Моделирование гарантированного результата в задачах управления движением с интегральными ограничениями в условиях воздействия помех

Работа посвящена моделированию гарантированного результата в динамических системах. Наличие воздействия на систему со стороны неконтролируемых помех, о которых известны только области их изменения, приводит к задаче синтеза гарантируемого результата. При таком подходе помехам приписывается поведение, ухудшающее показатель качества, в соответствии с которым моделируется гарантированное управление. Это приводит к рассмотрению задачи моделирования управления в рамках теории игр.

В диссертации рассматриваются управляемые системы с интегральным ограничением на выбор управления, при наличии воздействия на них со стороны неконтролируемой помехи общего вида. Рассмотрение производится в рамках теории дифференциальных игр.

Становление теории дифференциальных игр относится к началу шестидесятых годов XX века и связано с именами советских и зарубежных математиков H.H. Красовского, JI.C. Понтрягина, Р. Айзек-са, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли Э. Г. Альбрехт, М. Барди, В. Д. Батухтин, E.H. Бар-рон, Т. Башар, Р. Беллман, А. Брайсон, H.JI. Григоренко, Р.В. Гем-крелидзе, В. И. Жуковский, М. И. Зеликин, Н. Калтон, А. Ф. Клейменов, А. Н. Красовский, A.B. Кряжимский, А. Б. Куржанский, Дж. Лейтман, П. Л. Лионе, A.A. Меликян, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, Г. Ольдстер, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, B.C. Пацко, H.H. Петров, Л. А. Петросян, Г. К. Пожарицкий, Б. Н. Пшеничный, А. И. Субботин, H.H. Субботина, В. Е. Третьяков, В. Н. Ушаков, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черноусько, A.A. Чи-крий, Р. Эллиот и многие другие.

Введение

4.

H.H. Красовским и представителями его школы развита концепция позиционных игр (см., например, [2, 4, 11, 16, 21, 22, 23, 24, 28, 31, 32, 39, 40, 56, 61, 62, 65, 75, 76, 82]), в основе которой лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания на него. Для широкого круга дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе (см., например, [27, 28, 60, 61]). Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций (см., например, [24, 25, 30, 61, 65]). В работах А. И. Субботина [55, 58] условия стабильности сформулированы с помощью производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства [56], которые обобщают основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом [1]. Такой подход позволяет использовать конструкции негладкого анализа в задачах синтеза оптимального гарантированного результата [59]. В рамках теории позиционных дифференциальных игр разрабатывались алгоритмы, а также численные методы построения цены игры и стабильных мостов. А. Г. Ченцов применил для этой цели метод итераций [76]-[79]. Существенный вклад в разработку численных методов внесли B.C. Пац-ко, В. Н. Ушаков и их сотрудники [8, 9, 14, 15, 41, 63, 74]. В основе этих алгоритмов лежит метод попятных процедур. Аппроксимация сечений моста и вектограмм многогранниками позволяет реализовать этот метод в операциях геометрических сумм и геометрических разностей — объединений и пересечений многогранников.

В теории позиционных игр (см., например, [28], стр. 33) реализовавшееся движение понимается как пучок функций, каждая из которых является равномерным пределом некоторой последовательности ломаных при диаметре разбиения, стремящемся к нулю. В диссертации используется это определение реализовавшегося движения.

В работах JT.C. Понтрягина [44, 45, 46] разработана аналитическая схема нахождения решения линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования выпуклых множеств. Эти два прямых метода получили названия первого и второго прямых методов Л. С. Понтрягина. Во втором методе используется идея попятного движения от терминального множества. В работах JI.C. Понтрягина и A.C. Мищенко [47]—[49] на основе аль.

Введение

5 тернированного интегрирования разработаны алгоритмы моделирования управления преследователя без дискриминации убегающего объекта. Конструкции первого и второго методов Л.С. Понтряги-на активно развивались в работах М. С. Никольского [36, 37]. Были разработаны вычислительные процедуры и доказана сходимость для альтернированных сумм. Идея второго метода Л. С. Понтрягина была обобщена на нелинейные дифференциальные игры Б. Н. Пшеничным. Им разработана операторная конструкция решения игровых задач [50, 52].

Одной из простых моделей конфликтно-управляемых систем являются дифференциальные игры с простым движением. Им посвящена обширная литература (см., например, [1, 24, 28, 38, 42, 43, 52, 57, 70]). Кроме как для модельных целей, этот класс игр может служить для приближенного получения решения в более сложных системах. Так, в работе А.И. Субботин* [57] с помощью функции цены дифференциальной игры с простым движением проводится локальная аппроксимация достаточно общей дифференциальной игры. В работах [12, 52] доказывается свойство стабильности оператора программного поглощения, построенного для игры с простым движением, на выпуклых множествах.

Линейная дифференциальная игра с фиксированным моментом окончания р с помощью замены переменных [28] может быть сведена к игре с простым движением. При такой замене переменных дифференциальная игра «изотропные ракеты» [1] и ее вариант при’отсутствии трения «мальчик и крокодил» [28, 46] а также контрольный пример Л. С. Понтрягина [46] сводятся к виду когда вектограммы игроков в каждый момент времени гомотетичны одному и тому же выпуклому симметрическому компг~:ту. Такой класс игр назван в диссертации классом однотипных игр.

Для этих игр в [71] вычислена функция цены и синтезированы оптимальные управления игроков. В [68] синтезированы оптимальные управления игроков, когда на выбор управления первого игрока накладывается дополнительное ограничение в виде интеграла от нормы управления.

При проектировании игры с простым движением на одномерное.

Введение

6 подпространство получается одномерная однотипная игра, критерий окончания игры из начального состояния в которой, дает необходимые условия окончания в исходной задаче [72]. С точки зрения этого метода необходимо получить решение в однотипной игре. Что и делается в данной работе.

Для решения задачи линейной по управлению и нелинейной по помехе в диссертации применялся метод одномерного проектирования [72]. Суть этого метода в следующем: фиксируется непрерывный линейный функционал из пространства, сопряженного к фазовому. Рассматривается одномерное движение образа фазовой точки при этом линейном отображении. Поскольку области достижимости сторон являются выпуклыми компактами, то их образами будут отрезки, зависящие от запасов ресурсов. Необходимые и достаточные условия окончания в каждой такой одномерной однотипной игре являются необходимыми условиями окончания в исходной задаче. Решение однотипной задачи с интегральными ограничениями сводится к экстремальной задаче. Область достижимости при интегральных ограничениях нелинейно зависит от потраченного запаса ресурсов. В диссертации находится нижняя оценка необходимого начального запаса ресурсов, которая является функцией времени и запаса ресурса помехи. Это позволяет выделить в стабильном мосте две составляющих, одна из которых нелинейно зависит от запаса ресурсов, а вторая составляющая удовлетворяет определенным условиям стабильности.

В диссертации рассматриваются дифференциальные игры с интегральными ограничениями. Такие игры составляют важную ветвь в теории дифференциальных игр. Характер интегральных ограничений накладывает определенную специфику на динамику управляемой системы, что выражается, например, в существенном отличии динамики областей достижимости в случае геометрических ограничений на управления. Это обстоятельство может приводить к дополнительным трудностям при построений оптимальных стратегий.

В 1963 году H.H. Красовский [19] предложил метод решения задач преследования, основанный на г. ринципе поглощения областей достижимости. В этой работе рассматривались геометрические, импульсные и интегральные ограничения.

Введение

7.

Возможность окончания игры за первый момент поглощения рассматривалась в работах В. Е. Третьякова [64], Ю. М. Репина [26], В. Н. Ушакова [54, 74] и Б. Н. Пшеничного, Ю. П. Онопчука [51]. Прямые методы Л. С. Понтрягина были обобщены М. С. Никольским [35, 36, 37] на случай линейных дифференциальных игр общего вида.

В работе [26] для линейных дифференциальных игр было сформулировано позиционное правило экстремального прицеливания. К указанным работам примыкают работы [66, 67, 74], в которых рассматриваются линейные дифференциальные игры наведения на выпуклое компактное множество.

Параллельно с позиционным подходом к решению дифференциальных игр с интегральными ограничениями развивались методы, являющиеся аналогами методов, разтэаботанных Л. С. Понтрягиным для решения дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управления игроков [34, 35]. Построение разрешающих управлений согласно этим методам предполагает наличие информационной дискриминации одного из игроков другим.

В 70−80-е годы был рассмотрен класс дифференциальных игр, более общий, чем линейные дифференциальные игры. А именно, были рассмотрены дифференциальные игры с интегральными ограничениями, в которых движения нелинейны по фазовой переменной и линейны относительно управлений [3, 60]. В этих работах было установлено существование ситуаций равновесия в классах позиционных процедур управления с поводырем игроков. В работе А. И. Субботина и В. Н. Ушакова [60] доказана теорема об альтернативе для нелинейных дифференциальных игр с интегральными ограничениями.

Кратко остановимся на содержании диссертации. Диссертация состоит из Введения, 3 глав и Списка литературы. В первой главе 4 параграфа, во второй главе 5 параграфов и в третей главе 4 параграфа. Нумерация определений, лемм, теорем, предположений, замечаний, следствий и формул независимая: первое число обозначает номер главы, второе — номер параграфа, третье — порядковый номер в текущем параграфе.

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Альбрехт, Э.Г. О сближении квазилинейных объектов в регулярном случае// Дифференц. уравнения. 1971. Т.7. ДО 7. С. 1171−1178.

3. Байбазаров М., Ушаков В. Н. Существование цены дифференциальных игр с интегральными ограничениями// Дифференц. уравнения. 1991. Т.27, ДО 6. С. 931−941.

4. Ватухтин В. Д. Экстремальное прицеливание в нелинейной игре сближения// Докл. АН СССР. 1972. Т.207, ДО 1. С. 1114.

5. Ватухтин В. Д., Субботин А. И. Регулярный случай в линейной дифференциальной игре// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1971. ДО 6. С. 8−12.

6. Белецкий В. В. Очерки о движении космических тел. М.: Наука, 1972. 360 с.

7. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление// Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 195−252.

8. Боткин Н. Д., Пацко B.C. Универсальная стратегия в дифференциальной игре с фиксированным моментом окончания// Problems of Control and Information Theory. 1992. Vol.11, ДО 6. P. 419−432.

Литература

137.

9. Боткин Н. Д., Рязанцева Е. А. Алгоритм построения множества разрешимости в линейной дифференциальной игре высокой размерности// Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН. 1992. Т.2. С. 128−134.

10. Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Мир, 1971. 680 с.

11. Гусев М. И., Куржанский A.B. Равновесные ситуации в многокритериальных игровых задачах с непротивоположными интересами// Докл. АН СССР. 1976. Т.229, № 6. С. 1295−1298.

12. Гусятников П. Б., Половинкин Е. С. Простая квазилинейная задача преследования// Прикл. матем. и мех. 1980. Т.44, Вып.5. С.771−782.

13. Дятлов В. П., Ченцов А. Г. Об одном классе линейных дифференциальных игр с ограниченным числом коррекций// Управление и оценивание в динамических системах: Сб. науч. тр./ИММ АН СССР. Свердловск: АН СССР, 1982. С. 9−16.

14. Зарх М. А., Пацко B.C. Построение управления второго игрока в линейной дифференциальной игре на основе свойства отталкивания/ / Позиционное управление с гарантированным результатом: Сб. науч. тр./ Свердловск. УрО АН СССР, 1987. С. 37−70.

15. Зарх М. А., Иванов А. Г. Построение функции цены в линейной дифференциальной игре с фиксированным моментом оконча• ния// Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН, 1992. Т.2. С. 140 155.

16. Иванов В. А., Тарасьев A.M., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. Задача тореадора// Прикл. матем. и мех. 1993. Т.57, Вып.З. С.15−22.

17. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

Литература

138.

18. Колмогоров А.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 е.

19. Красовский H.H. Об одной задаче преследования// Прикл. ма-тем. и мех. 1963. Т.27, Вып.2. С. 244−254.

20. Красовский H.H. К задаче о преследовании в случае линейных однотипных объектов// Прикл. матем. и мех. 1966. Т. ЗО, Вып.2. С. 209−225.

21. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 175 с.

22. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

23. Красовский H.H. Дифференциальная игра для позиционного функционала// Докл. АН СССР. 1980. Т.253, № 6. С. 13 031 307.

24. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

25. Красовский H.H., Красовский А. Н., Третьяков В. Е. Стохастический программный синтез для детерминированной позиционной дифференциальной игры// Прикл. магем. и мех. 1981. Т.45, Вып.4. С. 579−586.

26. Красовский H.H., Репин Ю. М., Третьяков В. Е. О некоторых игровых ситуациях в теории управляемых систем// Изв. АНСССР. Техн. кибернетика. 1965. ДО 4. С. 3−23.

27. Красовский H.H., Субботин А. И. Альтернатива для игровой задачи сближения// Прикл. матем. и мех. 1970. Т.34, Вып.6. С. 1005−1022.

28. Красовский H.H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

Литература

139.

29. Красовский H.H., Третьяков B.E. К задаче о преследовании в случае ограничений на импульсы управляющих сил// Дифферент уравнения. 1966. Т.2, № 5. С. 587−599.

30. Красовский А. Н., Третьяков В. Е. Программный синтез дифференциальной игры с интегральной платой// Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, Вып.4. С. 605−612.

31. Кряжимский A.B. К теории дифференциальных игр сближения уклонения// Докл. АН СССР. 1978. Т.239, № 4. С. 779 782.

32. Куржанский H.H. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

33. Люстерник A.A., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

34. Мезенцев A.B. О задаче преследования с интегральными ограничениями на управления игроков// Вестник МГУ. Вычисл. матем. и киберн. 1981. Вып.1. С. 964−971.

35. Никольский М. С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с интегральными ограничениями// Упр. Новосибирск. 1969. Вып. 2. С. 50−59.

36. Никольский М. С. Прямой метод в линейных дифференциальных играх с общими интегральными ограничениями// Дифферент уравнения. 1972. Т.8, № 6. С. 964−971.

37. Никольский М. С. О времени первого поглощения// Мат. методы исслед. и оптимизации систем: Кн./ Вып. 2. Киев, 1970. С. 32−44.

38. Никольский М. С. Задача о переправе с возможной остановкой двигателя// Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, № 11. С. 19 371 940.

Литература

140.

39. Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами// Докл. АН СССР. 1975. Т. 223, № 6. С. 1314−1317.

40. Пацко В. С. Дифференциальная игра качества второго порядка// Прикл. матем. и мех. 1982. Т.46, Вып.4. С. 596−604.

41. Пацко B.C., Турова В. Л. Численное решение дифференциальных игр на плоскости// Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1995. 78 с.

42. Петросян Л. А. Дифференциальные игры преследования// JL: ЛГУ, 1977. 222 с.

43. Петросян Л. А., Томский Г. В. Геометрия простого преследования// Новосибирск: Наука, 1983. 140 с.

44. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх. 1.// Докл. АН СССР. 1967. Т.174, № 6. С. 1278−1280.

45. Понтрягин Л. С. О линейных дифференциальных играх. 2.// Докл. АН СССР. 1967. Т.175, № 4. С. 764−766.

46. Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования// Матем. сб. Новая серия. 1980. Т. 112, Вып.З. С. 307 330.

47. Понтрягин Л. С., Мищенко A.C. Линейные дифференциальные игры (аналитическая теория на основе альтернированногоинтеграла)// Тр. МИАН СССР. 1988. Т.185. С. 208−214.

48. Понтрягин Л. С., Мищенко A.C. Решение линейной дифференциальной игры преследования без дискриминации убегающего объекта// Докл. АН СССР. 1984. Т.277, № 6. С. 1063−1066.

49. Понтрягин Л. С., Мищенко A.C. Решение линейной дифференциальной игры преследования на основе альтернированного интегрирования без дискриминации управления убегания// Докл. АН СССР. 1984. Т.277, № 6. С. 1330−1334.

Литература

141.

50. Пшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр// Докл. АН СССР. 1969. Т.184, № 2. С. 285−287.

51. Пшеничный E.H., Онопчук Ю. П. Линейные дифференциальные игры с интегральными ограничениями// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1968. № 1. С. 13−22.

52. Пшеничный Б. Н., Сагайдак М. И. О дифференциальных играх с фиксированным временем// Кибернетика. 1970. № 2. С. 5463.

53. Рисс Ф., Секефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 289 с.

54. Соломатин A.M., Ушаков В. Н. Конструирование множества позиционного поглощения в линейной игре с интегральными ограничениями// Управление и оценивание в динамических системах: Сб. науч. тр./ Свердловск. ИММ АН СССР, 1982. С. 74−89.

55. Субботин А. И. Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр// Докл. АН СССР. 1980. Т.254, № 2. С. 293−297.

56. Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона Якоби. М.: Наука, 1991. 215 с.

57. Субботин А. И. Кусочно-линейная функция цены дифференциальной игры с простым движением// Тр. МИАН СССР. 1988. Т. 185. С.242−251.

58. Субботин А. И., Субботина H.H. Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой дифференциальной игры// Докл. АН СССР. 1978. Т.243, № 4. С. 862−865.

59. Субботин А. И., Тарасьее A.M. Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры// Докл. АН СССР. 1985. Т.283, № 3. С. 559−564.

Литература

142.

60. Субботин А. И., Ушаков В. Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков// Прикл. матем! и мех. 1975. Т.39, Вып.З. С. 387−396.

61. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

62. Субботина H.H. Универсальные оптимальные стратегии в позиционных дифференциальных играх// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 11. С. 1890−1896.

63. Тарасъев A.M., Ушаков В. Н., Хрипунов А. П. О построении множеств поглащения в игровых задачах управления// Тр. ИММ. Екатеринбург. УрО РАН. 1992. Т.1. С.160−177.

64. Третьяков В. Е. Регуляризация одной задачи о преследова• нии// Дифференц. уравнения. 1967. Т. З, № 12. С. 2108−2121.

65. Третьяков В. Е. К теории стохастических дифференциальных игр// Докл. АН СССР. 1983. Т.269, № 3. С. 1049−1053.

66. У хоботов В. И. Об одной дифференциальной игре с импульсными управлениями// Тр. Ин-та механики мех.-мат. фак. МГУ, 1973. № 3. С. 177−183.

67. Ухоботов В. И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральным ограничением// Прикл. матем. и мех. 1977. Т.41, Вып.5. С. 810−824.

68. Ухоботов В. И. Однотипная линейная игра со смешанными ограничениями на управления// Прикл. матем. и мех. 1987. Т.51, Вып.2. С. 179−185.

69. Ухоботов В. И. Линейная дифференциальная игра с ограничениями на импульсы управлений// Прикл. матем. и мех. 1988. Т.52, Вып.З. С. 355−362.

Литература

143.

70. Ухоботов В. И. Дифференциальная игра с простым движением// Изв. ВУЗов. Сер. матем. 1991. № 8. С. 69−72.

71. Ухоботов В. И. Область безразличия в однотипных дифференциальных играх удержания на ограниченном промежутке времени// Прикл. матем. и мех. 1994. Т.58, Вып.6. С. 55−60.

72. Ухоботов В. И. Метод одномерного проектирования в линейной игре с интегральными ограничениями и однотипные иг-ры//Изв. АН. Техн. кибернетика. 1994. № 3. С. 192−199.

73. Ухоботов В. И. Синтез управления в однотипных дифференциальных играх с фиксированным временем// Вест. ЧелГУ. Сер. З, Математика, механика. Вып. 1. Челябинск, 1996. С. 178 184.

74. Ушаков В. И. Экстремальные стратегии в дифференциальных играх с интегральными ограничениями// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. 1980. № 4. С. 29−36.

75. Ушаков В. Н. К вопросу стабильности в дифференциальных играх// Позиционное управление с гарантированным результатом: Сб. науч. тр./ Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С. 101 109.

76. Чепцов А. Г. О структуре одной игровой задачи’сближения// Докл. АН СССР. 1975. Т.224, № 6. С. 1272−1275.

77. Ченцов А. Г. Итерационная программная конструкция для дифференциальной игры с фиксированным моментом окончания// Докл. АН СССР. 1978. Т.240, № 1. С. 36−39.

78. Ченцов А. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения// Свердловск. ИММ УНЦ АН СССР. 1979. 103 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.05.79. ДО 1933;79. Деп.

Литература

144.

79. Ченцов А. Г. О дифференциальных играх с ограничением на число коррекций. I/A// Свердловск. ИММ АН СССР. 1979. 53 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 15.12.80. № 5272−80. Деп.

80. Черноусъко Ф. Л., Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

81. Hermes Н. The generalized differential equation x € R (t, x). Advances Math. 4, № 2(1970). 149−169 pp.

82. Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems. Berlin etc.: Springer, 1987. 515 pp. Публикации по теме диссертации.

83. Алеева С. Р. Дифференциальная игра «мальчик и крокодил» с интегральным ограничением преследователя// Челябинск. Че-ляб. гос. ун-т. 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 04.10.99. № 2985-В99. Деп.

84. Алеева С. Р. Стратегия преследователя в дифференциальной игре «мальчик и крокодил» с интегральным ограничением// В сб. науч. тр.: Математические структуры и моделирование. Омск. Омск. гос. ун-т, 2000. Вып.6. С. 55−61.

85. Алеева С. Р. Оценка начального запаса ресурсов для одного класса игр с интегральным ограничением// Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2001. Вып. 1(21) С. 105−113.

Литература

145.

86. Алеева С. Р. Оценка запаса ресурсов для одного класса игр с интегральным ограничением// Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели. Тез. докл. международной науч. конф. (4−8 февраля 2002 г., г. Челябинск). Челябинск, 2002. С. 9.

87. Алеева С. Р., Ухобопгов В. И. Однотипная игра с интегральным ограничением первого игрока// Вест. ЧелГУ. Сер.З. Математика, механика. 1999. № 1(4). С. 16−29.

88. Алеева С. Р., Ухоботпов В. И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральным ограничением// Тезисы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XI». Воронеж, 2000. С. 5.

89. Алеева С. Р., Ухоботпов В. И. Об одном классе декомпозиционных дифференциальных игр// Тезисы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XII». Воронеж, 2001. С. 6.

90. Алеева С. Р., Ухоботпов В. И. Моделирование гарантированного управления с интегральным ограничением в линейной управляемой системе// Вест. ЧелГУ. Сер.З. Математика, механика, информатика. 2002. № 1(6). С. 135−146.