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества Л с материальной линией частиц из набегающего потока. Установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик потока. Функции рассеяния являются сингулярными на канторовом множестве начальных условий, что должно проявляться в экспериментах в виде сильных флуктуаций измеряемой величины. Предложена математическая модель формирования фрактала рассеяния. Показано, что пространственная диффузия трассеров является аномальной с алгебраическими «хвостами» функций распределения, что объясняется наличием динамических ловушек в системе.

Все реальные системы подвержены шуму в том или ином виде. В реальных системах не наблюдаются такие процессы, которые возможны только в отсутствие случайных возмущений (например, сепаратрисная траектория или монохроматический предельный цикл). Внешний шум вызывает случайные ч отклонения от того динамического процесса, который описывается соответствующими детерминированными уравнениями. В четвёртой главе изучается практически важный вопрос о влиянии внешнего шума, его амплитуды и спектра на структуру разбиения фазового пространства, на транспорт частиц в целом и на такие обнаруженные в детерминированной системе свойства хаотической адвекции как «прилипание» траекторий, фракталы и распределения времён захвата частиц в вихревой зоне. Показано, что несмотря на достаточно сильный внешний шум в фазовом пространстве системы могут сохраняться зоны устойчивости. В конфигурационном пространстве они проявляются в виде когерентных кластеров — устойчивых и локализованных (в течение достаточно большого времени) конгломератов частиц в виде струй и пятен.

Заключение

.

В рамках двумерной модели открытого несжимаемого периодического потока со стационарным точечным вихрем описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей.

Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое многообразие А&bdquoкоторого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей. Показано, что эволюция материальной линии на пересечении прямой начальных условий в области набегающего потока с устойчивым многообразием и скей-линг на этом одномерном подпространстве полностью определяют хаотические свойства адвекции пассивных примесей. Показано, что сингулярности в зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания от их начальных координат в набегающем потоке обусловлены частицами, попадающими в эту зону вдоль траекторий, принадлежащих устойчивому многообразию Аз, и вымываемых из нее вдоль неустойчивого многообразия Au. Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества, А с материальной линией частиц из набегающего потока. Обнаружена самоподобная структура этой функции, состоящая из последовательностей эпистроф, определяющих транспорт пассивных примесей.

Установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик хаотической адвекции.

Разработана модель со случайной составляющей поля скоростей и написан пакет программ для численного исследования хаотической адвекции в случае шума. Исследованы метаморфозы фазового пространства моделей с детерминированным полем скоростей и со случайной составляющей. Для различных значений, а и начальных условий внутри области перемешивания, построены функции распределения. Обнаруженные фракталы, динамические ловушки и аномальная статистика не исчезают при включении внешнего шума с малой и умеренной амплитудой, т. е. являются достаточно грубыми свойствами системы. Эти свойства не обусловлены спецификой модели и должны проявляться в более реалистичных геофизических потоках.

Численное построение отображения (50) для системы с сильным внешним стохастическим возмущением позволило выявить группы траекторий с близкими начальными условиями, которые сохраняют устойчивость в течение некоторого промежутка времени. Природа таких групп траекторий связана с резонансным характером взаимодействия стохастического возмущения с невозмущенными колебаниями нелинейной динамической системы. Подобные кооперативные эффекты наблюдаются в случайных средах различной физической природы [75].

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99 — 217 269, № 02−02−17 796);

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН «Математические методы в нелинейной динамике» (проект JV® 4.17 «Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах»);

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-Ш-Г-07−18 «Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей», № 04-III-A-07−031 «Фрактальные и статистические свойства хаотического рассеяния пассивных примесей топографическими вихрями», № 05-Ш-Г-07−012 «Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями»);

• Федеральная целевая программа «Исследование природы Мирового океана». Проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере» .

Список статей, опубликованных по теме диссертации.

1. Будянский М. В., Пранц С. В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 12. С. 51−56.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // ДАН. 2002. Т. 386, N 5. С. 686−689.

3. Budyansky М., Prants S. Lagrangian turbulence in a simple deterministic flow: a mechanism and properties // «Progress in Nonlinear Science», Vol. 2.

Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A. G. Litvak. — Nizhny Novgorod, 2002. P. 215−220.

4. Будянский M. В. Перемешивание и перенос пассивной примеси в элементарном детерминированном потоке // Океанологические исследования: Сборник статей по материалам конференции молодых учёных Тихоокеанского океанологического института им. В. И. Ильичёва ДВО РАН (2730 ноября 2001 г.) / Под ред. Р. Г. Кулинича. — Вл-к: Дальнаука, 2002. С. 161−165.

5. Будянский М. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция пассивных примесей в открытом гидродинамическом потоке // Нелинейные динамические процессы: (К 80-летию со дня рождения Уно Копвиллема) / Под ред. С. В. Пранца. — Вл-к: Дальнаука, 2004. С. 63−75.

6. Budyansky М. V., Uleysky М. Yu., Prants S. V. Hamiltonian fractals and chaotic scattering of passive particles by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. P. 369−378.

7. Будянский M. В., Улейский M. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, Вып. 5(11). С. 1167−1179.

8. Budyansky М. V., Prants S. V. Visualizing Coherent and Fractal Structures in Numerical Experiments on Chaotic Advection in Fluids // In: Proc. 20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, ed. by A. Luo. — Long Beach, California, USA, 2005. 5p.

9. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Chaotic scattering in a simple Hamiltonian system modeling transport in a topographic eddy // In: Proc. Fifth EU.

ROMECH Nonlinear Dynamics Conference, ed. by Dick H. van Campen. — Eindhoven, Netherlands, 2005. 7p.

10. Budyansky M. V., Prants S. V. Nonlinear fractal dynamics and clustering of passive particles by a hydrodynamic vortex and a current // In: Proc. Physics and Control 2005, ed. by A. Fradkov. — St. Petersburg, Russia, 2005. 5p.