О некоторых свойствах алгебр матричных инвариантов над бесконечными полями конечной характеристики

Теория инвариантов за 150 лет своего развития прошла множество этапов. Ее становление было связано с именами Гаусса, Вейерштрасса, Сильвестра, Клебша, Гордона, Кэли и др. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Следующий этап, связанный с развитием абстрактной алгебры, позволил обобщить многие классические результаты для достаточноо широких классов алгебраических групп, действующих рационально на аффинных многообразиях. Естественным следствием этого процесса был и отказ от ограничений на основное поле, над которым определены перечисленные выше объекты. Теперь это не только Н или С, но и произвольное поле любой характеристики. Решение 14-й проблемы Гильберта позволило выделить такой естественный класс алгебраических групп, как редуктивные группы. Оказалось, что редуктивные группы, и только они, обладают тем свойством, что для любого их рационального действия на любом аффинном многообразии, соответствующая алгебра инвариантов конечно порождена. В одну сторону это было известно благодаря работам Гильберта и Нагаты, обратное утверждение было доказано Поповым. Однако, несмотря на столь значительный прогресс в абстрактной теории инвариантов, до сих пор нет достаточно эффективных методов нахождения порождающих инвариантов даже в некоторых классических случаях, считавшихся важными еще 100 лет назад. Кроме того, эта проблема значительно осложняется, если мы включаем сюда и поля конечной характеристики. С развитием компьютерной алгебры, символьных вычислений, и, более конкретно, таких методов, как алгоритм Бухбергера нахождения базисов Гребнера-Ширшова, задача явного вычисления минимальной системы порождающих, а также всех определяющих соотношений между ними, снова приобрела тот смысл, который в нее вкладывал Гордон и его ученики (среди которых, кстати, была и Эмма Нетер, по праву считающаяся одним из основоположников современной абстрактной алгебры).

Один из способов решения этой задачи — найти общие свойства колец инвариантов редуктивных групп, которые позволили бы упростить вычисления, еще лучше, свести их, в том или ином смысле, к линейной алгебре. Одним из таких свойств является свойство Коэна-Маколея. Большинство алгебр инвариантов обладает естественной градуировкой, такой, что компонента нулевой степени совпадает с основным полем. В этом классе алгебр свойство Коэна-Маколея эквивалентно свойству быть свободным модулем над подалгеброй параметров (Предложение 2.10). Если мы знаем систему параметров и систему свободных порождающих нашей алгебры как модуля над подалгеброй параметров, то есть то, что обычно называют разложением Хиронаки, тогда мы получаем массу полезной информации о самой алгебре инвариантов. Мы можем вычислить ряд Гильберта, определяющие соотношения, сизигии, все типы размерности и т. д.

Замечательная теорема Хохстера-Робертса говорит, что алгебры инвариантов линейно редуктивных групп всегда Коэн-Маколеевы. К сожалению, эта теорема почти бесполезна в модулярном случае, так как здесь линейно редуктивными являются только конечные расширения торов. Более того, как показал недавно Кемпер ([24]), Коэн-Маколеевость всех алгебр инвариантов данной группы эквивалентна ее линейной редук-тивности. Таким образом, даже группа 5?-2 может иметь рациональное представление, алгебра инвариантов которого не Коэн-Маколеева, если основное поле имеет ненулевую характеристику.

В данной работе все вышеперечисленные задачи решаются для алгебры инвариантов нескольких матриц второго порядка над бесконечным полем произвольной характеристики. Мы покажем, что алгебра инвариантов 2×2 матриц всегда Коэн-Маколеева (Теорема 3.1.1), что обобщает результат Мета и Рамадаса ([33]), доказавших это утверждение для полей нечетной характеристики. Кроме того, наше доказательство относительно элементарно, так как сводит проблему к хорошо известному случаю векторных инвариантов. Далее, мы находим минималную систему порождающих для любого числа 2×2 матриц (Следствие 3.2.2), разложение Хиронаки для не более чем пяти матриц (Теорема 4.1.1, Теорема 4.2.1) и отмечаем, что случай четной характеристики существенно отличается от случая нечетной характеристики. Это замечание обобщается на матрицы произвольного размера (Следствие 3.2.1). Именно мы показываем, что максимальная степень порождающих любой минимальной системы порождающих алгебры инвариантов тпхп матриц не может быть меньше чем т, если характеристика поля не превосходит п. Последний результат имеет особое значение, так как знание максимальной степени порождающих позволяет оценить вычислительную сложность нахождения хотя бы одной минимальной системы порождающих.

Несмотря на то, что многие из перечисленных выше результатов, даже в случае матриц второго порядка, носят отрицательный характер, многое сохраняется и при переходе к полям конечной характеристики. Одним из таких результатов является теорема Ле Брюна-Тераниши, которая описывает все случаи, когда алгебра матричных инвариантов является полным пересечением (Теорема 3.3.1). Доказательство использует описание локальной структуры соответствующего фактормногообразия, обобщенное недавно и для полей конечной характеристики в [10].

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Доказало, что алгебра инвариантов, относительно диагонального присоединенного действия общей линейной группы над бесконечным полем произвольной характеристики любого числа 2×2 матриц Яг. т" всегда Коэн-МакоЛеева.

2. Доказано, что если 0 < char k ~ р <п п п >2, то Rn, m не порождается элементами степени < т. В частности, указана минимальная система порождающих для /?2,т.

3. Доказано, что Д")ТО — полное пересечение тогда и только тогда, когда пара (n, т) одна из (1, m), (n, 1), (2,2), (2,3), (3,2).

4. Найдено разложение Хиронаки для i?2,$ над полем четной и нечетной характеристики.

Личный вклад соискателя. Результаты диссертации опубликованы с научным руководителем и М. Домокосом, получены совместно при равном участии.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. П. Мерзлякова в Новосибирске и алгебраических семинарах ОмГУ и ОмГПУ.

Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории инвариантов и теории представлений алгебраических групп и ассоциативных алгебр. По теме диссертации опубликовано четыре работы. Одна из них — тезисы доклада на IV Международной алгебраической конференции в Новосибирске.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 55 страниц. В работе принята сквозная двойная (первая цифра — номер главы, вторая — порядковый номер утверждения в главе) и тройная (первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа, третья — порядковый номер утверждения в параграфе) нумерация.

1. А. Н. Зубков. Об одном обобщении теоремы Размыслова-Прочези, Алгебра и логика, 35(1996), N4, 433−457.

2. А. Н. Зубков. Матричные инварианты над бесконечным полем конечной характеристики, Сиб.мат.журн. 34(1993), N6, 68−74.

3. С.Ленг. Алгебра, М: Мир, 1968.

4. Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем нулевой характеристики, Изв. АН СССР сер. Мат., 38(1974), 723−756.

5. Т.Спрингер. Теория инвариантов, М: Мир, 1981.

6. А. А. Суслин Проективные модули над кольцом многочленов свободны, Докл. АН СССР, 1976.229, 5, 1063−1066.

7. W. Bruns, J.Herrzog. Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advenced Mathematics 39, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.

8. С de Concini and Procesi. A characteristic free approach to invariant theory, Adv. in Math., 21(1976), N3, 330−354.

9. M. Domokos. Relative invariants of 3×3 matrix triples, Lin. Miltilin. Alg., 47(2000), 175−190.

10. M. Domokos and A. N. Zubkov. Semisimple representations of quivers in characteristic p, Algebras and Representation Theory, 5(2002), 305−317.

11. S.Donkin. The normality of conjugacy classes of matrices, Inv. Math., 101(1990), 717−736.

12. S.Donkin. Invariant functions on matrices, Math.Proc.Cambridge Phil.Soc., 113, N23(1992), 23−43.

13. S.Donkin. On tilting modules for algebraic groups, Math.Z., 212(1993), 39−60.

14. S.Donkin. Rational representations of algebraic groups: tensor products and filtrations, Lecture Notes in Math., 1140, Springer, 1985.

15. S.Donkin. Invariants of several matrices, Invent. Math., 110(1992), 389−401.

16. S.Donkin. Polynomial invariants of representation of quivers, Comment. Math. Helv, 69(1994), 137−141.

17. E. Formanek, P. Halpin, W.-C.W.Li. The Poincare series of the ring of 2×2 generic matrices, J. Algebra, 69(1981), 105−112.

18. E.Formanek. The functional equation for character series associated to n X n matrices, Trans. Amer. Math. Soc., 295(1986).

19. E. Formanek. Invariants and the ring of generic matrices, J. Algebra, 89(1984), 178−223.

20. F.D.Grosshans. Algebraic homogeneos spaces and invariant theory, Lecture Notes in Math., 1673, Springer, 1997.

21. G.Higman. On conjecture of Nagata, Proc. Cambridge Philos. Soc., 52(1956), 1−4.

22. M. Hochster and J.Roberts. Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings are Cohen-Macaulay, Adv.Math., 13 (1974), 125−175.

23. J.Jantzen. Representations of algebraic groups, Academic Press, 1987.

24. G.Kemper. Characterization of linearly reductive groups by their invariants, Transformation Groups, 5 (1999), 85−92.

25. H.Kraft. Geometrishe metoden in der invarianten theorie, Vieweg, Braunschweig 1984.

26. E. N. Kuzmin. On the Nagata-Higman Theorem, in: Mathematical structures computational mathematics — mathematical modeling, Proceedings dedicated to the sixtieth birthday of Academician L. Iiiev, Sofia, 1975, pp. 101−107 .

27. L. Le Bruyn and C. Procesi. Etale local structure of matrix invariants and concomitants, Lecture Notes in Mathematics, Vol.1271, 1987, 143−175.

28. L. Le Bruyn and C. Procesi. Semisimple representations of quivers, Trans. Amer. Math. Soc., 317(1990), 585−598.

29. L. Le Bruyn and Y. Teranishi. Matrix invariants and complete intersections, Glasgow Math. J., 32(1990), 227−229.

30. A.A.Lopatin. The algebra of invariants of 3×3 matrices over a field of arbitrary characteristic, Comm. Alg., to appear.

31. O.Mathieu. Filtrations ofGmodules, Ann.Scient.Ec. Norm. Sup (2), 23(1990), 625−644.

32. H. Matsumura. Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge-New York, 1986.

33. V.B.Mehta and T.R.Ramadas. Moduli of vector bundles, Frobenius splitting and invariant theory, Ann.Math., (2) 144 (1996), 269−313.

34. C. Procesi. Rings with polynomial identities, Marcel Dekker, Inc. New York, 1973.

35. C. Procesi. Computing with 2×2 matrices, J. Algebra, 87 (1984), 342−359.

36. K. S. Sibirskii. Algebraic invariants for a set of matrices, Sib. Math. Zhurnal, 9 (1968), 152−164.

37. Y.Teranishi. The ring of invariants of matrices, Nagoya Math.J., 104(1986), 149−161.

38. Y. Teranishi The Hilbert series of rings of matrix concomitants, Nagoya Math.J., 111(1988), 143−156.

39. A.N.Zubkov. Endomorpkisms of tensor products of exterior powers and Procesi hypothesis, Commun. in Algebra, 22(1994), N 15, 6385−6399.Работы автора по теме диссертации.

40. M. Domokos, S.G.Ktiz'min and A.N.Zubkov. Rings of matrix invariam in positive characteristic, Journal of Pure and Applied Algebra, 176(2002), 61−80.

41. S.G.Kuz'min and A.N.Zubkov. Rings of invariants of 2×2 matrices in positive characteristic, Linear Algebra and its Applications, 365(2003), 271−278 .

42. A.H. Зубков, С. Г. Кузьмин. О свойстве Коэна-Маколея колец матричных инвариантов, IV международнаяй алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. П. Мерзлякова. Тезисы докладов, 7−11 августа 2000 г., Новосибирск, Россия.

43. С. Г. Кузьмин. Козн-Маколеево представление алгебры инвариантов 2×2 матриц, Математика и информатика. Наука и образование, Межвузовский сборник научных труде". Выпуск 1, 2001, 36−40.