Разработка математических моделей и аналитических методов расчета нелинейных процессов тепломассопереноса в пористых структурах

Актуальность проблемы. Современное развитие энергетики, авиационной и космической техники, интенсификация различных теплоэнергетических и технологических процессов связаны с повышением силовых и тепловых нагрузок на элементы конструкций энергетических и технологических установок. Успешное решение возникающих при этом задач возможно путем создания и использования новых конструкционных материалов, обладающих необходимыми теплозащитными свойствами, и путем интенсификации процессов теплообмена. Последний метод позволяет сократить массу и габариты теплообменник устройств и повысить уровень передаваемых тепловых потоков.

Одним из способов интенсификации теплопереноса является использование развитых поверхностей, в частности пористых и перфорированных материалов или пористых теплообменных элементов (ПТЭ). Возможность создания пористых материалов с заданными свойствами в широком диапазоне гидравлических и технологических характеристик, высокая интенсивность теплообмена между проницаемой матрицей и протекающим в ней теплоносителем делают пористые теплообменные элементы в ряде случаев незаменимыми. Характерным примером в этом смысле является пористое охлаждение, представляющее собой один из наиболее прогрессивных методов тепловой защиты. Сущность этого метода заключается в том, что жидкий или газообразный охладитель продавливается через поры элемента конструкции навстречу тепловому потоку. Поглощая тепло, охладитель снижает температуру охлаждаемой конструкции. Интенсивность теплообмена повышается, если охладитель в порах испытывает фазовый переход. Кроме того, если имеется возможность выхода теплоносителя охладителя) из матрицы в пограничный слой навстречу тепловому потоку, то происходит разбавление и оттеснение от поверхности высокотемпературного газового потока. Это обеспечивает значительно более высокую эффективность тепловой защиты по сравнению с другими системами.

Вопросы теплообмена в пористых телах приходится рассматривать не только при создании систем пористого охлаждения или энергоустановок с использованием пористых теплообменных элементов. Подобные задачи встречаются, например, в химической и нефтегазовой промышленности и во многих других инженерных приложениях. Особое внимание исследователей привлекают процессы тепломассопе-реноса с фазовым переходом внутри пористых элементов. Одной из причин этого является чрезвычайно высокая нтенсивность внутреннего теплообмена. При этом структура течения, механизм теплоообмена имеют целый ряд особенностей и значительных отличий по сравнению с тепломассопереносом в каналах обычных форм и размеров.

Во многих практически важных, случаях процессы тепломассообмена часто могут рассматриваться как установившиеся двумерные или близкие к ним. Ясно, что такое рассмотрение является лишь более или менее хорошим приближением реальных трехмерных нестационарных процессовисключение последних из рассмотрения в данной работе вызывает сожаление, хотя все же является неизбежным. Моделирование реальных процессов — чрезвычайно сложная задача, но есть основания полагать, что ее решение может быть ускорено путем совершенствования и более полной разработки методов решения более простых, в частности, двумерных стационарных задач. Некоторые задачи неустановившегося режима можно успешно решать, используя гипотезу квазистационарных состояний и решения, полученные для соответствующих стационарных условий.

В свете изложенного представляется актуальным проведение комплексного исследования двумерных стационарных процессов тепло-массопереноса в пористых телах, в том числе в условиях кипения охладителяопределение геометрических свойств зоны кипения, уточнение вопросов устойчивости процесса, а также более полный учет свойств пористого скелета и фильтрующегося охладителя.

Работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных НИР ВГШ (per. Ш ГБ.86.16), Постановлениями СМ СССР & 132−51 от 17.02.76 г. и № 137−47 от 26.01.86 г., комплексным планом научно-исследовательских работ Воронежского государственного технического университета (Гос. per. $ 1 890 014 250) и в соответствии с инновационной научно-технической программой (Приказ ГК РФ по высшему образованию $ 386 от 22.06.92 г.).

Целью работы является дальнейшее развитие методов решения двумерных стационарных задач тепломассопереноса в пористых телах со сложной геометрической структурой порового пространства, когда режимы фильтрации являются существенно нелинейными, а интенсивные тепловые потоки и большая разность температур на поверхностях пористого тела могут привести к нарушению теплового равновесия в области фильтрации и к фазовым превращениям фильтрующейся среды (например, в системах пористого охлаждения).

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

1. Разработка методов аналитического решения двумерных стационарных задач нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления.

2. Разработка математической модели стационарного двумерного теплопереноса в пористых телах в условиях конечной интенсивности теплообмена между скелетом и охладителем и аналитического метода исследования этих моделей.

3. Разработка математических моделей и аналитического решения двумерных стационарных задач теплопереноса в условиях внутреннего температурного равновесия при постоянных теплофизических свойствах охладителя и с учетом зависимости вязкости охладителя от температуры.

4. Создание двумерной математической модели стационарного теплопереноса при кипении охладителя в пористом теле и разработка метода решения.

5. Исследование вопросов устойчивости процесса кипения жидкости в пористом теле и определение характеристик зоны кипения.

6. Разработка основных аспектов применения теории фракталов в задачах тепломассопереноса при пористом охлавдении.

7. Экспериментальная проверка основных теоретических результатов .

Методы исследований. Гидравлический и тепловой расчет тепло-обменных устройств на основе пористых, материалов возможен при наличии достоверных данных о механизме и интенсивности тепломассопереноса в таких структурах и соответствующих математических моделей рассматриваемых процессов. Сложность геометрии порового пространства, условий подвода и отвода тепла и движения теплоносителя в порах тела делает создание адекватных математических моделей весьма затруднительным. Поэтому сложный взаимосвязанный процесс тепломассопереноса в пористых телах рассматривается как комбинация более или менее независимых процессов.

В частности, при разработке систем пористого охлаждения отдельно решаются задачи, связанные с нахождением температурных полей в пористых телах в условиях фильтрации жидкого или газообразного охладителя, и задачи по определению теплообмена в пограничном слое на поверхности выхода охладителя.

Проблеме теплопереноса в пограничном слое посвящено огромное количество теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в нашей стране и за рубежом (Гинзбург И.П., Кутателадзе С. О., Леонтьев A.M., Мотулевич В. П., Полежаев Ю. В., Романенко П. Н., Авдуевский B.C., Петухов B.C., Жукаускас A.A., Ливингуд Д., Патанкар С., Сполдинг Д., Эккерт Е., Якоб М. и многие другие).

Исследования, посвященные теплообмену в пористых телах, начали публиковаться в сороковых годах нашего столетия. Возможность применения пористого охлаждения экспериментально доказали Гуддерд /1/, Мейер-Хартвиг /2/, Скогланд /3/. В дальнейшем, в связи с развитием ракетной техники, исследования тепломассообмена в пористых телах приобретали все более широкий характер. В США работы в данном направлении опубликовали Вартас, Верникер, Скотт, Шнайдер и др., в Германии — Н. Зльснер, К. Келер. Большой вклад в развитие теории теплоообмена в пористых телах внесли отечественные ученые Лыков A.B., Поляев В. М., Васильев Л. Л., Белов C.B., Полежаев Ю. В., Щукин В. К., Майоров В. А., Фалеев В. В., Воронин В. й, Глушаков А. Н., Самохвалов В. В. и др.

При этом в большинстве опубликованных исследований задачи теплопереноса в пористых телах решаются в два этапа. Вначале решается динамическая задача, связанная с определением поля скоростей (или давлений) внутри пористого тела, а затем тепловая — определение температурных полей или тепловых потоков. Дело в том, что поле температур всегда самым существенным образом зависит от поля скоростей (или давлений). В отношении же поля скоростей тепловое воздействие весьма мало по сравнению с воздействием внешнего побудителя движения. В частности, при исследовании температурных полей в условиях больших скоростей движения жидкости или газа в пористом теле, что характерно для систем пористого охлаждения, можно пренебречь влиянием поля температур на поле скоростей и учитывать только обратное воздействие. Этот прием существенно упрощает исследование теплопереноса и фильтрации в ряде практически важных задач.

Несмотря на большое количество экспериментальных и теоретических исследований в этой области до настоящего времени существует целый ряд неясных вопросов, на которые весьма трудно дать ответ в рамках традиционного подхода.

Исходной моделью пористой среды в большинстве работ является равномерно пористое тело с каналами различной сложности и с гладкой или в крайнем случае регулярной поверхностью пор. С этой точки зрения определяется эффективная теплопроводность пористой системы «матрица-теплоноситель», проницаемость и другие теплогид-равлические характеристики. Однако широкий спектр размеров шероховатости пор, если не сколь угодно малых, то весьма малых по сравнению с размерами пор, присутствие в пористых телах внутренних структур типа фрактальных кластеров, привели к представлению о фрактальной геометрии многих пористых материалов, как природных, так и искусственных. К настоящему времени разработана геометрическая конструкция фрактальной шероховатости пор, рассмотрены методы построения «правильных» фрактальных моделей пористых сред с применением итерационных процессов, аналогичных процессу генерации триадной кривой Кох или ковра Серпинского, появились работы, в которых делаются попытки связать теплофизические свойства матрицы с ее фрактальной размерностью.

Поскольку непосредственные визуальные наблюдения процесса фазового перехода внутри пористых тел оказываются практически невозможными, особое значение приобретают теоретические методы исследования, которые широко используются в данной работе. Теория фракталов позволяет в этом случае дать хорошее качественное, а иногда и количественное описание явлений, доступных наблюдению.

В настоящее время в теории тепломассообмена на первый план выдвигаются строгие метода решения краевых задач, содержаще в постановке минимальное число ограничений. Дело в том, что реализация прямых численных методов натаживается на ощутимые трудности, связанные со сложностью обоснования достоверности окончательных результатов, медленной сходимостью, в ряде случаев отсутствием сходимости приближенных решений к точному и явлениями неустойчивости соответствующих алгоритмов. Это и обусловило использование в данной работе в основном аналитического метода исследования, результативность которого не нуждается в доказательствах.

Научная новизна.

1. Разработан аналитический метод расчета стационарных-двумерных полей давлений в пористых телах в условиях нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления, когда в области ихзображений по Фурье задача сводится к решению системы двух алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными.

2. Разработана математическая модель процесса двумерного стационарного теплопереноса в пористом теле в условиях конечной интенсивности теплообмена между пористым скелетом и фильтрующимся теплоносителем.

3. Разработана математическая модель двумерного стационарного теплопереноса в условиях кипения охладителя внутри пористого тела.

4. Определена физическая картина потери устойчивости процесса кипения охладителя в пористом теле.

5. Найдены закономерности изменения геометрических параметров зоны кипения жидкого охладителя в пористом телепоказано, что границы зоны кипения имеют фрактальный характер.

6. Найдена связь между основными теплофизическими и гидравлическими характеристиками пористого тела и фрактальной размерностью, позволяющие избежать использование дробного интегро-дифференцирования при расчете процессов во Фрактальных пористых системах.

Практическая ценность.

1. Разработанная модель и аналитический метод решения двумерных стационарных задач тепломассопереноса при нелинейной фильтрации позволяет находить поле давлений и температур в пористых элементах систем тепловой защиты типа передней части лопатки турбины, лобовой части аэродинамических поверхностей летательных аппаратов, подложки лазерного зеркала, элемента сопла ЖРД.

2. Разработанная модель пористого охлаждения с фазовым переходом охладителя позволяет более точно прогнозировать поведение подобных конструкций в реальных условиях.

3. Учет фрактальных свойств пористых систем и характеристик процессов дает возможность дифференцировать имеющиеся теоретические и экспериментальные данные по тепломассопереносу и благодаря этому получать более точные результаты для каждого вида пористой системы.

Реализация результатов работы.

Разработанные математические модели, аналитические методы решения, теоретические принципы и положения использовались в проектной практике АНТК им. А. Н. Туполева, ИИ «Ангстрем», АО «Воронежская ТЭЦ», Воронежского керамического завода, КБ Химавто-матики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на ежегодных научно-технических конференциях Воронежского политехнического института (Воронежского государственного технического университета), региональном межвузовском семинаре «Процессы теплообмена в энергомашиностроении», Всесоюзной межвузовской конференции «Газотурбинные и комбинированные установки» (Москва, МВТУ им. Баумана, 1983 г.), Второй всесоюзной конференции «Теплофизика и гидрогазодинамика процессов кипения и конденсации» (Рига, 1988 г.), Первой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994 г.), Третьем Китайско-РоссийскоУкраинском симпозиуме по проблемам астронавтики и космической технологии (КНР, г. Кси-Ань, 1994 г.), XV Российской школе по проблемам проектирования неоднородных конструкций (г. Миасс, 1996 г.), в КБ Химавтоматики (г. Воронеж, 1997 г.).

По теме диссертации опубликовано 38 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 разделов, заключения, списка использованной литературы из 142 наименований, приложений, содержит 28 рисунков и 2 таблицы и изложена на 276 страницах машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Работа посвящена разработке математических моделей и аналитических методов решения нелинейных двумерных стационарных задач тепломассопереноса в пористых структурах, внешняя геометрическая конфигурация которых приближена к форме реальных пористых тепло-обменных элементов (ПТЭ). Создание математических моделей, адекватных реальным процессам — достаточно сложная задача, поэтому были приняты следующие упрощения:

1. Пористая матрица (скелет) представляет собой недеформируемое изотропное тело с постоянными теплофизическими свойствами.

2. В качестве теплоносителя (охладителя) используется несжимаемая жидкость или идеальный газ с постоянными теплоемкостью и теплопроводностьювязкость теплоносителя постоянна или является известной функцией температуры.

3. Граница двумерной пористой области может быть разделена на две части, одна из которых соответствует входу теплоносителя в пористое тело, другая — выходу. На обеих частях границы давление и температура поддерживаются постоянными, но различными по величине. Применительно к задачам пористого охлаждения входу охладителя соответствует «холодная» поверхность, а выходу — «горячая» .

4. Интенсивность теплообмена между пористой матрицей и текущим в ее порах теплоносителем является конечнойравенство температур матрицы и теплоносителя может рассматриваться как частный, хотя и обоснованный случай моделируемого процессов.

Эти предположения, являясь достаточно общими, используются во многих работах, посвященных проблеме тепломассопереноса в пористых телах и, в частности, проблеме пористого охлаждения.

Дифференциальные уравнения теплопереноса, полученные на основании принятых упрощений, являются нелинейными и содержат слагаемое, учитывающее конвективный, перенос теплоты. При достаточно больших перепадах давления на границах пористого тела, что является характерным для напорной фильтрации и, в частности, для процессов пористого охлаждения, скорость движения теплоносителя существенно влияет на поле температур, в то время как обратное влияние незначительно. Это дает возможность раздельно решать динамическую задачу (уравнение движения) и тепловую (уравнение теплопереноса). Поэтому первый раздел работы посвящен рассмотрению изотермической нелинейной фильтрации в двумерных областях.

Показано, что процесс нелинейной фильтрации при степенном законе сопротивления в двумерной области можно описать системой двух дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных по переменным Чаплыгина. В случае плоской фильтрации эта система преобразуется в уравнение Клейна-Гордона относительно экспоненциальной функции давления или функции тока. Решение уравнения Клейна-Гордона получается с помощью обобщенного интегрального преобразования Фурье и метода Винера-Хопфа. Экспериментальная проверка качественно подтвердила основные полученные результаты. В последующих разделах на основании найденного поля давлений строится решение задачи стационарного переноса теплоты в пористом теле.

Анализ системы дифференциальных уравнений теплопереноса в условиях конечной интенсивности теплообмена между пористой матрицей и теплоносителем показывает, что для двумерных областей эту систему целесообразно решать в криволинейных координатах «давление» — «функция тока». В этих же координатах формулируются граничные условия третьего рода, что позволяет получить точное аналитическое решение для распределения температур матрицы и теплоносителя. Анализ полученного решения позволяет заключить, что для двумерных областей гипотеза внутреннего теплового равновесия.

2 о о JJ может использоваться в первом приближении. Проведен анализ предельных случаев, соответствующих различным соотношениям безразмерных коэффициентов эффективной теплопроводности, внутреннего теплообмена и конвективного переноса теплоты.

Для случая внутреннего теплового равновесия уравнение тепло-переноса в пористой структуре с постоянными теплофизическими свойствами сводится к уравнению Клейна-Гордона относительно функции температуры. Для рассматриваемых в работе областей найдено решение этого уравнения с граничными условиями первого и третьего рода. Для различных законов изменения вязкости теплоносителя в работе получены и проанализированы зависимости между перепадами давлений и температур (политропы фильтрации).

Экспериментальная проверка качественно подтвердила основные полученные результатыэксперименты подтвердили известный факт, что попытка заглубить зону кипения жидкого охладителя в область фильтрации приводит к потере устойчивости процесса. Несмотря на большое количество теоретических и экспериментальных исследований этого явления, выполненных у нас в стране и за рубежом, его физическая картина изучена еще недостаточно.

Поэтому в работе предпринята попытка построить математическую модель процесса кипения жидкости в пористом теле и более подробно рассмотреть причины потери устойчивости и основные геометрические параметры зоны кипения. Теоретически показано, что протяженность зоны кипения должна быть исчезающе малой. Потеря устойчивости процесса обусловлена проявлением эффекта Саффмена-Тейлора при увеличении объема фильтрующегося теплоносителя в связи с переходом его в пар, и отрицательной теплоемкостью насыщенного пара. При этом зона кипения деформируется, приобретая конфигурацию так называемых вязких пальцев, граница которых имеет фрактальную структуру. Проявление практически неизученных фрактальных свойств при тепломассопереносе в пористой структуре требует дополнительного рассмотрения, чему и посвящен следующий раздел данной работы.

Приведенный в разделе обзор показывает, что в последние годы круг процессов и явлений, изучение которых производится с привлечением методов теории фракталов, чрезвычайно расширился. Установлено, что фрактальная размерность пористых структур играет весьма важную роль в определении различных, в том числе теплофизических, свойств таких структур. Показано, что к уже известным возможным случаям проявления фрактальных свойств у таких объектов, как пористый скелет, поверхность скелета, поровое пространство и система трещин в пористой матрице, можно добавить и другие. В задачах тепломассопереноса в пористых телах фрактальными могут быть границы раздела движущихся жидкостей (вязкие пальцы), температурное поле («тепловой» кластер), траектория движения или линия тока, а также поле диссипации турбулентной энергии и аттрактор («странные» аттракторы). Поскольку для решения задач в системах с фрактальной размерностью необходимо использовать достаточно редко применяемый аппарат дробно-дифференциальных и дробно-интегральных уравнений, в работе получены соотношения, позволяющие связать фрактальную размерность пористой структуры с известными характеристикамипористостью, проницаемостью, эффективной теплопроводностью. Показано, что фильтрация во фрактальных пористых структурах является нелинейной при любых скоростях, и для ее описания следует использовать соответствующий закон сопротивления. Полученные соотношения дают возможность учитывать фрактальные свойства пористых структур в задачах тепломассопереноса, используя обычные (не дробные) дифференциальные уравнения.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы,.

1. Процессы тепломассопереноса в пористых структурах моделируются системой взаимосвязанных дифференциальных уравнений в частных производных с еответствующими краевыми условиями, аналитическое решение которой встречает большие трудности. В случае напорной фильтрации, когда скорость течения достаточно велика, раздельное рассмотрение динамической и тепловой задачи позволяет существенно упростить решение.

2. Для описания нелинейной фильтрации достаточно обоснованным является степенной закон сопротивления. Его использование позволяет свести двумерную динамическую задачу к решению уравнения Клейна-Гордона в переменных Чаплыгина. Даже в областях достаточно сложной геометрической формы, образованной отрезками прямых, можно получить аналитическое решение, используя метод интегральных преобразований и метод Винера-Хопфа.

3. Анализ имеющихся данных по интенсивности внутрипорового теплообмена позволяет заключить, что применимость гипотезы температурного равновесия определяется условиями конкретной задачи. Во многих практических случаях необходимо учитывать разность температур твердого скелета и фильтрующегося в его порах охладителя. Анализ дифференциальных уравнений теплопереноса для этого случая показывает, что двумерные задачи целесообразно рассматривать в криволинейных ортогональных координатах «давление» -" функция тока". Это значительно упрощает решение и позволяет использовать граничные условия третьего рода.

4. Если условия процесса допускают применение гипотезы температурного равновесия в области фильтрации, то в математической модели появляется возможность учета переменности теплофизи-ческих свойств теплоносителя, В частности, в данной работе рассмотрен случай, когда вязкость теплоносителя является функцией температуры.

5. Экспериментальное исследование полей давлений и температур в пористых телах подтвердило основные теоретические результаты. Данные опытов удовлетворительно согласуются с опубликованными результатами других исследователей.

6. Анализ математической модели процесса кипения жидкого теплоносителя в пористом теле показывает, что зона кипения должна иметь бесконечно малую протяженность и совпадать с изобарой-изотермой насыщения. Наблюдаемая в экспериментах неустойчивость процесса связана с деформацией зоны кипения в форме нестационарных фрактальных вязких пальцев в результате проявления эффекта Саффмена-Тейлора и отрицательной теплоемкости насыщенного пара.

7. Фрактальная размерность пористых структур во многом определяет их теплофизические свойства, а также характеристики процессов тепломассопереноса в этих структурахэтот факт следует учитывать в теоретических и экспериментальных исследованиях.

8. Анализ процессов тепломассопереноса в фрактальных пористых структурах сильно осложняется необходимостью привлечения аппарата дробного дифференцирования и дробного интегрирования. Полученные в работе соотношения позволяют связать основные тепло-физические характеристики пористых структур — пористость, проницаемость, эффективную теплопроводность, закон сопротивления — с фрактальной размерностью. Это позволяет избежать дробно-дифференциальных и дробно-интегральных соотношений и использовать обычные (не дробные) дифференциальные и интегральные уравнения, но приводит к усложнению исходных зависимостей.