Рациональность и бирациональная жёсткость особых многообразий Фано

1.1 История вопроса.

Результаты диссертации тесно примыкают к классическим вопросам рациональности алгебраических многообразий и вычисления их групп бирацио-нальных автоморфизмов. Первый вопрос является одним из наиболее естественных и фундаментальных в бирациональной геометрии. Для кривых он был полностью решён ещё в 19 веке: любая кривая (как, впрочем, и любое алгебраическое многообразие) имеет неособую модель, а любое бираци-ональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизмав частности, любая неособая рациональная кривая изоморфна проективной прямой Р1. Случай поверхностей уже существенно более разнообразен и содержателен, однако тоже был полностью изучен классиками. От любой неособой поверхности S можно перейти к её минимальной модели Smin, последовательно стягивая (—1)-кривые на S. При этом Smin также является неособой поверхностью и бирационально эквивалентна S. На Smin возможна одна из следующих ситуаций: либо канонический класс Ksmin численно эффективен (то есть имеет неотрицательное пересечение со всеми эффективными кривыми), и тогда поверхность Smin (а следовательно, и S) заведомо нерациональналибо существует кривая С С Smin, такая что CKSmin < 0. Заметим, что CKSmin ф -1 по определению минимальной поверхности. По формуле присоединения CKsmin ^ —3, и если CKsmln = —3, то можно доказать, что Smin — Р2 (в частности, S в этом случае рациональна). Наконец, если CKsmin = —2, то можно проверить, что Smin обладает структурой расслоения над некоторой кривой В, причём С является слоем этого расслоения. Поверхность Smin в этом случае рациональна тогда и только тогда, когда рациональна кривая В (то есть когда В = Р1), и все такие рациональные поверхности можно представить в виде Fn = Ppi (0 © 0(п)), п ^ 0, п ф 1 (поверхности Fn, включая также не минимальную поверхность Fi, называют рациональными линейчатыми поверхностямитакже употребительно название поверхности Хирцебруха). Историю второго вопроса можно начать отсчитывать с 1871 года, когда М. Нётер (см. [44]) впервые доказал теорему о структуре группы Bir (P2) бирациональных автоморфизмов проективной плоскости Р2 над полем комплексных чисел (называемой также группой Кремоны). Оказалось, что Bir (P2) порождена подгруппой Aut (P2) = PGL^C) бирегуляр-ных автоморфизмов плоскости и одной бирациональной инволюцией, так называемым стандартным квадратичным преобразованием т, действие которого в некоторой однородной системе координат можно записать в виде т (хо: xi: х2) = (хх2: xQx2: XQXi).

Идея доказательства состояла в том, чтобы, выбрав бирациональное отображение %: Р2 —Р2, изучить особенности собственного прообраза линейной системы прямых на Р2, то есть (неполной) линейной системы Л = х~1{). Если х не является изоморфизмом, то Н имеет степень п = п (х) = п (Н) > 2, а также имеет базисные точки pi,., pk (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие), кратности Н в которых равны ui,., uk соответственноможно считать, что v ^ щ ^ • • • ^ ЩТак, например, для описанного выше отображения т степень равна 2, и соответствующая линейная система имеет базисные точки (1: 0: 0), (0: 1: 0) и (0: 0: 1), причём все кратности равны 1. Если С, С2 6 Н — общие кривые, то, так как вне базисного множества С и Сг трансверсально пересекаются в одной точке (ибо этим свойством обладают прямые на Р2), индекс пересечения С и Сг равен к n2 = CiC2 = l + 5>2. i—.

Так как кривые из системы Н рациональны и неособы вне точек р,., pk, то к п-1)(п-2) = ^(г/г-1). г=1.

Отсюда следует, что i>i + ь>2 Л-vz > п. (1.1.1).

Если точки pi, р2 и рз лежат на Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартным квадратичным преобразованием т, связанным с этими тремя точками (заметим, что все такие преобразования сопряжены друг другу при помощи элементов подгруппы Aut (P2)):

X1 = х°т :F2 — *Р2.

Заметим, что степень п (х') равна количеству точек пересечения вне точек Pi, P2, Pz общей кривой С G Н с коникой Q, проходящей через pi, Р2 и рз, то есть п (х') = 2п{х) — щ — V2 ~ v% < п (х).

Таким образом, степень п (х') меньше степени п (х), и процесс можно продолжить по индукции, разложив % в композицию стандартных квадратичных преобразований.

К сожалению, на этом доказательство нельзя закончить — среди базисных точек системы Н могут быть бесконечно близкие. Эта трудность не была преодолена в работе [44] и была устранена лишь в работах Кастель-нуово и Александерас другой стороны, приведённый выше набросок доказательства демонстрирует некоторые идеи, применимые также и в более сложных случаях, в частности, в высших размерностях.

В размерности 3 теория становится значительно богаче (отметим, например, что в размерности 3 перестаёт быть верной привычная в размерности 2 теорема Люрота об эквивалентности рациональности и унирациональности — см. [8]). Первопроходцем в области трёхмерной бирациональ-ной геометрии, возможно, следует считать Фано (см., например, [35], [36], [37], [38]). Он исследовал трёхмерные многообразия, кривые-сечения которых являются каноническими кривымив частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен (сейчас многообразия с обильным антиканоническим дивизором принято называть многообразиями Фано). Им были предсказаны многие глубокие результаты, которые удалось доказать на удовлетворительном уровне строгости лишь через много лет после появления его работ.

В размерности 3 становится крайне сложно проверять нерациональность различных многообразий. Первые существенные успехи в этом направлении были достигнуты в работах Исковских и Манина [8], Клеменса и Гриффитса [27] и Артина и Мамфорда [18]. В [27] был развит метод промежуточного якобиана, а в [8] — заложены основы того, что впоследствии стало называться методом максимальных особенностей. Впоследствии эти методы широко применялись к вопросам рациональности трёхмерных многообразийво втором случае это стало возможным во многом благодаря появлению программы минимальных моделей1 в работах С. Мори (современное введение в эту теорию можно найти в [42]).

Метод максимальных особенностей можно рассматривать как один из способов доказательства нерациональности многообразий. На этом пути были доказаны нерациональность неособой трёхмерной квартики (см. [8]), а также некоторых других неособых трёхмерных многообразий Фано (см. [7] и [9]). Этим методом также доказана бирациональная сверхжёсткость2 (а следовательно, и нерациональность) гиперповерхностей степени N в? n (см., например, [39]), а также разнообразных многомерных двойных накрытий и полных пересечений (см. [45]). В частности, метод максимальных особенностей остаётся одним из немногих (ср. [40]) способов доказательства нерациональности многообразий высших размерностей. (Так, например, теория промежуточного якобиана, возможно, более элегантная и эффективная в случае трёхмерных многообразий, на высшие размерности пока не обобщается.).

С другой стороны, метод максимальных особенностей применим к выдальнейшем мы часто будем пользоваться сокращением ПММ.

Определения см. в главе 2. числению групп бирациональных автоморфизмов (и, опять же, к доказательству бирациональной жёсткости, и, как следствие, нерациональности) некоторых особых трёхмерных многообразий Фано. Достаточно хорошо изучены гиперповерхности во взвешенных проективных пространствах, удовлетворяющие некоторым условиям общности (см. [31]). С другой стороны, при изучении с этой точки зрения необщих многообразий часто ограничиваются нодальными многообразиями (об эффектах, связанных с более сложными особенностями, см., например, [30]). Отметим, что появление даже обыкновенных двойных особенностей как правило увеличивает группу бирациональных автоморфизмов многообразия. Так, например, неособая квартика бирационально сверхжёстка (см. [8]), в то время как наличие уже одной особенности нарушает сверхжёсткость (хотя и не нарушает бирациональной жёсткости), добавляя к группе бирациональных автоморфизмов 25 независимых образующих (см. [13]). Тем не менее, для многообразий малых степеней получено довольно много результатов в этом направлении: в [7] и [9] доказана бирациональная жёсткость и вычислены группы бирациональных автоморфизмов неособых трёхмерных многообразий Фано степеней 2, 4 и 6- в [24] доказана бирациональная сверхжёсткость Q-факториального многообразия Фано степени 2 с любым количеством обыкновенных двойных точекв [13] разобран случай кварти-ки, а в [2] — случай двойного накрытия квадрики с ветвлением в дивизоре степени 4 с одной обыкновенной двойной точкойв [43] доказана бирациональная жёсткость и найдены образующие группы бирациональных автоморфизмов Q-факториальной трёхмерной квартики с любым количеством обыкновенных двойных точек3.

Вопросы рациональности трёхмерных расслоений на поверхности Дель.

Пеццо степени d над Р^ изучались многими авторами. При d^ 5 все такие.

многообразия рациональны. Расслоения с rf = 1, 2 и 3 изучались в [14],.

[4], [33], [5], [12], [21], в результате чего было получено практически полное.

решение вопроса о рациональности неособых расслоений на поверхности.

Дель Пеццо стенени d— I и (при условии обш, ности) степени d = 2,3. Про расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4 известно следу юп], ее утверждение. Теорема (Алексеев, см. [1]). Пусть V — стандартное расслоение на.

поверхности Дель Пеццо^ степени 4 над Р^. Если топологическая эй лерова характеристика х (^) Ф 0) «» 8, —4, то V не рационально, если.

x{V) = О, —8- то V рационально, наконец, если x (V)^ = —4, то многооб разие V рационально тогда и только тогда, когда его промежуточный.

якобиан является якобианом кривой. Определение см. в разделе 6.3.Мы докажем следующее уточнение теоремы Алексеева. Теорема 6.2.1. Всякое стандартное расслоение на поверхности Делъ.

Пеццо степени 4 над Р-^ с топологической эйлеровой характеристикой.

—4 рационально. Это утверждение окажется следствием описания пересечений послой ных квадрик в скроллах с топологической эйлеровой характеристикой —4.

(см. лемму 6.3.4 после введения соответствующих обозначений), которая в.

свою очередь получается в качестве следствия из критерия гладкости пе ресечения двух послойных квадрик в пятимерном скролле (теорема 6.3.2). 6.3 Определения, обозначения и формулировки.

Определение 6.3.1 (см., например, [1]). Неособое трёхмерное многообра зие X называется стандартным расслоением на поверхности Дель Пеццо.

над Р если X обладает такой структурой расслоения на поверхности Дель.

Пеццо над Р что все его слои нормальны, и р{Х) — 2. с? = 4, то X вкладывается в некоторый скролл Y = f^[O{d)®. .®0{d^)).

в качестве гладкого пересечения двух дивизоров, ограничение каждого из.

которых на слой является квадрикой в Р*. Следовательно, можно всегда.

считать X вложенным в У в качестве полпого пересечения двух послой ных квадрик. Обратно, если X — такое пересечение, нричём X гладко и.

р{Х) = 2, то X является стандартным расслоением на новерхности Дель Пеццо стенени 4. Таким образом, чтобы явно описывать расслоения на.

поверхности Дель Пеццо степени 4 над Р надо в первую очередь, но дан ным линейным системам Di и D2 нослойных квадрик на Y научиться.

определять, существуют ли в них такие дивизоры, что их пересечение яв ляется гладким многообразием (или, что-то же самое, является ли гладким.

пересечение двух общих дивизоров из этих линейных систем). Зафиксируем некоторые обозначения, в терминах которых будет дан.

ответ на последний вопрос. Пусть.

где с?1^. .. ^ с?5 = О (определение и основные свойства У описаны, напри мер, в [47]). Пусть MY — тавтологический обратимый нучок на У, Ly —.

слой естественной проекции (/?: У —> Р^ (мы также будем использовать.

обозначения М и L вместо Му и Ly в тех случаях, когда ясно, о каком.

многообразии идёт речь). Пусть выбраны общие дивизоры Д G 2M+biL,.

i = 1,2, заданные уравнениями f{x, t) = J2aijXiXj и f2{x, t) = Yll3ijXiXj.

соответственно, где Xi — стандартные координаты в слое отображения (р,.

а aij = aij{to, ti) (соотв., (3ij{tQ, ti)) — многочлены от координат на базе.

степени di + dj + 6i (соотв. di + djЬ бг) — Нас интересуют условия на di, bj,.

при которых X = DinD2 является гладким многообразием. Пусть У2,…, Уъ отрицательные подскроллы в У (то есть Fj — под многообразие, заданное уравнениями xi =.. = Xi-i = 0). Очевидно, что.

Bs|Di| может быть равно лишь Уз,^4, Уь или 0. Будем предполагать, что.

h ^ &2 (в частности, Bs|D2| С Bs|Di|). Следующая теорема даёт критерий гладкости X в терминах параметров.

di, bj. Отметим, что аналогичные рассмотрения в случае расслоений на поверхности Дель Пеццо степени 3 проводились в [21, Lemma 26] и [20,.

Proposition 31, 32]. Теорема 6.3.2. При сделанных предположениях общее многообразие X.

является гладким тогда и только тогда, когда выполнен один из следу ющих (взаимоисключающих) наборов условий. 1. Ъх ^ 0. 2. bi < О, 2с?4 + &1 ^ О, и выполнен один из следующих наборов условий.

а) с?! + &1 < 0- б2 = 0. 5) rfi + 6i ^ О, &2 ^ 0. e) bi = -di, 62 < О, c?3 + 62 > 0. 2) 61 = -d, 62 = -с?2, с?2 > d^. (?) rfi + bi > О, (/2 + 61 > О, 62 < О, c?3 + &2 ^ 0. 3. 2di + 61 < 0- 2б? з + bi '^ О, и выполнен один из следующих наборов.

условий.

а) di> с?2- di > О, bi = —{di + di), 62 = 0. 6) di> б?2- di = 0, bi = —di, 62 = 0. в) di > c?2 + di, di > 0, 61 = —di, 62 = —2⁴, с? з + 62 ^ 0 или.

^2 + &2 = 0. 2) C? i + 61 < 0, C?2 + C?4 + 61 ^ 0, &2 = 0. d) di + bi'^0,d2—di—bi⁰, d2-{-bi< 0, dz + di + bi< 0, 62 ^ 0. e) di > c?2- di > d^ + di, d2 + di> di, 61 = -di, 62 < 0, 2с?4 + б2 ^ 0,.

c^ 3 + &2 ^ 0 или (^ 2 + 62 = 0. ii = б?2 + di,² > d^, di > 0, bi = —di, 62 < 0, 2⁴ + 62 ^ 0;

(^ 3 + 2^ ^ 0 или² + 2^ = 0. к) с? з + 6?4 ^ c? i, 61 = —di, 62 < 0- 2с?4 + &2 ^ 0, c?3 4- &2 ^ 0 или.

Л1) (/2 4- 61 ^ 0- с? з 4- c?4 4- 61 ^ 0- &2 < 0- 2(^ 4 4- &2 ^ 0, с? з 4- &2 ^ 0;

W } Дч ^ ^ До — uQ. ^ L/" flyi — U, 1/1 — По — *fll •^. 2б? з + b < 0- 2с?2 4- 6i ^ 0, и выполнен один из следующих наборов.

условий.

Замечание 6.3.3. Нетрудно проверить, что для каждого из наборов yCJЮ вий из теоремы 6.3.2 существует многообразие X, удовлетворяющее усло виям этого набора. Доказательству теоремы 6.3.2 посвящен раздел 6.5. Некоторая громозд кость этого результата частично оправдывается тем, что как следствие из.

него получается следующее утверждение (см. раздел 6.6).Лемма 6.3.4. Пусть X — стандартное расслоение на поверхности Дель.

Пеццо степени 4 над ?^, и х{^) —^- Тогда X изоморфно полному пе ресечению двух послойных квадрик в скролле, причём для параметров di,.

bj есть лишь следующие возможности. (Xi) di = d2 = dz — d4 = 0- bi = O, b2 = l (случай 1 теоремы 6.3.2). {X2) di = 2, d2 = d^ = di = 1, bi = —2, 62 = —1 (случай 2 В теоремы 6.3.2). Наконец, теорема 6.2.1 получается из леммы 6.3.4 после проверки ра циональности многообразий Xi и Х2 (см. раздел 6.6). 6.4 Вспомогательные утверждения.

Лемма 6.4.1. Многообразие X гладко тогда и только тогда, когда вы полняются следующие условия:

(*) на Bs|Z)i| Bs|D2| пересечение D2 П SingDi — 0,.

(**) на BS|JD2| векторы grad3.(/i) и gradj.{f2) не пропорциональны ни в.

какой точке. Доказательство. Ясно, что если X гладко, то условия (*) и (**) вы нолнены. Обратно, предположим, что выполнены (*) и (**). В точках.

Di П {D2 Bs|D2|) многообразие Di неособо по условию (*), а дивизор D2.

подвижен, так что по теореме Вертини многообразие X неособо всюду, кро ме, быть может, множества Bs|D2|. В точках Bs|Z)2| многообразие X глад ко тогда и только тогда, когда векторы grad (/i) = (grada.(/i), grad^(/i)).

и grad (/2) = (grad^(/2), gradf (/2)) не пропорциональны ни в какой точке. Пусть D'-, г = 1,2, — дивизоры, заданные уравнениями ^ = 0. Тогда Dl = 2 М + {bi — 1) L|, и Bs|Д' | D Bs |A |. Поэтому grad,(/i) и grad,(/2).

тождественно равны нулю на Bs|Z)2|, и условие непропорциональности гра диентов переписывается в виде (**). D.

В дальнейшем для проверки гладкости X всюду будут проверяться.

именно условия (*) и (**). Зафиксируем некоторые необходимые для дальнейшего обозначения. Пусть Mi обозначает 2×3-матрицу.

/ аиХ4 + 0:153:5 Oi2iXi + 0:252:5 0:342:4 + 0:352:5.

PuXi + (З15Х5 /^ 242:4 + Р25Х5^342:4 +^352:5 у.

а М5 — 2 X 4-матрицу.

/ 0:25 о-з5 0:45.

Пусть m-L 1 ^ г < j ^ 3, / = 4,5 обозначает 2×2-минор матрицы Mi,.

составленный из её столбцов с номерами i и j. Рассмотрим следуюш, ие условия:

(**)4 многочлены т^ не имеют обш, их нулей на Y^. *)5 многочлены т | - не имеют обш, их нулей на Y^. (Смысл этих условий в том, что при Bs|D2| = I4 условие (**) равносильно.

условию (**)4, а при Bs|?)2i =⁵ ^ условию (**)5-).

Лемма 6.4.2. При сделанных предполоэюениях условие (**)4 выполняет ся в том и только том случае, если Ь = —di = — (с?2 + d^), 62 = —с?2 = Доказательство. Очевидно, для выполнения условия (**)4 необходимо,.

чтобы последний столбец М^ не был нулевым, то есть необходимо ds +.

(^ 4 + ^ 2 ^ 0. Кроме того, если²⁵ = О или ai^ = О, то m-j обращаются в.

нуль на Y^, то есть условие (**)4 влечёт² + ^ 2 ^ О и rfi + 6i ^ 0. Наконец,.

если о-24 = О, то условие (**)4 также не выполнено, то есть (**)4 влечёт.

2^ + 4^ + 6 1 ^ 0. Предположим теперь, что имеют место перечисленные неравенства. На.

поверхности У4 — ^{di, 0) рассмотрим дивизоры.

dj е 2Му, + {di + dj + 61 +.

заданные уравнениями т-^ — О, дивизор

заданный уравнением «14X4 + c^i5⁵ = О, и дивизор

заданный уравнением (Зих^ + Аб^б = ОТогда дивизоры Си, А и В по движны, Си с Ci3 и, А с В пересекаются трансверсально. Следовательно,.

СиПCi3 содержит СиСи = 4(c?i + с?4 + &i + 2^) + 2(^2 + с? з) точек, аАПВ.

содержит АВ = 2di + (^ 4 + 1^ + 2^ точек. Если CnCiz — О, то условие (**)4 выполненоравенство.

нри сделанных предположениях эквивалентно тому, что bi = Ь2 — —di =.

—d2 = —d^, di = 0. Нусть CuCi3 ф 0. Заметим, что одновременное обра щение в нуль миноров m2 и т1 влечёт обращение в нуль минора тщ^ за исключением случая, когда обращается в нуль нервый столбец матрицы.

М4. Поэтому если C^Cis ф О, то для выполнения условия (**)4 необходи мо и достаточно СпПС% d АГВ. Так как ЛП Л С CyiПCi3, это условие.

равносильно тому, что.

= 2{di + f/2 + dz) + 3{d4 + 61 + 62) =.

При сделанных нредиоложениях это равенство эквивалентно тому, что.

bi = —di = — (с?2 + di), &2 = —d2 = — (с?з + di) — Чтобы получить оконча тельный ответ, заметим, что эти условия слабее тех, которые получались.

при С12С13 = 0. П.

Лемма 6.4.3. При сделанных предположениях условие (**)5 выполняет ся в том и только том случае, если выполнены условия di + bi ^ О,.

<^з + &2 ^ О, или если выполнены условия di + bi — О, d2 + Ь2 = О и хотя.

бы одно из двух условий di — Ь2 = О и d2 + bi < 0. Доказательство. При di + bi <0 первая строка матрицы М^ нулевая, так.

что с?1 + fei ^ О необходимо для вынолнения (**)5. Если же di + bi ^ О,.

то (**)5 выполнено либо когда не равны нулю тождественно два минора.

(5) / (5) (5)ч.

mlj (и тогда можно считать, что это миноры т2 и т^), то есть при.

есть при deg (Q-i5) = di -{- bi = О, deg (-525) = б?2 + 2^ = О и одном из двух.

условий: deg (/?i5) = (ii + 62 = О или deg (Q:25) = с?2 + 1^ < 0. D.

Следующее утверждение поможет сократить вычисления в разде ле 6.5.4.Лемма 6.4.4. Пусть Bs|Di| = У3- с?2 + '^ з + 1^ ^ ОТогда для выполнения.

условия (*) необходимо 2(c?i + с?2 +^з + ^4) + 46i + 62 = 0. Если при этом.

либо di + di—bi ^ О, 62 ^ 0- либо di + bi ^ 0- 2с?4 + &2 ^ 0- ^ о это условие.

таксисе достаточно. Доказательство. Если Bs|Di| = Yz, то все компоненты grada.(/i), кроме,.

быть может, 1^ = «132:3 + ctu^A + «152:5 и | ^ = «23³ + ot2iX4 + 0:252:5,.

тождественно равны нулю на 1зТак как с?2 +^з + l^ ^ 0) '^ го многочлены.

и Q-i3 ненулевые. Пусть¹ и² — дивизоры, заданные уравнениями 0:132:3 + 0142:4 +.

= О и 0232:3 + 0242^ 4 + 0252:5 = О соответственно. Так как Sing (Di) =.

Л1ПЛ2П13, то условие (*) означает, что D2nAir]A2nYz = 0. В частности,.

необходимо ^i²-D2|y3 = О, то есть, так как |Л1| = Муз + {di + б1) Ьуз|,.

И2| = |-Л^Уз+(< 2^+&-1)Ьуз1' и 1з — ]?(с?з, di, 0), то это условие неренисывается.

как 2{di + (/2 + 4 + ^4) + 46i + 62 = 0. Если с?1 + с?4 + &1 ^ о, то¹ и² не имеют общих компонент, и их.

пересечение — эффективная кривая на Уз, так что при.

= О следует D2 П Ai П ^ 2 П Уз = 0- Если c^ i + &i ^ О, то Ai.

и² не имеют общих компонент, и Y^ (^ Ai, так что при Y^.

= О следует D2 П Ai П² П Уз = 0. D.

6.5 Доказательство теоремы 6.3.2.

6.5.1 Случай Bs|A| = 0.

Этот случай имеет место тогда и только то1^ да, когда Ь ^ 0. Условия (*).

и (**) выполнены автоматически (случай 1 теоремы 6.3.2).6.5.2 Случай.

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда bi < О, и при этом.

2с?4 + 6i ^ 0. По условию все компоненты grad2.(/i), кроме, быть может,.

Ш ««15, Й ««25, 1 ^ = «35 и 1 ^ = «45, тождественно равны нулю на.

Рассмотрим несколько возможностей. Случай с?1 + &1 < 0. Тогда grad3,(/i) = О тождественно на УбИз (**) следует Bs|L)2| = 0, а.

из (*) следует, что D2 П У5 = 0, то есть 62 = О (случай 2а теоремы 6.3.2). Очевидно, это условие является также и достаточным для вынолнения.

условий (*) и (**). Случай с?1 4- &1 = 0. При этом условии deg (ai5) = 0. Если при этом Bs|D2| = 0 (то есть 62 ^ 0),.

то (*) и (**) выполнены автоматически (случай 26 теоремы 6.3.2). Если же.

Bs|Z)2| = ^ (^ 2 < 0), то необходимо и достаточно проверить условие (**).

на УбТак как никакие два из многочленов а^ ,^ (5ы не имеют общих нулей.

на I5, то (**) равносильно (**)5- Таким образом, по лемме 6.4.3, условие.

(**) выполнено либо при из + &2 ^ О (случай 2 В теоремы 6.3.2), либо при.

(i2 + &2 = О и одном из двух условий: с?1 + 62 = О или 6² + 61 < 0- нетрудно.

заметить, что при сделанных предположениях б? i + 62 = О эквивалентно.

тому, что 6i = &2, а. с/2 + 1^ < О эквивалентно тому, что bi < 62, то есть.

одно из этих двух ус-ювий выполняется автоматически — это случай 2 г.

теоремы 6.3.2.Случай di + bi > 0. Если при этом (^ 2 + &1 < О, то Di имеет изолированные особенности на.

У5, и по (*) необходимо Bs|Z)2| = 0, то есть 62 ^ 0. Очевидно, условие.

2^ ^ О является также достаточным для выполнения (*) и (**) (независимо.

от предположения² + 61 < 0). Это случай 26 теоремы 6.3.2. Если же.

с?2 + &1 ^ О и 62 < О, то Bs|Z)2| = Y5, и (**) равносильно (**)5, то есть.

(так как di + bi ^ 0) по лемме 6.4.3 условие (**) равносильно с? з + 62 ^ О.

(случай 2д теоремы 6.3.2). 6.5.3 Случай Bspi 1 = 4^.

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда 2с?4 + bi < О, 2d^ +.

61 ^ 0. По условию все комноненты grada.(/i), кроме, быть может, ^ =.

равны нулю на Y^. Рассмотрим несколько возможностей. Случай di + d4 + bi< 0. Тогда Sing (Z)i) = У4- в частности, Sing (Z)i) содержит прямую /, лежащую.

в слое отображения (р. Так как D2 € 2 М + b2L, то lnD2^ 0, а условие.

(*) не вынолнено. С л у ч, а й di + di + bi^ О, c? i + 6i < О, d2 + d4 + bi< 0. Тогда ai5 = 0124 = Q-25 = 0:34 = 0^ 35 = О, и в случае deg (Q-i4) > О дивизор

Di особ вдоль некоторой прямой в слое (р, так что из условия (*) следует.

deg (ai4) = О, то есть di — di + bi = 0. Далее, так как Di особ вдоль то из условия (*) также следует 62 = 0. Очевидно, что эти условия явля ются также достаточными для выполнения условий (*) и (**) (случай За.

теоремы 6.3.2). С л у ч, а й di + bi^ О, d2 + di + bi< 0. Тогда QI24 = о-25 = <^34 = 0(35 = О, И Sing (Di) = с, где кривая С задана на.

У4 уравнением аиХ4 + ai^x^ = 0. Так как С т^ 0, то, но условию (*).

необходимо Bs|Z?2| С Y^, то есть 2di + 62 ^ 0. Также, но условию (*).

необходимо.

то есть di ibi = О, 2с?4 + 2^ = 0. Так как С ^ У^, то этого достаточно.

для вынолнения условия (*). Если с?4 = О, то условие (**) выполнено ав томатически (случай 36 теоремы 6.3.2), а если d^ > О, то Bs|D2| = У5, и.

по лемме 6.4.3 условие (**) выполняется либо при³ + 6 2 ^ О, либо при.

с² + 2^ = О (случай Зв теоремы 6.3.2). С л у ч, а й di + bi< О, d2 + d4 + bi^ 0. Тогда «15 = QJ25 = о-з5 — 0. При этом, так как многочлены аи и 0:24 не.

имеют общих нулей, то Sing (?)i) = Y5. Из условия (*) следует 62 = 0. Оче видно, это условие также является достаточным для вынолнения условий.

(*) и (**) (случай Зг теоремы 6.3.2). Случай di + bi^ О, с/2 + c?4 + &i ^ О,² + &i < О, с^ з + /^4 + 6i < 0. Тогда О!25 = 0^ 34 = 0^ 35 = о, и Di имеет не более чем изолированные особен ности. Если di+bi > О, то Di в числе нрочего имеет особенности на У^, так что из условия (*) следует Ьг ^ 0. Очевидно, это условие является доста точным для выполнения условий (*) и (**) независимо от предположения.

di + bi> О (случай Зд теоремы 6.3.2). Если di + bi = О, Ь2 < О и d2 + di + bi > О, то Di имеет особенности на.

I4 Уб) и по условию (*) необходимо Bs|D2| 7^ Y4, то есть 2б?4 + &2 ^ О, так.

что Bs|D2| = Y^- По лемме 6.4.3 условие (**) в этом случае эквивалентно.

тому, что-либо с? з + &2 ^ О, либо d2 + b2 = 0 (случай Зе теоремы 6.3.2). Если di + bi = О, 62 < О и б?2 + с⁴ + 6i = 0, то Di неособ. Если при.

этом Bs|Z)2| = V5, то есть 2с?4 + &2 ^ О, то по лемме 6.4.3 условие (**).

эквивалентно тому, что-либо 6/3 + 62 ^ О, либо 6² + &2 = О (случай Зж.

теоремы 6.3.2). Если же Bs|i)2| = Y4, то есть 2с?4 + 2^ < 0- I’o условие (**).

равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2 это эквивалентно тому, что.

bi = -di = — (с?2 + di), 62 = -d2 — —{d3 + di) (случай Зз теоремы 6.3.2). Случай di—bi^ О, d^—di-{-bi ^ О, c?2 + &i < 0. Тогда Q-25 = 0:35 = 0. Если di + bi > О, то Di имеет (изолированные).

особенности на Y^, так что из условия (*) следует 62 ^ 0. Это условие.

является достаточным для выполнения условий (*) и (**) независимо от.

предположения di + bi> О (случай Зи теоремы 6.3.2). Если di — bi = О, 62 < О, то Di неособ. Если Bs|Z)2| =^5- то есть.

2di + 62 ^ О, то по лемме 6.4.3 условие (**) эквивалентно тому, что-либо.

dz—b2 ^ О, либо с?24-Ь2 = О (случай Зк теоремы 6.3.2). Если же Bs|D2| = Yi,.

то условие (**) равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2 отсюда следует.

что противоречит предположениям ^2+^1 < О" с? з+с?4+&1 ^ 0. Случай d^ + di + bi^ О, с?2 + 6i > 0. Тогда Di неособ. Если &2 ^ О, то условие (**) выполнено автоматически.

(случай Зл теоремы 6.3.2). Если 62 < О, 2⁴ + &2 ^ О (то есть B s p 2 | = Y^),.

то, так как нри этом Ь2> h, но лемме 6.4.3 условие (**) вынолнено только.

нри с? з + &2 ^ О (случай Зм теоремы 6.3.2). Если же 2с?4 + 62 < О (то есть.

Bs|D2| = I4), то условие (**) равносильно условию (**)4. По лемме 6.4.2.

это эквивалентно тому, что bi = —di — —{d^ + с?4), 62 = —d^ = —{dz + di). При сделанных предположениях отсюда следует 6i = 62, с?1 = с?2 = с? з > О,.

d4 = 0 (случай Зн теоремы 6.3.2). 6.5.4 Случай Bs|Di| = 73.

Этот случай имеет место тогда и только тогда, когда 2^з + 6i < О, 2с?2 +.

6i ^ 0. По условию все комноненты grad^(/i), кроме, быть может, ^ =.

а^хз + 0:142:4 + 0(15⁵ и ^ = «23³ + a2iOCi + «25⁵) тождественно равны.

нулю на Уз Рассмотрим несколько возможностей. Случай d2 + dz + bi < 0. Тогда о-2з = QJ24 = 0:25 = О, и Sing (Di) содержит нрямую в общем слое.

отображения (р, следовательно, условие (*) не вынолняется. Случай d2 + d3—bi^ О, с/2 +⁴ + &i < О, di + bi< 0. Тогда «15 = о-24 = <^ 25 = ОЕсли deg (Q-23) > О, то Sing (Di) содержит кри вую в слое отображения (р над нулём многочлена о-23- Таким образом, но.

условию (*) необходимо с?2+с?з+^1 = 0. В этом случае Sing (Z)i) С I4. Если deg (Q-i4) 7^ О (в том числе если эта степень меньше О, то есть многочлен.

0114 нулевой), то Sing (Di) содержит прямую в слое^, так что необходимо.

di+ di + bi = 0. В этом случае Sing (Di) = Y^, п для вынолнения условий.

(*) и (**) необходимо и достаточно 2^ = О (случай 4а теоремы 6.3.2). Случай d2 + di—bi ^ О, di—bi< 0. Тогда Q-I5 = «25 = О, и У5 С Sing (Di). Следовательно, для выполнения.

условия (*) необходимо 62 = 0. По лемме 6.4.4 условие (*) равносильно.

условию.

TO есть c?2 + с?4 + 6i = diidz + bi = 0. Так как 62 = О, то условие (**).

выполнено автоматически (случай 46 теоремы 6.3.2). Случай 6² + с^ з + &1 ^ О, d2—d^-{-bi < О, di + bi^ 0. Тогда 0124 = о-25 = 0. Если di—bi > О, то Sing (Di) OY^^ 0, и необходимо.

62 ^ 0. По лемме 6.4.4 условие (*) равносильно условию.

противоречие. Поэтому необходимо di—bi = 0. Так как нри d2+d^ + bi> О.

множество Sing (Z)i) содержит прямую в слое (р, то необходимо также с?2 +.

d3 + bi = 0. По лемме 6.4.4 из условия (*) следует.

что равносильно 2с?4 + &2 = о, то есть (снова по лемме 6.4.4) при сделанных.

предположениях условие (*) равносильно 2с?4 + 2^ = 0. Если при этом с?4 > О, ТО Bs|D2| = Уби условие (**) равносильно (**)5, а это условие.

(так как с?2 + &i < О, rfi + 6i — 0) по лемме 6.4.3 равносильно тому, что.

с^ з + 2^ ^ О или d2 — Ь2 = О (случай 4 В теоремы 6.3.2). Если же с?2 = О,.

то есть Bs|Z)2| = 0, то имеем Ь2 = О, что, очевидно, влечёт выполнение.

условия (**) (случай 4 г теоремы 6.3.2). Так как Sing (A) ^ 0, то Bs|D2| ?" ^ з, то есть 2с? з + &2 ^ 0. По лемме 6.4.4.

из условия (*) следует.

О = 2{di + d2 + d3 + di) + 4&i + 62 = 2{di + h).

TO есть б?2 +⁴ + 6i = c? i + 6i = 2с? з + 62 = 0- Если при этом dz > di, то.

Bs|?)2| = I4, и по лемме 6.4.2 из условия (**) следует 62 = {dz + с?4)).

то есть³ = 4^) противоречие. Таким образом, dz = d^, и по лемме 6.4.4.

перечисленные условия также достаточны для выполнения условия (*). Условие 2d4 + &2 = О означает, что Bs|Z)2| С Y^. Если Bs|Z)2| = 0, то.

из 2^ ^ О следует 62 = с? з = с?4 = 0- условие (**) при этом выполпено.

автоматически (случай 4д теоремы 6.3.2). Если же Bs|D2| = У5, то есть.

с?4 > О, то условие (**) равносильно условию (**)5. Ввиду того, что с?2 +.

6i < О и с/з + &2 < О, по лемме 6.4.3 условие (**)5 равносильно тому, что.

с?2 + 62 = О (случай 4е теоремы 6.3.2). 6.6 Приложение к расслоением на новерхности Дель.

Пеццо стенени 4.

Применяя теорему 6.3.2, получаем Следствие 6.6.1. Пусть при сделанных в разделе 6.3 предполоокени ях многообразие X неособо и топологическая эйлерова характеристика.

= —4. Тогда имеет место одна из следующих возможностей. (Xi) di = d2 = dz = di = 0, 6i = 0- 62 = 1 (случай 1 теоремы 6.3.2). (X2) di = 2- c?2 = б? з = c?4 = I, bi = —2, 62 = —1 (случай 2 В теоремы 6.3.2). di = 4, с?2 = 3- dz = 2, с?4 = 1, bi — -4, 62 = - 3 (случай Зз теоре мы 6.3.2). Доказательство. Легко убедиться, что х (^) = 16 X] г^ 206i — 2О62 +16.

(это следует, например, из [15, Пример 3.2.11]). Остаётся только решить.

уравнение —16 J2 c? i—206i—2062+16 = —4 совместно с наборами уравнений.

и неравенств на di, bj из теоремы 6.3.2. П.

Таким образом, все интересующие нас многообразия содержатся в трёх.

перечисленных семействах, и нам достаточно проверить рациональность.

общего члена каждого из этих семейств. Замечание 6.6.2. В случае Хз базисные множества Bs|Z)i| и Bs|D2| со держат Y4. Рассмотрим общий слой Х^ как поверхность над полем C (io).

рациональных функций на прямой. Эта поверхпость содержит прямую,.

определённую над С (^о), а значит относительное число Пикара р (Хз/Р^).

не меньше 2. Из следствия 6.6.1 и замечания 6.6.2 моментально получается лем ма 6.3.4. Лемма 6.6.3. Многообразия Xi и Х2 рациональны.Доказательство. Проекция Xi С Р* х Р^ в Р^ даёт бирациональный (так.

как в этом случае D2 6 |2М + Ц) морфизм на трёхмерную квадрику.

Q CF^, откуда сразу получаем рациональность Xi. Для доказательства рациональности Х2 С Y = F (2,1,1,1,0) рассмот рим проекцию 7Г: У —>• У = F (2,1,1,1) из кривой У5 С Y. При этой проек ции Хг бирационально отображается на дивизор Х'2 € ЗМу' — 3Ly/|. При.

отождествлении Y' с У" = F (1,O, 0,0) многообразие Хз С У" становится.

дивизором из линейной системы |ЗМу//|. Наконец, стягивание, а: У" —^ Р^.

отрицательного нодскролла У2 представляет У" в виде раздутия плоско сти Р^ С Р^ и бирационально отображает Хз на кубику в Р^. Теперь для.

доказательства рациональности Хг достаточно показать, что эта кубика.

особа. Покажем, что особенности возникают уже на Х!^. Для этого найдём все.

кривые, стягиваемые отображением тг. Очевидно, что они должны быть.

при всех значениях параметра s выполнены равенства Так как ai^ — ненулевая константа, то эти равенства нереписываются.

в виде.

a22xl + аз /^ 222:2 + Рз;

)XI + ^44⁴ + «:

32:3 + ^^ 443^ 4 + А.

/^ 252^ 2 +.

232:2X3 + а24Х2Х4.

>3X2Xz + /^242²²:4.

+ 0342:32:4.

+ /5342:32:4.

В частности, в общем слое ничего не стягивается. С другой стороны, в двух.

слоях стягивается, но одной прямой: уравнения 6.6.4, 6.6.5 и 6.6.7 (не зави сящие от t) задают (с точностью до пропорциональности) два возможных.

значения направляющего вектора v = {vi, V2, vz, V4), для каждого из кото рых линейное по t уравнение 6.6.6 даёт ровно одно значение t, такое что.

прямая с направляющим вектором v в соответствующем слое содержит ся в Di П D2. Таким образом, многообразие Х2 имеет две (обыкновенные.

двойные) особые точки. П.

Замечание 6.6.8. Доказать рациональность многообразия Хз тоже неслож, но — Хз содержит поверхность Y4, и проекция из I4 бирационально отоб ражает Хз на рациональное многообразие F (4,3,2). Лемма 6.3.4 и лемма 6.6.3 доказывают теорему 6.2.1.