Асимптотическая устойчивость решений линейных и нелинейных гиперболических уравнений в частных производных

8 Свободное уравнение.69.

8.1 Спектральные свойства.70.

8.2 Долговременное убывание.73.

8.3 Доказательство предложения 8.4.76.

9 Уравнение с потенциалом.78.

9.1 Возмущенная резольвента.78.

9.2 Принцип предельного поглощения.80.

9.3 Убывание резольвенты при и) —> оо.81.

9.4 Поведение резольвенты при и) —> 0 .82.

9.5 Долговременная асимптотика.86.

10 Приложение С. Доказательство леммы 8.6.86.

II Асимптотическая устойчивость кинков 89.

4 Бегущие кинки 90.

11 Формулировка главного результата.90.

12 Симплектическая проекция.91.

12.1 Симплектическая структура и гамильтонова форма. 91.

12.2 Симплектическая проекция на солитонное многообразие. 92.

13 Линеаризация на солитонном многообразии.94.

13.1 Гамильтонова структура и спектр.96.

13.2 Убывание трансверсальной линеаризованной динамики.. 99.

13.3 Оценки нелинейного члена.101.

14 Симплектическое разбиение динамики.102.

15 Модуляционные уравнения.103.

16 Убывание трансверсальной динамики.105.

16.1 Замороженная трансверсальная динамика.106.

16.2 Интегральные неравенства.108.

16.3 Симплектическая ортогональность.109.

16.4 Убывание трансверсальной компоненты.111.

17 Солитонная асимптотика.112.

5 Стоячий кинк 115.

18 Формулировка главного результата.115.

19 Линеаризация на кинке.116.

19.1 Убывание линеаризованной динамики.117.

20 Асимптотическое разложение динамических уравнений.117.

20.1 Асимптотическое разложение i.119.

20.2 Асимптотическое разложение /.119.

21 Нормальные формы Пуанкаре.120.

21.1 Нормальная форма для /.120.

21.2 Нормальная форма для г. 122.

21.3 Сводка нормальных форм.125.

22 Мажоранты.126.

22.1 Начальные условия и оценка для д. 126.

22.2 Система мажорант.127.

22.3 Оценки остаточных членов.127.

22.4 Оценки для мажорант.129.

22.5 Равномерные оценки для мажорант.131.

23 Долговременные асимптотики .132.

23.1 Долговременное поведение .132.

23.2 Солитонная асимптотика.134.

24 Приложение Б. Доказательство предложения 19.1.137.

6 Примеры нелинейных потенциалов 141.

25 Кусочно-параболические потенциалы .141.

25.1 Линеаризованное уравнение.143.

25.2 Нечетные собственные функции.144.

25.3 Четные собственные функции.146.

25.4 Спектральные условия.148.

26 Гладкие аппроксимации.152.

О Введение.

0.1 Мотивировка исследования.

1. Дисперсионное убывание волновых процессов известно давно из повседневного опыта со звуковыми волнами и волнами на воде. Для волновых уравнений с постоянными коэффициентами математическое понимание строгого принципа Гюйгенса основывается на формуле Кирхгофа. Для общих гиперболических уравнений в частных производных теория дисперсионного убывания возникла в 1960;х годах в работах Б. Вайнберга, Р. Лакса, К. Моравец и Р. Филипса по теории рассеяния, где рассматривались начальные данные с компактными носителями, и убывание решений доказывалось на фиксированных компактах. Однако такие результаты оказались недостаточными для теории асимптотической устойчивости решений нелинейных гиперболических уравнений. А именно, потребовалось доказательство убывания решений в весовых соболевских нормах для начальных данных с носителем во всем пространстве. Такое убывание интенсивно использовалось в последние 20 лет в работах по асимптотической устойчивости для уравнений Шредингера. Тем не менее для релятивистских уравнений подобные результаты оставались неизвестными. Наши исследования [4,41, 38, 39, 40], [47]-[53] заполняют этот пробел для волновых уравнений, уравнений Клейна-Гордона и уравнения Дирака, а также для дискретных моделей [5, 42, 45]. В первой части диссертации мы приводим результаты исследований для уравнения Клейна-Гордона в размерностях 1, 2 и 3.

II. Солитонным решениям принадлежит особая роль при изучении эволюционных уравнений ввиду того, что зачастую они довольно легко находятся численно и, кроме того, возникают, как правило, при изучении долговременного поведения задачи Коши. А именно, численные эксперименты [36] показывают, что решения общих нелинейных гиперболических уравнений с начальными данными конечной энергии при больших временах распадаются на суперпозицию слабо взаимодействующих солитонов и убывающих дисперсионных волн.

Теория асимптотической устойчивости солитонов для нелинейных уравнений Шредингера возникла в работах Соффера-Вайнштейна (1985;1992) и Бус-лаева-Перельман-Сулем (1991;2003). Однако обобщение на уравнение Клейна-Гордона оставалось открытой проблемой вплоть до 2010 года из-за отсутствия соответствующей теории дисперсионного убывания для линеаризованных уравнений Клейна-Гордона. Необходимость такого обобщения связана с проблемами релятивистской теории поля, поставленными в программных работах Гей-зенберга [28, 2], посвященных квантовополевой теории элементарных частиц в контексте нелинейных гиперболических уравнений в частных производных. В таком контексте элементарные частицы интерпретируются как солитоны, и проблема их устойчивости превращается в проблему асимптотической устойчивости солитонов. Именно эта проблема решается впервые в предложенной диссертации для релятивистских уравнений.

0.2 Обозначения и определения.

В первой части мы рассматриваем уравнения Шредингера гф = Нф (х, t) := (-А + У (х))ф (х, t), хе Шп, (0.1) и уравнение Клейна-Гордона ф (х, t) = (Д — m2 — V (x)) -ф (х, ?), xeRn, m > 0, (0.2) где п = 1,2,3. Все производные здесь и ниже понимаются в смысле распределений. Запишем уравнение (0.2) в матричной форме: t)=HV (t), (0.3) где.

Кроме того мы будем рассматривать «модифицированное» уравнение Клейна-Гордона, соответствующее системе координат движущейся со скоростью v: t) = /СФ (i), (0.5) где.

Г — (uV i ~ г{А — m2 — V) vV)'.

Именно модифицированное уравнение соответствует линеаризованному уравнению на солитоне, рассматриваемому во второй части работы. Будем предполагать, что V (x) является вещественной функцией и.

V (x) + |VK (x)| < С{ 1 + х)~Р, х Е М", (0.6) где (3 > 3 при п = 3 и (3 > 5 при п = 1,2. Мы рассматриваем «регулярный случай» в терминологии [29] (или «несингулярный случай» в терминологии [61]), когда усеченная резольвента оператора Шредингера H = — А + V (x) ограничена в концевой точке Л = 0 непрерывного спектра. Другими словами, точка Л = 0 не является ни собственным значением, ни резонансом для оператора H. Это условие выполняется для потенциала общего положения.

Определим пространства, в которых мы будем работать. Для произвольных s, cr е R обозначим через Hsa = #*(Rn) весовые пространства Соболева, введенные Агмоном [13], с конечными нормами.

Шн- = Il {xYWn" < 00, (х) = (1 + М2)1'2, (0.7) где L2 = L2(Rn). Будем обозначать L2a = Н°.

Заметим, что умножение на V (x) является ограниченным оператором из Н] в Н]+р для любого s € M. Введем фазовое пространство для задачи (0.3):

Определение 0.1 Еа — комплексное гильбертово пространство векторных функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами.

1|ф|к = 1Жк + 1М1яз<�оо. (0.8).

Обозначим Е = Е0. Обозначим далее через ¥-к, к = 0,1,2. — соболевское пространство функций с конечными нормами к г=0.

Определение 0.2 Ж — гильбертово пространство ¥-2@У/1 векторных функций Ф = (ф, 7г) с конечными нормами.

Цф|к = Ми* + N1^ < оо.

Во второй части мы рассматриваем одномерное нелинейное волновое уравнение.

•ф (х, г) = ф" (х, г) + р ('ф (х, г)), хе1, (0.9) где F (V0 = -и'(ф).

Мы предполагаем, что потенциал и (ф) удовлетворяет следующим условиям: ТЛ Потенциал и (ф) является гладкой четной функцией, такой что.

1/(ф) >0 при ф фа. (0.10).

U2 В окрестности точек ±-а потенциал U (ф) является параболой: 2.

TTL и (ф) = —(фта)2, ф^а<�д (0.11) с некоторыми 0 < 5 < а/2 ит> 0.

Примерный график потенциала изображен на рисунке 1.

Соответствующее стационарное уравнение имеет вид: s" (x) — U'(s (x)) = 0, (0.12).

Это уравнение имеет постоянные решения ф (х) = 0 и ф (х) = ±-а. Непостоянные решения найдем при помощи «интеграла энергии» :

Л2.

— U (s) = С, где С — произвольная постоянная. На рисунке 2 изображен фазовый портрет данного уравнения. s' с>о? х ч / С=0.

У s с<0.

Рис. 2: Фазовый портрет.

Мы видим, что при С = 0 существует так называемый кинк — непостоянное решение в (х) стационарного уравнения (0.12), обладающее конечной энергией и удовлетворяющее условию з (х) —" ±-а, х ±-оо.

См. рисунок 3). Кроме того, из условия (0.21) следует, что ж) а)" ~ т2{з (х) Та), х —> ±-оо. 9.

Поэтому.

5(ж) т, а ~ Се~тМ, х ±-оо, (0.13) т. е. кинк приближается к своим асимптотам ±-а с экспоненциальной скоростью.

Так как уравнение (0.9) является релятивистски инвариантным, то движущиеся со скоростью |v|.

SqtV (x, t) = s (j (x — vt — q)), geR также являются решениями уравнения (0.9). Здесь 7 = 1/Vl — v2 — лоренцево сокращение. Далее будем обозначать фу (х) = s (ух), 7Tv (x) = -Vlf/v (x).

Подставляя разложение ip (x, t) = s (x) + (?)(x, t) в уравнение (0.9), формально получим ф{х, t) = -Нф{х, t) + 0(ф (х, t) I2), (0.14) где Н := — ^ + т2 + V (x) — оператор Шредингера с потенциалом.

V{x) = -F'{s{x)) -т2 = U" (s (x)) — т2. (0.15).

Легко проверить, что оператор Н обладает следующими свойствами:

HI. Непрерывный спектр оператора Н совпадает с интервалом [т2, оо).

Н2. Точка Ао = 0 является точкой дискретного спектра с собственной функцией s'(x).

НЗ. Так как ¿-(х) > 0, то Ло = 0 является основным состоянием, а все остальные точки дискретного спектра, если они существуют, содержатся в интервале (0,ш2].

Будем предполагать, что.

Е Концевая точка, А = т2 непрерывного спектра оператора Н не является ни собственным значением, ни резонансом. Кроме того, мы будем предполагать два разных условиях на дискретный спектр:

Дискретный спектр оператора Н состоит ровно из одной точки Ло = 0. Ю 2 Дискретный спектр оператора Н состоит из двух точек: Ло = 0 и Ах 6 (0,т2), причем.

4Лх > т2. (0.16).

Во втором случае (условие Т>2) будем также предполагать условие невырожденности, или так называемое золотое правило Ферми, означающее эффективное взаимодействие нелинейного члена с непрерывным спектром. Это взаимодействие обеспечивает рассеяние энергии в бесконечность (см. условие (10.0.11) в [23] или условие (1.11) в [55]). Для уравнения (0.9) золотое правило Ферми имеет вид:

I щХ1(х)Г" (з (хЫ^х ф 0,.

0.17) где у? А1 — собственная функция, соответствующая собственному значению А, а (¿-?4А1 — нечетная собственная функция непрерывного спектра, соответствующая точке 4Лх е (ш2,оо).

0.3 Основные результаты.

В первой части работы (главы 1-Ш) излагаются результаты и методы линейной теории рассеяния для уравнений Шредингера и Клейна-Гордона, полученные автором.

1. Б. Р. Вайнберг, Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. -294 с.

2. В. Гейзенберг, Введение в единую полевую теорию элементарных частиц. М.: Мир, 1968. -239 с.

3. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. -448 с.

4. E. Копылова, On long-time decay for magnetic Schrodinger and Klein-Gordon equations, Труды Математического института им. В. А. Стеклова 278 (2012), 1−9. (Proc. Steklov Inst. Math. 278 (2012), 121−129.).

5. Е. Копылова, Асимптотическая устойчивость солитонов для нелинейных гиперболических уравнений, Успехи матем. наук 68 (2013), № 2, 91−144.

6. А. Ф. Никифоров, В. Б. Уваров, Специальные функции математической физики, Москва, Наука, 1984. -344 с.

7. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, III, Москва, Мир, 1982. -443 с.

8. М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, IV, Москва, Мир, 1982. -427 с.

9. М. Шубин, Псевдодифференциальные орераторы и спектральная теория, Москва, Наука, 2005. -304 с.

10. S. Agmon, Spectral properties of Schrodinger operator and scattering theory, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. IV 2 (1975), 151−218.

11. F. Bjorn, Geometry, Particles, and Fields, Springer, NY, 1998. -672 c.

12. P.M. Bleher, On operators depending meromorphically on a parameter, Moscow Univ. Math. Bull. 24 (1972), 21−26.

13. P. Brenner, On the existence of global smooth solutions of certain semi-linear hyperbolic equations, Math. Z. 167 (1979), 99−135.

14. P. Brenner, On scattering and everywhere defined scattering operators for nonlinear Klein-Gordon equations, J. Differ. Equations 56 (1985), 310−344.

15. N. Boussaid, Stable directions for small nonlinear Dirac standing waves, Comm. Math. Phys. 268 (2006), no. 3, 757−817.

16. N. Boussaid, S. Cuccagna, On stability of standing waves of nonlinear Dirac equations, Comm. Partial Diff. Eqns. 37 (2012), no. 4−6, 10 001−1056.

17. V. Buslaev, A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitary waves in nonlinear Schrodinger equation, Comm. Partial Diff. Eqns. 33 (2008), no. 4, 669−705.

18. V.S. Buslaev, G. Perelman, Scattering for the nonlinear Schrodinger equations: states close to a soliton, St. Petersburg Math. J. 4 (1993), no. 6, 1111−1142.

19. V.S. Buslaev, G. Perelman, On the stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations, Amer. Math. Soc. Trans. (2) 164 (1995), 75−98.

20. V.S. Buslaev, C. Sulem, On asymptotic stability of solitary waves for nonlinear Schrodinger equations, Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 20 (2003), no. 3, 419−475.

21. S. Cuccagna, Stabilization of solutions to nonlinear Schrodinger equations, Comm. Pure Appl. Math. 54 (2001), 1110−1145.

22. S. Cuccagna, On asymptotic stability in 3D of kinks for the фА model, Transactions of AMS 360 (2008), no. 5, 2581−2614.

23. P. D’Ancona, V. Georgiev, H. Kubo, Weighted decay estimates for the wave equation, J. Differ. Equations 177 (2001), no. 1, 1 464 208.

24. J.-M. Delort, Global existence and asymptotics for the quasilinear Klein-Gordon equation with small data in one space dimension. French], Ann. Sci. Norm. Sup. (4) 34 (2001), no. 1, 1−61.

25. W. Heisenberg, Der derzeitige Stand der nichtlinearen Spinortheorie der Elementarteilchen, Acta Phys. Austriaca 14 (1961), 328−339.

26. A. Jensen, T. Kato, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave functions, Duke Math. J. 46 (1979), 583−611.

27. A. Jensen, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave function. Results in L2(Rm), m > 5, Duke Math. J. 47 (1980), 57−80.

28. A. Jensen, Spectral properties of Schrodinger operators and time-decay of the wave function. Results in L2(R4), J. Math. Anal. Appl. 101 (1984), 491−513.

29. A. Jensen, G. Nenciu, A unified approach to resolvent expansions at thresholds, Reviews in Math. Phys. 13 (2001), no. 6, 717−754.

30. V. Imaikin, A.I. Komech, B. Vainberg, On scattering of solitons for the KleinGordon equation coupled to a particle, Comm. Math. Phys. 268 (2006), no. 2, 321−367.

31. E. Kirr, A. Zarnesku, On the asymptotic stability of bound states in 2D cubic Schro" dinger equation, Comm. Math. Phys. 272 (2007), no. 2, 443−468.

32. S. Klainerman, Remark on the asymptotic behavior of the Klein-Gordon equation in Rn+1, Comm. Pure Appl. Math. 46 (1993), no. 2, 137−144.

33. A. Komech, N.J. Mauser, A. Vinnichenko, On attraction to solitons in relativists nonlinear wave equations, Russ. J. Math. Phys. 11 (2004), no. 3, 289−307.

34. A. Komech, E. Kopylova, Scattering of solitons for Schrodinger equation coupled to a particle, Russian J. Math. Phys. 13 (2006), no. 2, 158−187.

35. A. Komech, E. Kopylova, Weighted energy decay for ID Klein-Gordon equation, Comm. PDE 35 (2010), no. 2, 353−374.

36. A. Komech, E. Kopylova, Long time decay for 2D Klein-Gordon equation, J. Func. Anal. 259 (2010), no. 2, 477−502.

37. A. Komech, E. Kopylova, Weighted energy decay for 3D Klein-Gordon equation, J. Differ. Equations 248 (2010), no. 3, 501−520.

38. A. Komech, E. Kopylova, Dispersion decay and scattering theory. John Willey and Sons, Hoboken, New Jersey, 2012. -175 c.

39. A. Komech, E. Kopylova, M. Kunze, Dispersion estimates for ID discrete Schrodinger and Klein-Gordon equations, Applicable Analysis 85 (2006), no. 12, 1487−1508.

40. A. Komech, E. Kopylova, D. Stuart, On asymptotic stability of solitons in a nonlinear Schrodinger equation, Comm. Pure and Applied Analysis 11 (2012), no. 3, 1063−1079.

41. A. Komech, E. Kopylova, H. Spohn, Scattering of solitons for Dirac equation coupled to a particle, J. Math. Anal. Appl. 383 (2011), 265−290.

42. A. Komech, E. Kopylova, B. Vainberg, On Dispersion properties of discrete 2D Schrodinger and Klein-Gordon equations, J. Func. Anal. 254 (2008), 2227−2254.

43. E. Kopylova, Existence of solitary waves for the discrete Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, Russian J. Math. Phys. 15 (2008), no. 4, 486−491.

44. E. Kopylova, Weighted energy decay for 3D wave equation, Asymptotic Anal. 65 (2009), no. 1−2, 1−16.

45. E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Schrodinger equation coupled to nonlinear oscillator, Nonlinear Analysis Series A: Theory, Methods and Applications 71 (2009), no. 7−8, 3031−3046.

46. E. Kopylova, Weighted energy decay for ID wave equation, J. Math. Analysis and Applications 366 (2010), no. 2, 494−505.

47. E. Kopylova, Long-time decay for 2D wave equation, Russian J. Math. Phys. 17 (2010), no. 2, 226−239.

48. E. Kopylova, On asymptotic stability of solitary waves in discrete Klein-Gordon equation coupled to nonlinear oscillator, Applicable Analysis 89 (2010), no. 9, 1467−1493.

49. E. Kopylova, Weighted energy decay for ID Dirac equation, Dynamics of PDE 8 (2011), no. 2, 113−125.

50. E. Kopylova, On long-time decay for modified Klein-Gordon equation. Comm. Math. Analysis, Conference 03 (2011), 137−152.

51. E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of moving kink for relativistic Ginzburg-Landau equation, Comm. Math. Phys. 302 (2011), no. 1, 225−252.

52. E. Kopylova, A. Komech, On asymptotic stability of kink for relativistic Ginzburg-Landau equation, Arch. Rat. Mech. and Analysis 202 (2011), no. 2, 213−245.

53. H. Kubo, S. Lucente, Note on weighted Strichartz estimates for Klein-Gordon equations with potential, Tsukuba J. Math. 31 (2007), no. 1, 143−173.

54. J.L. Lions, «Quelques Methodes de Resolution des Problemes aux Limites non Lineaires», Paris, Dunod, 1969. -554 c.

55. L.-E. Lundberg, Spectral and scattering theory for the Klein-Gordon equation, Comm. Math. Phys. 31 (1973), no. 3, 243−257.

56. B. Marshall, W. Strauss, S. Wainger, LP — Lq estimates for the Klein-Gordon equation, J. Math. Pures Appl. 59 (1980), 417−440.

57. C.S. Morawetz, W.A. Strauss, Decay and scattering of solutions of a nonlinear relativistic wave equation, Comm. Pure Appl. Math. 25 (1972), 1−31.

58. M. Murata, Asymptotic expansions in time for solutions of Schrodinger-type equations, J. Fund. Anal. 49 (1982), 10−56 .

59. J. Miller, M. Weinstein, Asymptotic stability of solitary waves for the regularized long-wave equation, Comm. Pure Appl. Math. 49 (1996), no. 4, 399−441.

60. Pego R.L., Weinstein M.I., On asymptotic stability of solitary waves, Phys. Lett. A 162 (1992), 263−268.

61. R.L. Pego, M.I. Weinstein, Asymptotic stability of solitary waves, Commun. Math. Phys. 164 (1994), 305−349.

62. D. Pelinovsky, A. Stefanov, Asymptotic stability of small gap solitons in the nonlinear Dirac equations. ArXiv: 1008.4514 .

63. C.A. Pillet, C.E. Wayne, Invariant manifolds for a class of dispersive, Hamiltonian, partial differential equations, J. Differ. Equations 141 (1997), no. 2, 310−326.

64. M. Reed, «Abstract Non-Linear Wave Equations», Lecture Notes in Mathematics 507, Springer, Berlin, 1976. -128 c.

65. I. Rodnianski, W. Schlag, A. Soffer, Dispersive analysis of charge transfer models, Commun. Pure Appl. Math. 58 (2005), no. 2, 149−216.

66. M. Schechter, The Klein-Gordon equation and scattering theory, Ann. Phys. 101 (1976), 601−609.

67. I.M. Sigal, Nonlinear wave and Schrodinger equations. I: Instability of periodic and quasiperiodic solutions, Comm. Math. Phys. 153 (1993), no. 2, 297−320.

68. A. Soffer, M.I. Weinstein, Multichannel nonlinear scattering for nonintegrable equations, Comm. Math. Phys. 133 (1990), 119−146.

69. A. Soffer, M.I. Weinstein, Multichannel nonlinear scattering for nonintegrable equations. II. The case of anisotropic potentials and data, J. Differential Equations 98 (1992), no. 2, 376−390.

70. A. Soffer, M.I. Weinstein, Resonances, radiation damping and instability in Hamiltonian nonlinear wave equations, Invent. Math. 136 (1999), 9−74.

71. A. Soffer, M.I. Weinstein, Selection of the ground states for NLS equations, Rev. Math. Phys. 16 (2004), no. 8, 977−1071.

72. W.A. Strauss, Nonlinear invariant wave equations, Lecture Notes in Physics 73 (1978), 197−249.

73. T.P. Tsai, H.T. Yau, Asymptotic dynamics of nonlinear Schrodinger equations: resonance-dominated and dispersion-dominated solutions, Commun. Pure Appl. Math. 55 (2002), no. 2, 153−216.

74. T.P. Tsai, Asymptotic dynamics of nonlinear Schrodinger equations with many bound states, J. Diff. Equations 192 (2003), no. 1, 225−282.

75. B.R. Vainberg, On short-wave asymptotic behaviour of solutions of steady-state problems and the asymptotic behaviour as t —> oo of solutions of time-dependent problems, Russian Math. Surveys 30 (1975), no. 2, 1−58.

76. B.R. Vainberg, Behaviour for large time of solutions of the Klein-Gordon equation, Trans. Mosc. Math. Soc. 30 (1976), 139−158.

77. M. Weinstein, Modulational stability of ground states of nonlinear Schrodinger equations, SI AM J. Math. Anal. 16 (1985), no. 3, 472−491.

78. Weder R.A., Scattering theory for the Klein-Gordon equation, J. Funct. Anal. 27 (1978), 100−117.

79. Weder R.A., The IP-IP' estimate for the Schrodinger equation on the half-line, J. Math. Anal. Appl 281 (2003), no. l, 233−243.

80. K. Yajima, The Wk* -continuity of wave operators for Schrodinger operators. J. Math. Soc. Japan 47 (1995), no. 3, 551−581.