Экспоненциально малые эффекты в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым

Один кз популярных объектов регулярной теории возмущений динамических систем — дифференциальное уравнение вида = еЦг^, е), гбМ, (1.1) где М — гладкое т-мерное многообразие, е — малый параметр. Векторное поле v предполагается С°°-гладким и 27г-периодичным по Ь.

Хорошо известно, что путем замены переменных можно существенно ослабить зависимость правой части системы (1.1) от времени. В частности, используя стандартный метод усреднения (см., например [3]), легко построить 27Г-периодическую по I замену переменных г Н> = г + ?д (гЛ,?) (1.2) такую, что уравнение (1.1) примет вид: = + ?2г),(г*,?) (1.3) где явная зависимость правой части системы от времени сосредоточена в слагаемом еи = 0(еА). Натуральное К произвольное, а 1 о.

— среднее от д (г, t, 0) по времени.

Предположим теперь, что зависимость функций v от фазовых переменных аналитическая. Как заметал Пуанкаре, в этом случае степенные ряды по малому параметру, задающие замену переменных, исключающую время из уравнений, существуют, но расходятся, причем множители при £к в этих рядах имеют порядок /с! В общей ситуации это утверждение доказано в работе [27].

Нейштадт [9, 2] заметил, что в случае аналитической зависимости функции V от фазовых переменных с помощью замены вида (1.2) в уравнениях (1.3) можно получить и = 0(е-а/?),.

1.4) где, а > 0 — некоторая постоянная, а параметр е предполагается неотрицательным. Таким образом, явную зависимость правой части уравнений движения от времени можно сделать экспоненциально малой.

Метод, использованный Нейштадтом при доказательстве этого утверждения, основан на проведении большого (порядка 1/е) количества последовательных замен переменных, постепенно ослабляющих явную зависимость уравнений от времени.

Аналогичные результаты получили Рамис и Шафке [25], анализируя расходящуюся последовательность замен обычного метода усреднения.

В работе [16] Трещев предложил метод, позволяющий вычислять максимальную величину а, для которой возможна оценка (1.4). Этот метод называется методом непрерывного усреднения и состоит в построении континуальной серии замен переменных, ослабляющих неавтономное возмущение в системе (1.1).

Динамические эффекты, связанные с оценками (1.4), называются экспоненциально малыми эффектами.

Задача, решенная в главе 1 диссертационной работы, является одним из примеров такого эффекта. В ее основе лежит следующий вопрос, сформулированный Арнольдом. Рассмотрим непрерывное семейство инвариантных кривых интегрируемого двумерного симплектического отображения ж резонансную инвариантную кривую из этого семейства. Возмутим отображение, сохранив свойство симплектичности. В типичной ситуации резонансная кривая разрушается, а в ее окрестности возникает область хаотических движений — так называемый стохастический слой. Границе стохастического слоя принадлежит пара нерезонансных кривых, возникших в результате деформации кривых из исходного семейства. Насколько отличаются частоты на этих граничных кривых, если возмущение имеет порядок 0 < е 1 ?

Отметим, что данное симплектическое отображение может трактоваться как отображение Пуанкаре в гамильтоновой системе с полутора степенями свободы.

Если рассматриваемая динамическая система аналитична, то разность частот имеет порядок е. Этот результат не является очевидным и, во всяком случае, не может быть получен путем анализа разложения Тейлора рассматриваемого отображения по параметру возмущения.

Хорошо известно, что рассматриваемые граничные инвариантные кривые в основном идут на расстоянии порядка у/ё друг от друга, но в L некоторых местах подходят друг к другу экспоненциально близко. Формально говоря, ответ получается в результате следующего вычисления: ¦sfejlog (e~c/'v/?) ~ е. Экспонента в последней формуле возникает за счет того, что возмущение в данной системе можно сделать экспоненциально малым, что позволяет причислить этот результат к экспоненциально малым эффектам.

Если система имеет лишь конечный порядок гладкости, то разность частот имеет порядок у/е/ log е.

Аналогичные результаты получены для гамильтоновых систем с полутора и двумя степенями свободы.

На примере аналитической системы с гамильтонианом.

H (y, x, t, e) = ly2 + e e-^+WMb'+W, р> О.

2 (Ai, fca) eZ2 получена оценка зависимости разности частот на. инвариантных кривых от порядка резонанса. Оказывается, что разность частот экспоненциально убывает с ростом порядка резонанса.

Точнее говоря, модуль разности частот не превосходит числа.

О) max {??|, |7|} ехр (-рС)е, где С = тf п — порядок резонанса, т/п — частота на резонансной кривой (числа тип взаимно просты), S и 7 — целые числа, удовлетво-ряющиее соотношению п5 + гп7 = 1 и такие, что величина max {|<5|, ]7|} минимальна, функция f (p) — неотрицательна.

На неформальном уровне этот результат может быть объяснен следующим образом: при стремлении порядка резонанса к бесконечности резонансная кривая переходит в нерезонансную и, вообще говоря, не разрушается под действием возмущения.

Отметим, что оценки разности частот, приведенные в настоящей работе, являются оценками сверху. Однако, несомненно, в системах общего положения оценки снизу имеют тот же порядок.

В главе 2 диссертационной работы получена теорема, позволяющая доказывать существование и получать мажорантные оценки решений задачи Коши для системы из счетного числа уравнений в частных производных. Эта теорема и техника ее применения называются мажорантным методом. Данный результат позволяет также эффективно оценивать действительный промежуток времени существования решения. Эти оценки не вытекают из имеющихся результатов, обсуждаемых ниже.

Актуальность такого рода задач для механики обуславливается приложениями к методу непрерывного усреднения, задаче о вложении диффеоморфизма в поток и усреднении быстрой фазы [15, 16, 24]. Эти приложения рассматриваются в работе.

Дело в том, что при получении оценок вида (1.4) методом непрерывного усреднения приходится доказывать существование решения в задаче Коши для системы из бесконечного числа уравнений в частных производных на временах от 0 до а/е.

Мажорантный метод доказательства существования и единственности аналитических решений начальной задачи для линейных уравнений в частных производных впервые был применен О. Коши в 1842 году. В 1874 году с помощью усовершенствованной версии этого метода С. Ковалевская решила задачу Коши в нелинейной постановке1.

Поясним суть мажорантного метода на примере скалярной задачи: щ = ц и 14=о = где функция щ аналитична по 2 в нуле: к функция /(и, и, 2,2) аналитична в точке (и0, и0, 0,0): г, 3, т, п{и — и0) г (ь — У0у гтгп, у, т, п где ио = щ (0) и"о = (^о)г (О). Будем искать решение задачи (1.5) в виде ряда по степеням г и ?: и{1,г) = ^и^гЧ*. (1.6) м.

1С разными версиями истории теоремы Коши-Ковалевской можно познакомиться по книгам [7, 5].

Подставляя этот ряд в (1.5), мы получим рекуррентную систему алгебраических уравнений, из которой последовательно и однозначно находятся коэффициенты Для доказательства сходимости ряда (1.6) Ковалевская, пользуясь мажорантными функциями, предложенными Вей-ерштрассом, построила мажорантную задачу.

Г иг = п 7 и и=о = ВД, ^ решение которой и (2, г) находится в явном виде. Здесь 1/о (г) =^к ^о и и0 = С/о (0), И) = (?/о)г (0). Функции Р ж и0 таковы, что < и0к И.

1 г,^т, п < • С00ТВеТСТВуЮЩЕЙ рЯД.

1.8) сходится в некотором бикруге. Сравнивая рекуррентные формулы для коэффициентов и убеждаемся, что < поэтому ряд (1.6) сходится в том же бикруге.

В силу своей универсальности мажорантная система (1.7) дает лишь очень грубые оценки области сходимости ряда (1.6). Для улучшения этих оценок можно, следуя Пуанкаре, строить каждый раз свою систем}' (1.7), учитывая специфику задачи (1.5). Если же нужно получить точные оценки действительного промежутка времени существования решения, этот способ не подходит, так как круг в плоскости комплексного времени, в котором сходится решение, может оказаться ограниченным из-за комплексных особенностей, в то время как в действительном направлении решение можно продолжать и дальше. Для этого естественно раскладывать решение задачи (1.5) в ряд лишь по пространственной переменной г с коэффициентами, зависящими от t, и строить мажоранты для такого ряда (мажоранты по пространственной переменной г). Однако это приводит к системе из бесконечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений на эти коэффициенты, которая не является рекуррентной, и поэтому техника доказательства соответствующих утверждений совершенно иная. и (г, г) =.

Сформулируем полученный результат на, примере систем (1.5), (1.7). Пусть теперь функции / и F аналитичны по всем своим аргументам кроме времени, а по времени непрерывны (в приложениях эти функции аналитичны и по времени в окрестности действительной оси, однако в силу указанных причин мы этим пользоваться не будем), и функция ^ мажорирует функцию / по всем своим аргуменам кроме времени: и,-У, 2, г) = - и0) г (и — 0)^т, где |Д-, тС01 ^ при ?5 Е [О, Г]. Тогда если система (1.7) имеет решение и{Ь, г) — ¦> которое определено при i 6 [0,Т], то система (1−5) имеет решение = ^ Ч?^)2^' определенное при тех же значениях I, и < и^).

В диссертационной работе доказана аналогичная теорема для систем из счетного числа уравнений в частных производных, правые части которых представляют собой непрерывные отображения множества аналитических функций в себя.

Теоремы существования и единственности, освобожденные от требования аналитичности правых частей задачи (1.5) по времени, при различных предположениях получены в работах [10, 26]. Однако указанные результаты по-прежнему локальны по I.

В более классической постановке (уравнений — конечное число, правые части — аналитические функции по всем своим аргументам, кроме времени) мажорантный метод рассматривался в работе [8].

В приложении к конечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений мажорантный метод изучался Перроном. В отечественной литературе соответствующий результат называется «методом верхних функций» [11].

Отметим, что в главе 2 получена глобальная (по ?) теорема существования, но не единственности. Однако, если доказана глобальная теорема существования, то глобальная единственность может быть установлена с помощью локальных результатов о единственности, например [26].

Результаты диссертации содержатся в работах [29, 4] и докладывались на семинаре «Динамические системы классической механики» под руководством акад. РАН проф. В. В. Козлова и проф. С. В. Болотина (неоднократно), а также на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Ю. А. Дубинского.

2 Основные результаты.

Рассмотрим задачу Коши: = (2.1) [ и |t=0 = U0(z), где и0? «Н00, а отображение /: С°° -«- С°° непрерывно. В частности, / может быть непрерывной функцией от производных и п. zkx '—'» к,.

Пусть непрерывное отображение F: —" мажорирует /: / -С F, и существует функция U (t, z)? удовлетворяющая следующим отношениям:

С/(0, г) «u0(z), «U (0,z)+J F (U)ds, при i? /. ^ о.

Функцию U будем называть мажорантной функцией для задачи (2.1). В частности, если функция ?/ является решением задачи Коши:

U |t=0= Uo (z) «uQ (z), (2.3) то она удовлетворяет отношениям (2.2), причем в формулах (2.3) вместо знака «= «может стоять знак ««. Рассмотрим множество.

W = {w{t, z)? С°° | w «U, Hi', г)*)Г < i#, i» G/}.

Теорема 2.1 Если задача (2.1) допускает мажорантную функцию, то она имеет решение u (t, z)? W.

Зададим отображение Р: —> С°° формулой: t.

P (u) = uo (z) + J f (u)ds. (2.4) о.

Теорема 2.2 Пусть выполнены условия теоремы 2.1, и множество D С W замкнуто в С°° и выпукло в Сг, тогда если P (D) С D, то задача (2.1) имеет решение v (t, z)? D.