Математическое моделирование георадиолокатора для обнаружения трубопроводов в грунтах

Актуальность проблемы.

Одним из направлений современной радиолокации является зондирование сред с потерями. Именно большое частотно-зависимое затухание радиоволн в грунтах, породах и других средах определяет существенные отличия георадиолокатора подповерхностного зондирования от классических радиолокационных устройств. Широкая востребованность метода георадиолокации обусловила бурное развитие этого направления в последние несколько десятилетий, а область их использования постоянно расширяется. Здесь и возможность решения радиофизических задач, связанных с дисперсионными свойствами сред и материалов и многочисленные прикладные задачи: это геофизическая разведка, определение уровня грунтовых вод, поиск подземных сооружений и коммуникаций, разминирование.

Основной проблемой в проектировании таких локаторов является то, что затухание в грунтах велико и быстро нарастает при увеличении частоты. Таким образом, чем больше требуемая глубина зондирования, тем ниже должна быть рабочая частота георадиолокатора, что соответствует большей длине волны и приводит к увеличению размеров приемной и передающей антенны георадиолокатора. Соответственно в дециметровом диапазоне частот характерные глубины зондирования составляют несколько десятков сантиметров. При проектировании георадиолокатора важно удовлетворить условиям задачи обнаружения и локализации объектов зондирования и сохранить при этом размеры антенн, приемлемыми для практического применения. При расчетах электродинамических параметров антенн локатора подповерхностного зондирования и их геометрических размеров применяются численные методы. В МФТИ на кафедре Физико-математических проблем волновых процессов разработан метод векторного потенциала с двойным разбиением, который заключается в учащении сетки разбиения поверхности интегрирования, для увеличения точности вычисления вторых производных при переходе к численным расчетам. Данная работа посвящена развитию указанного метода и применению его к задаче численного проектирования георадиолокатора.

Целью диссертационной работы является:

1. Развитие метода векторного потенциала с двойным разбиением для расчета излучающей и приемной щелевых антенн с нерезонансным экранирующим коробом локатора подповерхностного зондирования, расположенных на границе раздела сред. Нижнее полупространство представляет собой среду со средним затуханием.

2. Расчет электродинамических параметров щелевой антенны георадиолокатора подповерхностного зондирования в широком диапазоне длин волн и параметров среды, на которой размещены антенны.

3. Сравнение двух методов расчета электродинамических параметров антенн.

4. Расчет прямой связи между передающей и приемной антеннами георадиолокатора, расположенных на поверхности среды с поглощением.

5. Математическое моделирование характеристик обнаружения металлической трубы, расположенной в грунте, с помощью георадиолокатора.

Научная новизна.

1. Произведена модификация схемы двойного разбиения при решении электродинамических задач в средах с поглощением методом векторного потенциала. Приведены расчеты электродинамических параметров щелевой антенны георадиолокатора подповерхностного зондирования.

2. Проведено численное моделирование процесса обнаружения металлического объекта, расположенного в грунте.

3. Оптимизированы конструктивные параметры антенн георадиолокатора и режимы их согласования с источником и приемником.

Практическая ценность.

1. Разработана программа для расчета электродинамических параметров излучающих и приемных антенн, работающих на границе сред с поглощением на основе метода векторных потенциалов со схемой двойного разбиения.

2. Проведена доработка программы расчета электродинамических параметров излучающих устройств и введен учет неметаллических поверхностей. Дальнейшая работа над усовершенствованием этой программы может привести к созданию конкурентоспособного программного пакета.

3. Разработана конструкция антенн для обнаружения подземных трубопроводных коммуникаций (газовых и водопроводных труб различного диаметра), зондирования провалов в грунте в подповерхностной части. Такой георадиолокатор может применяться в нефтегазовой промышленности для обнаружения трубопроводных линий и утечек из них, в жилищно-коммунальном хозяйстве, сельском хозяйстве, а так же при проходке тоннелей. '.

На защиту выносится:

1. Применение метода векторного потенциала со схемой двойного разбиения для расчета электродинамических параметров щелевой антенны на границе среды с поглощением.

2. Расчет конструктивных параметров антенн реального георадиолокатора для решения задач подповерхностного зондирования.

3. Численное моделирование процесса обнаружения металлического объекта, расположенного в грунте, с помощью георадиолокатора.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на научной конференции МФТИ в 2003 г. [4].

Публикации.

Основное содержание диссертации представлено в трех статьях [5], [6], [7].

Структура и объем диссертации

.

Диссертация состоит из 6 глав, имеет объем 95 страниц, включает в себя 30 рисунков и иллюстраций. Список цитируемой литературы насчитывает 61 наименование.

Содержание работы.

Во введении обоснована актуальность работы, проведен анализ проблемы, сформулированы основные задачи и цель работы. Кратко изложено ее содержание и показана практическая ценность.

Первая глава посвящена обзору литературы по теме диссертации и рассмотрению метода векторных потенциалов со схемой двойного разбиения, предполагающего уменьшение мелкости разбиения основной сетки. Рассмотрены проблемы численного решения интегро-дифференциальных уравнений составляющих основу данного метода. Приведены преимущества и недостатки различных способов разбиения поверхности интегрирования и определения неизвестных токов на металлических поверхностях излучающих и принимающих устройств. Описан математический аппарат, используемый для составления матрицы системы линейных алгебраических уравнений для расчета электрических токов на поверхностях интегрирования. Выведены окончательные расчетные формулы для использования в программе на ЭВМ. В заключении первой главы приведены результаты численных экспериментов по расчету зависимости входного сопротивления резонаторно-щелевой антенны георадиолокатора прямоугольной формы от длины волны для различных сред с и без поглощения, представлены графики этих кривых.

Во второй главе произведен расчет параметров песчано-глинистых грунтов, как многокомпонентных сред, по математической модели, основанной на формуле Дебая для воды, формуле смеси Беренцвейга и экспериментальных данных. Расчет проведен для действительной части диэлектрической проницаемости и проводимости грунтов в зависимости от длины волны, объемной влажности и температуры. При расчете использовались данные о температурной зависимости параметров в формуле Дебая. Представлены зависимости проводимости от длины волны для песчаного грунта, глинистого грунта, «стандартного грунта» (75% песчаной фракции и 25% глинистой фракции) и слоя «вмывания». Расчеты аналитически экстраполированы в широком диапазоне длин волн (от 5 мм до 5км).

В третьей главе выполнен расчет геометрических размеров антенны для зондирования объектов на глубине до двух метров в грунте средней влажности (15% объемной влажности или 7,5% весовой влажности), содержащем не более 25% глинистых частиц и 75% песка. Оценка размеров антенн георадиолокатора производилась путем подбора резонансной длины волны антенн на основе полученных численным путем решений для сред с поглощением.

В четвертой главе предлагается способ аппроксимации объектов обнаружения (газовых и водопроводных труб) плоской прямоугольной площадкой и обосновывается правомерность такого приближения.

В пятой главе описывается численный эксперимент по обнаружению объекта в виде плоской прямоугольной площадки на глубине от 0 до 7 метров. Представлен график изменения суперпозиции отраженного от объекта сигнала и сигнала прямого прохождения на входе приемной антенны в зависимости от глубины расположения зондируемого объекта в грунте средней влажности.

В шестой главе представлены расчетные формулы для подстановки в программу на ЭВМ, учитывающие магнитные токи на неметаллических поверхностях антенны, приведены сравнения резонансных кривых для резонаторно-щелевой антенны георадиолокатора при учете магнитных токов в щели и в случае, когда интегрирование ведется только по металлической поверхности.

В заключении приведены основные результаты работы:

Благодарности.

Пользуясь случаем, хочется выразить свою благодарность научному руководителю д.т.н., профессору Ю. И. Лещанскому за постановку задач, плодотворные научные консультации при подготовке диссертационной работы и помощь, как в научной работе, так и в повседневной жизнизаведующему кафедрой физико-математических проблем волновых процессов МФТИ, д.ф.-м.н., профессору Д. С. Лукину за создание на кафедре благоприятных условий для успешной научной работы в различных областях распространения радиоволн и электродинамики. Отдельно хотелось бы поблагодарить зам. зав. кафедрой физико-математических проблем волновых процессов МФТИ, к.т.н., доцента Н. П. Чубинского за помощь на этапе завершения работы над диссертацией и рецензирование работы.

1 ПРИМЕНЕНИЕ И РАЗВИТИЕ МЕТОДА ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ХАРАКТЕРНЫМИ РАЗМЕРАМИ СРАВНИМЫМИ С ДЛИНОЙ ВОЛНЫ.

1.1. Постановка задачи.

Исследованию электродинамических параметров щелевых антенн, расположенных, как в среде без потерь, так и на границе раздела двух сред, посвящено много работ [8−19]. Проведен расчет распределения тангенциальной компоненты магнитного поля на экране со щелевой антенной в среде без потерь [4]. В указанных работах рассмотрены преимущества и недостатки использования щелевых антенн в георадиолокации. Основным элементом георадиолокатора [20−24] для обнаружения объектов, заглубленных в грунт, является щелевая антенна с резонатором [25,26]. Резонатор имеет форму параллелепипеда, основанием которого является квадрат, а высота много меньше длинны стороны основания (см. рис 1.1). Расчету электродинамических параметров щелевых антенн с резонатором посвящены работы [27−30], где представлены экспериментальные исследования этих антенн для подповерхностной радиолокации. Экспериментальные данные в указанных работах необходимы для проверки достоверности численных экспериментов, проводимых при разработке компьютерной программы вычисления электродинамических параметров излучающих устройств.

Рассматривается проблема проектирования георадиолокатора для обнаружения трубопроводов углубленных в грунт. Такой локатор пригоден также для профилактики появления провалов на поверхности грунта в связи с явлением «всплывания пустот» в реальном грунте, в местах прокладки метрополитена и других подземных и глубоких наземных трасс. Очень часто над тюбингами метрополитена, образующими наружную оболочку тоннелей метро, могут оставаться естественные пустоты в грунте. Из-за вибраций грунта, в связи с прохождением общественного транспорта по его поверхности, и особенно при повышении влажности грунта после обильных дождей, эти пустоты постепенно хаотически засыпаются вышележащими слоями грунта. Таким образом, пустоты постепенно «всплывают» в грунте к его поверхности. При подходе к поверхности грунта пустоты могут способствовать образованию неожиданных провалов в верхней части грунта, что может привести к масштабным авариям. Поскольку осыпание пустоты носит случайный характер, никакие аналитические расчеты в данном случае не работают либо их погрешность велика. Для устранения вероятности неожиданного появления провалов и соответственно аварий, связанных с этим явлением, необходимы предварительные, систематические профилактические просмотры состояния подповерхностной части грунта с помощью описываемого в данной работе подповерхностного радиолокатора. Таким образом, регулярные проверки состояния подповерхностной части грунта могут позволить избежать появления внезапных провалов на его поверхности.

В средней полосе России глубина промерзания грунта в зимнее время достигает приблизительно двух метров. Обычно водопроводные и канализационные трубы опускают в траншеи именно такой глубины, чтобы не допускать замерзания жидкости в трубах. Газовые трубы также кладут на такую же глубину. С течением времени планы размещения труб частично утрачиваются. Задача восстановления трубопроводного хозяйства требует восстановления детального плана размещения всех труб, расположенных под землей. Поэтому, для решения задачи восстановления плана размещения трубопроводов, необходим локатор подповерхностного зондирования, сокращающий объем дорогостоящих земляных работ.

Существует условие, которое необходимо учитывать при разработке компьютерной программы математического моделирования процесса обнаружения объекта, расположенного в грунте. Это условие того, что на песчано-глинистом грунте, как следует из многочисленных экспериментов, начальная развязка между передающей и приемной антеннами разнесенных в плоскости вектора Н, расположенных на поверхности грунта средней влажности (около 15% объемной влажности, или 7−8% весовой влажности) составляет величину порядка 40 дБ. Для трубопровода, расположенного на глубине двух метров это означает, что допустимое затухание радиоволн локатора приблизительно в однородном грунте должно быть не более 10 дБ/м, а с учетом маскирующего действия коррелированных помех от естественных неоднородностей реального грунта не более 5 дБ/м [3].

В последние несколько лет, в связи с развитием в мире вычислительной техники, активно развиваются различные методы расчета электромагнитного поля вблизи излучающих поверхностей. Это позволяет решать многие задачи электродинамики, такие как согласование излучающих устройств, расчет различного рода СВЧ датчиков, антенн радарных устройств. Значительное количество численных методов решения задач электродинамики было развито в МФТИ на кафедре физико-математических проблем волновых процессов и описано, например, в работах [31−36]. Одним из наиболее эффективных методов численного решения электродинамических задач является метод векторного потенциала [37, 38]. Нами использовался метод векторного потенциала с двойным разбиением, преимущества которого описаны в работе [39]. Следует отметить большой вклад, сделанный А. И. Дробышевым, в развитие численных методов, основанных на методе векторного потенциала.

Рассмотрим метод векторного потенциала. Пусть в неограниченном пространстве заданы два полупространства У| и V2 разделенных поверхностью Б. В областях ^ и задано электромагнитное поле Н и Е с частотой со. Поле в области У^ обозначим Ё, и Н., а в области У, — Ё0 и Н0, тогда (М) = ?ш^А® (М) — ?7^(1 ^УА^СМ) — «й (М), 1.

Н®н (М) -^^асЦШуА^М) +го11А1е (М), ч — 1 г-е — е.

ГМЗ.

-¿-Б,.

1.1).

471 ь МБ.

-<18, где (в) и — поверхностные плотности электрического и магнитного тока, соответственно, п^ - внешняя нормаль к поверхности Э, направленная в сторону области Н^И (М) и.

Е^(М) — значения полей, определяемые влиянием электрических и магнитных токов и ^^ На поверхности интегрирования Б в произвольную точку М пространства Г^ - модуль вектора, проведенного из точки М в точку интегрирования. Аналогичные выражения должны иметь место в области.

Переходя к численным расчетам и разбивая поверхность Б на элементарные площадки ДБу, система уравнений (1.1) принимает вид: й&trade- (?к) = ?^ А" (6к) — «п^Х) — го., А®"кХ те,. Л (1.2) к 4л V г ку е1йл/?Угку.

1 К 4я V г ку г -1Г-Г1Г гку к^1,гкк V 4тт ' где точка поверхности, принадлежащая разбиению под номером к, г^ - расстояние между точками поверхности, принадлежащим соответственно разбиениям под номерами к и V.

Описываемый метод неоднократно использовался в работах [39], [40] для расчета прямоугольной щелевой антенны (см. рис. 1.1), применяемой для подповерхностного зондирования грунтов. В указанных выше работах система уравнений состояла из выражений для электрического поля и интегрирование велось только по металлической поверхности. Тем самым исключая из рассмотрения влияние магнитных токов в щели антенны. Поверхность, по которой проводится интегрирование, как бы облегает металлическую поверхность корпуса антенны, обходя ее как снаружи, так и внутри, переходя с наружной поверхности на внутреннюю через отверстие, образованное щелью. Условие = ZkeS позволило сильно упростить систему уравнений, и исключить из рассмотрения выражение для ротора магнитного векторного потенциала в уравнении для расчета электрического поля в произвольной точке поверхности интегрирования. После перехода к численному интегрированию и преобразования вторых производных, получается система уравнений для расчета на ЭВМ. В данной работе использовался метод разбиения поверхности интегрирования с «локализацией» на одном элементе, описанный в [39]. Этот метод называется «метод векторного потенциала со схемой двойного разбиения». Важной особенностью применяемого метода является то, что разностная схема производных локализована на одном элементе, что пространственно развязывает элементы разбиения относительно друг друга, делая их независимыми от взаимного расположения. Это сильно упрощает процедуру заполнения матрицы задачи, алгоритм и его реализацию на ЭВМ, а также организацию самой задачизадание щелей, источников, границ раздела, определение формы излучающего устройства и т. д. Применяя преобразования координат, описанные в данном методе, можно довольно легко обобщить схему разбиения на случай поверхности произвольной формы. Причиной выбора метода векторного потенциала со схемой двойного разбиения является тот факт, что при применении простейшей трехточечной схемы разбиения поверхности интегрирования для преобразования производных возникает неопределенность при г=0 в подинтегральных выражениях для и А^(^) в формулах (1.1) и (1.2). При аналитическом взятии производных и смене порядка интегрирования и дифференцирования получаются члены порядка —, что при г уменьшении мелкости разбиения ведет к быстрой расходимости решения. При решении задач со сложной поверхностью получаются системы уравнений высокого порядка, что это приводит к матрицам большого размера. В итоге получается, что возникают близкие по модулю числа разных знаков, а это в свою очередь быстро (порядка —-) г приводит к достижению предела точности машинных вычислений. В итоге значения г становятся близкими к нулю, что приводит к расходимости решения, поскольку соответствующие значения векторных потенциалов стремятся к бесконечности так же со скоростью пропорциональной 1 величине —. Недостатком использования простейшей схемы г разбиения также является и то, что форма элементов разбиения должна быть прямоугольной, что сильно ограничивает многообразие поверхностей, на которых эта схема разбиения применима. Схема двойного разбиения лишена всех этих недостатков. Суть схемы двойного разбиения заключается в том, что для интегрирования и дифференцирования используются два вложенных разбиения. Данный способ позволяет проводить интегрирование и дифференцирование локально относительно системы координат, связанной с площадкой большого разбиения, проводя суммирование по элементам подразбиения этой площадки путем перехода в систему координат связанную с основной площадкой. Это приводит к независимости расположения площадок большого разбиения относительно друг друга.

Опишем более подробно схему пересчета расстояний при переходе из различных систем координат и алгоритм определения векторных потенциалов, учитывающий случай, когда токи на поверхности металла заданы в системе координат, связанной с площадкой разбиения. В указанной выше работе проведено исследование, которое показало, что мелкость подразбиения большого разбиения достаточно брать не больше 7×7 элементов. При таком выборе не происходит большого роста порядка матрицы системы уравнений и точность вычислений находится в пределах, соответствующих типичным погрешностям экспериментальных данных.

Рассмотрим более детально метод векторного потенциала со схемой двойного разбиения. При этом мелкость подразбиения для определенности выбираем равной 7×7. Положим, что все токи задаются в системе координат, связанной с площадкой большого разбиения. Рассматриваются только правые прямоугольные системы координат. Пусть центр системы координат, связанной с площадкой основного разбиения, расположен в левом верхнем квадрате подразбиения (рис 1.2, 1.3). При этом оси Ох и Оу лежат в плоскости основного разбиения, а ось Ог перпендикулярна плоскости площадки основного разбиения. Рассмотрим поверхность Я, которая разбита на площадки, а каждая площадка разбита на элементы квадратной формы с мелкостью 7×7 (рис 1.4). Определим систему координат г т МО) -,(0) т{0 Т7 «и = {1ц), которая связанна с и.-ои площадкой.

I / /.

0 = ^0]$>к$>Ь фиксированная система коордииах, в которой задана поверхность интегрирования Рассмотрим произвольный вектор д. Пусть д — это вектор д в -(О) системе координат связанной с площадкой, а д — вектор д в фиксированной системе координат. Запишем вектор д покоординатно в рассматриваемых системах координат:

-(С/Р , — СО — (СЛ) — (СЛ)чт = 1 у 1 1) ~ координаты вектора # в системе координат С/ .

-(О), «(0). (О) — (0), т.

7 >4) ~~ координаты вектора д в.

С У 2 системе координат О.

Выразим д через базисы систем координат (/. и О: г.

0) ?0)^(0) + ,(0).у (0) + г (0).2(0).

Выразим координаты базисных векторов системы координат иI в системе координат О:

1(0)1(0) ЛО) АО)(О) +г (0)-(0).

1 1и 1и 1и.

I г I.

1(0)А0) (О) АО) (О) АО) АО).

Зи. ~ О -.(О) 30 х,(0) О .(О).

1 Зии ]и и (0)ЛО) (О) -¡-.(О) (О) АО) АО) и — 10 ХА0) ¥-А0) к0 2 АО).

I п-ц.

I / 7 где.

ЛО) АО) п л ' ¦ х-я координата вектора 1ц ъ системе координат и,.

1 7 и 7 у (^) -(О) П.

У" я координата вектора ^ в системе координат С/. / С/. I.

7(0) АО) п ' - г-я координата вектора в системе координат С. / X/. г гг (0) <0) п.

X ' - х-я координата вектора в системе координат и,.

7 /.

•ЧЛ I ч — у-я координата вектора в системе координат О. и ъ-я координата вектора в системе координат О, I.

V (P) t (0) п п~ х" я координата вектора к в системе координат С,.

АО) и ки 1.

АО) АО) п.

I 'у-я координата вектора я в системе координат и,.

АО) и ки 1 г (0) АО) п ' - ъ-я координата вектора А: в системе координат С/.

АО) и.

Ки 1.

В силу тождественного равенства вектора д, заданного в.

О) системах координат С/, и О, получаем д =и, -д, где: и, = л X.

О) х (0) г т (0) и.

О) т (0) и.

Г (О) I и.

V / г.

7(0) т (^) 7 (О) и X.

7(0) и.

О) ЛО).

О) ?(0) и к{0) и.

7{0) Ю и У.

I г г.

Рассмотрим переход из системы координат и р в ?/. (см. рис. 1.3). Пусть вектор ?7 задан в системе координат Vр и ¡-[Л.

— координаты вектора д в системе координат так, что д -(ир).

II., ад — координаты вектора д в системе координат II р ю.

Тогда д = Т. • д ', где.

V «Г1- ^.

1.3).

Рассмотрим отдельную площадку большого разбиения и его подразбиение. Положим, что площадка большого разбиения квадратная со стороной Н, подразбиение площадки ц тоже квадратное, мелкость подразбиения 1:7 и равна к = —.

Преобразуя производные для расчета электродинамической задачи, будем считать, что узлы сетки разбиения находятся в центрах квадратов подразбиения площадки основного разбиения. Пусть Гц обозначение (рис 1.4) радиус-вектора.

А>ого подразбиения в системе координат ?/., к = и. и. и. и. и. и. х у)>^х ку «2"-» Л> где индексом Ui обозначается площадка общего разбиения, в котором рассматривается к-ое подразбиение. Запишем координаты вектора гу ии.

Г и.) у I 1к уЩ 1к V.

7Ц) 'и. и (Ц.у Ои•).

И-к щ у г и1. я ПРУгуТ** >+(ку г + ') (С/.) (17.) иI ~ (кх, ку, к2), где и• - /:-ое подразбиение [/.-ой площадки в системе к 1 координат и., связанной с СЛ-ой площадкой (см. рис. 1.5).

Рассмотрим правило расчета расстояния между точками центров подразбиений С/, и II п, каждая из которых задана в к Р1 своей системе координат, ?/. — это к-я точка в системе к координат и., а [/ - это 1-я точка в системе координат II I Р] Р см. рис. 1.6). Каждое подразбиение имеет свой радиус вектор в своей системе координат. Выведем выражение для вектора г и., и 'к р1.

— расстояние от точки II• до Vп .

1к Р1.

После несложных преобразований (см. рис 1.7) получаем: и? У * и., и 1к Р1.

О) (О) {ир) Ю г — г) + (С! '7 Ри -г 1) Ки и }уР и I и } I.

Ои) У т р,.

— р где Гц г = {ир).

Н-кх р (и) к-к у р г).

Ь-к, Р '" х кх—1,2,., 7, ку—1,2,., 7, кг—1,2,., 7. и = Ц (Р) 7(0) ¡-(О) (О).

Р ^ и ,]и ' и и ир и р ир радиус вектор точки IIп в.

Р0 системе координат О, где IIп — центр системы координат Vп.

Р0 Р см. рис. 1.8).

Перепишем выражение (1.2) для векторных потенциалов в случае, когда электрические и магнитные токи задаются в системе координат, связанной с площадкой основного разбиения. Выразим векторный электрический потенциал для нашего случая:

А®(и)=1Гу (и. " ,.

1 р иц 12, 1 и, и.

1 V р, ы где I.

6).

8 -и. -Г) и и и, и /' /' р к к I к и, и.

Р1 'к.

4-я-Г.

АЯ, и&bdquo-, и. РГ 'к выражение для векторного магнитного потенциала будет аналогичным.

Зададим электрический ток, текущий по у-ому подразбиению и. площадки) в системе координат и .

1 12- 1 1 v.

Пусть задан векторный потенциал в произвольной / - ой точке подразбиения и — ой площадки в системе координат и ,.

Р Р выражение для этого потенциала в системе координат и Р записывается следующим образом: е (ир)^-е (ир>тг р' 1 // и, и.

I и: Р, IV.

1у I.

Тогда, используя выражение (1.3) для перехода из системы координат и. в и, получаем: 1 Р.

Цр) у ^ (и).

1 Р{ и 1, р II 'V и и Ь I.

В итоге мы получили соотношение, задающее ток 1 (и),.

12, i v этот ток является неизвестной величиной и определяет систему уравнений. Таким образом, сложность поверхности интегрирования задает количество площадок общего разбиения и, соответственно, порядок системы уравнений.

Заметим, что ^^(и.) лежит в плоскости площадки v основного разбиения, а, следовательно, г-я компонента вектора (и) равна нулю в системе координат и., это.

12- 1 1 v обстоятельство сильно упрощает переход к численным выражениям для значения ротора в системе уравнений (1.2).

Заметим, что у вектора) все три координаты в.

Р1 системе координат и в общем случае не равны нулю. Р.

Матрица Т. — это матрица, элементы которой получаются из 1>Р геометрии задачи и определяются координатами базисных векторов систем координат, связанных с площадками основного разбиения в фиксированной системе координат.

Определим элементы матрицы Т. следующим образом:

1,Р.

Т = 1, Р V рр) рр) рр).

11 12 13 рр) рр) рр).

21 22 23 рР) рР) рР).

31 32 '33 ШП ~ 1тп.

1тп.

Обозначим координаты вектора ^^(и.) в системе координат и. следующим образом: '(ие (Ц) е (и .).

3 У у к е (и) к у е (и.).

Из геометрии задачи следует, что 1 = 0, т.к. к электрический ток течет по поверхности металла. Определим координатную форму записи вектора А?^(и):

1 Р1 I в (1/.) А 7 у.

Тогда получаем окончательно выражения для значений компонент электрического потенциала в системе координат площадки основного разбиения, на которой этот потенциал определен:

Х1 «хк 12 У к ир’и1у.

У, «21 *к 22 Ук и, и.

2/ и 31 32^и и.

IV «/ ^.

Применяя приведенные выкладки, при переходе к численным выражениям для производных, используя, подразбиения площадки основного разбиения мелкости 7, получим оптимизированную систему уравнений для математического моделирования прямоугольной антенны рассчитываемого георадиолокатора. Была выбрана квадратная форма антенны георадиолокатора (см. рис. 1.1.). Рассмотрим задачу определения координат площадок основного разбиения в фиксированной системе координат, а пересчеты в системы координат, связанные с площадками, учтем при переходе к формулам численного дифференцирования. Так же учтем тот факт, что из-за относительной простоты формы антенны георадиолокатора, токи на поверхности антенны можно рассматривать в трех системах координат, связанных с поверхностями антенны, что сильно упрощает математический аппарат при переходе к численным расчетам и позволяет получить окончательные формулы для прямого использования в программе для ЭВМ. Таким образом, система уравнений будет разбиваться на блоки для плоскости хОу, хОъ, уОг (см. рис. 1.9 и 1.10), а матрица системы уравнений будет блочная.

После несложных преобразований выражения gradtdivA1 Йк) из системы уравнений (1.2) получим выражение для электрического поля в точке :

1(08х дх2 дхду дхдг дудх дудг дгдх дгду Зг2 где? к=(кх, ку, к2) — координаты узлов сетки разбиения поверхности антенны георадиолокатора. Тогда распишем производные с учетом бесконечной гладкости электромагнитного поля следующим образом: x2 ti д2А-ю ti.

— 2−4(k"kr, k,) + 4(.k"k"k,-l) dz1 ti.

4A3″ 'Wy&x+Uy + иг)-ЛЦкх -, ку + U2).

Л * +1,ку -1, к2) + Л*-1,ку -1)), ° ¿-г (4(*" +1.,¦*z +') ¦- 4(кх — :i, fcj, *г +1).

— Аеу (кх +1, ку, кz -1) + Аеу (кх -1, ку, kz -1)), иу-Uy+UZ).

— Аех (кх +l, ky-l, kz) + Аех (кх -, ку -, kz)), d2Aez (C.), dydz + Uz -1.^2+1).

— Aey (kx, ky+l, kz-i)+Aey (kx, ky-, kz-i)),.

— Аех{кх+ку, кг-) + Аех{кх-, ку, кг -1)),.

1=Л.(Аеу (кхку +1*2 + 1)-А*(кх, ку+ 1).

— Аеу (кх, ку +1, к2 -1) + Аеу (кх, куЪк2-)), где Н — шаг сетки подразбиения. После подстановки этих выражений и группировки по плоскостям получаем систему уравнений для использования в расчетной программе на ЭВМ: • ВД • ЕвхИ (т) = ^Ех]х (1,т)] х (1) + Ех]у (1,т)]у (1) + Ех]г (1,т)]2(1), • ЩХ)• Ев" (т) = ЪЕу]х (1,т)]х (1) + Еу]у (1,т)] (I) + ЕуМт)]2(1),.

У I У (1.4).

I • ОД • Е™(т) = ^Е2]х (1,т)]х (1) + Ег]у (1,т)]у (1) + Еф (1,т)]2(1), I е 5,/и €.

Ех]х (1,т) = Я1т (Ю, 0) + К (Х) • Я! ттО) + я]т (-1,0,0-,.

ЕШт) = %(Я1т (1Х0) — яы (- 1Д, 0- - д1т (, —, 0) + Я]т (-1, ¦-1,0)).

Еф (1,т) = УА (я1т (Ш) ~ Я1т («1Д1- «ЯЫ (1.0, — I) + «1,0, -1)),.

Еу]х (1,т) = У4(д1т (, 0) — я[т (~ 1Д, 0- - я1т (1 ~ Ю) + я[т (ЮД Еу]у (1,т) = Я1т (0,0) + К (Х) • Я1т (0,0,0) + Я[т (0, -1.0,1, У^1т (Ш) — Я1т (0, -,) — д1т (0,-) + я1т (0,-1,-1)),.

Ещ (1,т) = У4(я1т (Ш)~ Я1т (~ 1,0,1- «Я1т (Ю, — и + я1т (-1,0, — 1Д &0у (1,т) = %(я1т (т) — Я1т (0, -,) — д1т (0,-) + ?///0, -1, -1Д щгМ = я1т (о, од-+цх) • я1тто)+с/шго, о, — Ц

Я1т (Л*ЛГЛ*) = ~7″, л л л ^ 4ж г1т (Ах>АуА1) гт (лх>луА) = (@т, х ~ % + Ах))2 + + ~ + Ау))2 + где И — шаг сетки интегрирования, Л — длина волны электромагнитного поля Н, Е в полупространстве т и I точки сетки интегрирования, %тх, «координаты точек и ьт в декартовой системе координат.

Значения Е'-(т), Е—(т), Б?(т) равны нулю везде, кроме точек питания антенны. В точках питания антенны значения.

Еу (т) выбраны равными 1 В/м.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Предложена модернизация метода векторного потенциала с двойным разбиением для расчета излучающих и принимающих устройств радиолокатора в средах с поглощением. Проведен ряд численных расчетов электродинамических параметров антенны георадиолокатора подповерхностного зондирования в зависимости от длины волны и параметров среды, на которую эта антенна помещена. Проведен ряд численных экспериментов, проверяющих программу расчета электродинамических параметров излучающих устройств с учетом диэлектрических поверхностей и пространств, заполненных диэлектриком.

2. Приведено сравнение двух вариантов расчета методом векторного потенциала со схемой двойного разбиения применительно к резонаторно-щелевой антенне в среде без потерь.

3. Проведен расчет сигнала прямого прохождения между передающей и приемной антеннами георадиолокатора на границе раздела сред и вычислена развязка между этими антеннами, разнесенными в плоскости вектора Н в грунте средней влажности.

4. Выполнено математическое моделирование обнаружения с помощью георадиолокатора металлической трубы, расположенной в грунте.

ГРАФИКИ И ИЛЛЮСТРАЦИИ.

Рис 1.1. Эскиз резоиаторио-щелевой антенны георадиолокатора, расположенной раскрывом вверх п: пг.

5 5, #"4—?— ?311 4—- «Г» г — Ш-4 1 I ! х.

Рис 1.2. Сетка подразбиения основного разбиения поверхности интегрирования. Мелкость подразбиения — 7×7.

Рис 1.3. Расположение системы координат, связанной с площадкой основного разбиения поверхности интегрирования.

Рис 1.4. Расположение площадок основного разбиения поверхности интегрирования Б и системы координат, связанные с ними.

Рис 1.5. Обозначения базисных системы координат, связанной разбиения. векторов прямоугольной с площадкой основного.

Рис 1.6. Расположение подразбиений.

Рис 1.7. Обозначение векторов в различных системах координат.

О r (0) r (0) Jo о.

Рис 1.8. Площадка основного подразбиения поверхности интегрирования в фиксированной системе координат. о >?>л.

Рис 1.9. Сетка основного разбиения поверхности антенны георадиолокатора. Точками обозначены центры квадратных площадок основного разбиения поверхности интегрирования.

Рис. 1.10. Основное разбиение поверхности интегрирования с указанием правила привязки систем координат, связанных с площадками основного разбиения.

Рис. 1.11. Зависимость входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде без потерь с? = от длины волны внешнего источника.

Я, Ом.

2.8 2.9 3 3.1 32 33 0.34.

Рис. 1.12. Зависимость от длины волны входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде без потерь с диэлектрической проницаемостью 8=4.

Я, Ом.

Рис. 1.13. Зависимость от длины волны входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде без потерь с диэлектрической проницаемостью ?=10.

Рис. 2.1.Графики рассчитанных зависимостей действительной компоненты диэлектрической проницаемости песчаного грунта от длины волны для заданных температур и объемных влажностей.

Рис. 2.2. Графики рассчитанных зависимостей проводимости песчаного грунта от длины волны для заданных температур и объемных влажностей.

Рис. 2.3. Кривые рассчитанных зависимостей действительной компоненты диэлектрической проницаемости глинистого грунта от длины волны для заданных температур и объемных влажностей.

Рис. 2.4 Графики рассчитанных зависимостей проводимости глинистого грунта от длины волны для заданных температур и объемной влажности.

10° ю' ю1 ю5 ю4 105 Я., см.

Рис. 2.5. Кривые рассчитанных зависимостей действительной компоненты диэлектрической проницаемости слоя вмывания от.

Рис. 2.6. Графики рассчитанных зависимостей проводимости слоя вмывания от длины волны для заданных температур и объемной влажности.

Рис 2.7. Кривые рассчитанных зависимостей действительной компоненты диэлектрической проницаемости «стандартного грунта» от длины волны для заданных температур и объемной влажности.

Рис 2.8. Графики рассчитанных зависимостей проводимости «стандартного грунта» от длины волны для заданных температур и объемной влажности.

Рис. 2.10. Рассчитанные зависимости от длины волны и температуры проводимости воды <�т°в, имеющей свободную или открытую поверхность, включающую также проводимость, связанную с релаксационными колебаниями молекул воды по Дебаю.

Рис. 2.9. Кривые рассчитанных зависимостей от длины волны и температуры проводимостей <УППР и <тгпр песчаного и глинистого почвенных растворов, включающих проводимость, связанную с релаксационными колебаниями молекул воды по Дебаю.

80 60 40 20 3.

Рис. 3.1. Передающая (слева) и приемная (справа) антенны георадиолокатора на поверхности грунта. Схематически изображены сигнал прямого прохождения и отраженный от объекта сигнал.

Л > Ч V. л л. + ¦ * * * * * ¦ .*¦ ¦ ¦¦ г * * v.

Л «> > Ч- % * и г ¦ + * а) б).

Рис. 3.2. а) трехмерная сетка основного разбиения металлических поверхностей, б) схема расположения двух антенн на поверхности грунта и объекта обнаружения заглубленного в грунт. Точками изображены центры площадок основного разбиения.

Л, м.

Рис. 3.2. Зависимость входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде с потерями (5 дБ/м) ?" =10 от длины волны внешнего источника.

Рис. 5.1. График зависимости сигнала на приемной антенне в зависимости от глубины расположения металлического объекта.

105 см 105 см 105 см.

1,5 мм.

Рис 5.2. Эскиз антенной установки без электрических цепей.

014 $.

0!".

1″.

9*5.

01?

Рис 6.1. Зависимость входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде без потерь от длины волны внешнего источника без учета магнитных токов.

R.Om.

IM" ним.

— 96 m вч о"" о" чя *ч о?" ао.

А.м.

Рис 6.2. Зависимость входного сопротивления антенны георадиолокатора в среде без потерь от длины волны внешнего источника с учетом магнитных токов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе реализована программа для расчета на ЭВМ электродинамических параметров излучающих устройств на границах сред с поглощением. Проведен ряд численных экспериментов для проверки корректности работы разработанной программы. С помощью указанной программы выполнено моделирование обнаружения объекта в грунте с поглощением. В заключение предложено сравнение двух вариантов расчета методом векторного потенциала со схемой двойного разбиения применительно к резонаторно-щелевой антенне.

Итогом работы является доработка программы расчета электродинамических параметров излучающих устройств, где введен учет неметаллических поверхностей. Дальнейшая работа над усовершенствованием этой программы может привести к созданию программного комплекса, способного конкурировать, с такими программными продуктами, как Microwave Office или HFSS [61].