Неголономные вариационные задачи

Диссертация посвящена теории неголономных распределений, полей конусов и полисистем на римановых многообразиях и группах Ли и их применениям к вариационным задачам. Работа продолжает исследования А. Д, Александрова, А. М, Вершика-Л.Д.$аддеева, Х. Зуссмана, К. Лобри и других.

Неголономные распределения, поля конусов и полисистемы естественно возникают во многих задачах механики [12,13,21,24,32, 45], дифференциальной геометрии [ 10,14,21,28,39,53 ], вариационном исчислении [34,51,52~|, теории дифференциальных уравнений [1−3,27,44] и других областях, они имеют многочисленные приложения в прикладных задачах [15,16,35,42,4б] .

ЬйзвиЕаемый в диссертации подход к таким задачам несколько отличается от имевшихся, он связан с методами теории особенностей и существенно использует алгебраическую технику.

Основные результаты диссертации состоят в получении двусторонних оценок множества достижимости (функций Беллмана) для абсолютно неголономных распределений, полей конусов и полисистем общего положения на римановых многообразиях. Эти оценки основаны на полученных в работе квазинормальных формах струй конечных наборов векторных полей общего положения на гладких многообразиях,.

Пэказано, что длина кратчайшей допустимой кривой, соединяющей данную точку х с точками? — сферы (с центром ос) есть, с точностью до мультипликативной константы и малых высшего порядка, дробная степень Е г причем показатель степени как функция направления определяется фильтрацией, заданной на касательном пространстве в точке ос. последовательностью степеней распределения относительно операции езятия скобки Ли, Кроме того, в диссертации получены точные показатели квазигельдероЕости ростка границы множества достижимости. Показатели квазигельдеровости по различным направлениям определяются той же фильтрацией ^ .

Актуальность изучаемых вопросов обуслоЕлена нуждами теории регулирования, теории управления и теории систем. Развитые в данной работе методы позволили получить значительно более глубокую информацию об абсолютно неголономных распределениях, множествах достижимости и свойствах решений вариационных задач*.

В механике абсолютно не интегрируемые распределения возникают в теории неголономных задач (характерный пример — задачи о качении) и изучаются уже давно. Механиками рассмотрено большое число конкретных примеров, однако удовлетворительное построение лагран-жевой механики в современных математических терминах дано лишь недавно в работах [12,13]. Это дало возможность прояснить пока еще недостаточно изученные связи между неголономными механическими системами и вариационными принципами. В диссертации разобран пример Еариационной задачи на группе Ли.

Полученные результаты представляют интерес также для задач экономической динамики, где естественно возникают ограничения в виде полей конусов (см. напр. П5,16]). Неголономные распределения встречаются тавж е в теории гипоэллиптических операторов (см. [1−3] йли С^З и теорема Л. Хермандера о сумме квадратов). Особо выделены задачи на группах Ли, представляющие стандартную модель общей ситуации.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации, Диссертация состоит из трех глав. В начале каждой мы приво.

— б дим краткое содержание и исторический обзор.

Первую главу мы начинаем с изучения распределений с особенностями на гладких многообразиях (определены впервые в СЗЗЗ). Важную роль во Есех рассмотрениях играет понятие роста распределения, Ростом распределения ^ в данной точке называется последовательность натуральных чисел^, где^{-размерность} линейного пространства, порожденного значениями скобок Ли длины ^ I гладких векторных полей ^ таких, что е при всех у «.

Напомним (теорема З^обениуса), что распределение интегрируемо, если последовательность П. постоянна ((а^п^ во всех точках многообразия. Распределения называется абсолютно неголо-номным в данной точке ас,, если, начиная с некоторого номера Ьо, все аь равны размерности многообразия" Распределение называется регулярным, если ростки в точке^, для всех I. Хорошо известно, что почти все, в естественном смысле, распределения абсолютно неголономны. Следующая теорема дает значительно более точную информацию.

ТЕОРЕМА 1,6,1*.

1) Распределения максимального роста образуют открытое всюду плотное подмножество в множестве всех распределений втопологии Уитни.

2) Всякое распределение максимального роста регулярно и абсолютно неголономно,.

3) Все распределения (данной размерности) максимального роста имеют один и тот же рост (а значит одну и ту же степень неголономности).

• I ?| ^ (К — степень неголономности распределения ^ максимального роста) п^ в сЦ, т ^ 0*0 равно размерности ^ - линейного пространства в свободной алгебре Ли с П1 образующими, натянутого на слова длины ^ ^.

Кроме того, оказывается, что в струях малого порядка г., где, а — размерность многообразия, п1- размерность распределения) существует Есюду плотная орбита относительно действия группы струй диффеомор<1измов многообразия. Это утверждение получается построением квазинормальной формы струй конечного набора векторных полей — базиса векторных полей распределения" Построение квазинормальной формы является результатом исследования связей между распределениями максимального роста и свободными алгебрами Ли. Квазинормальная форма описывается в терминах семейства Холла и приводится в следующей теореме.

ГЕОРЕМА 1*6.2. Пусть ^ - росток распределения максимального роста, размерности в Я- ,)-) — семейство Холла е свободной алгебре Ли с образующими, ^ базис векторных полей распределения, занумерованный элементами семейства Холла*.

Тогда в некоторой окрестности нуля 1А<^{1П найдется система координат 0£и: И—Ч .

7 ?и0~ «» 4-осчп — «ч эо^- г/о $ 1 ^ ."1.».°^" ' где УП.

Кстепень неголономности распределения) •.

Построенные квазинормальные формы (см. также, теорему 1,3.1, где получена квазинормальная форма в более общем случае — для произвольного регулярного распределения) позволили получить двустороннюю оценку (<х) — множества точек, достижимых из данной по допустимым кривым длины •.

Показано, что заключено между двумя параллелепипедами, длины стороны которых определяются ростом распределения. Оценка получена в предположении регулярности распределения, это предположение, как уже было сказано, выполняется в случае общего положения для распределений максимального рост. Оценка дается следующей теоремой".

ТЕОРЕМА. 1.5.1. Пусть М — риманово многообразие, ос е М регулярное, абсолютно неголономное в точке ос распределение на (V) ^? ~ базис векторных полей распределения^ - согласованная с базисом система координат.

Тогда найдутся положительные константы С такие, что ПС)£ О) ^ № с ?]0? (ос) ПрИ? ? ео ,.

Здесь П^ГО = [? е М) < р — функция на множестве натуральных чисел такая, что ^ при < I & .

Показано, что приведенные оценки переносятся на случай симметричных полисистем общего положения (теорема 1,7.1). Таким образом, в этом случае существенно усилены имевшиеся здесь верхние оценки Г34,52] и впервые получены нижние.

Во второй главе мы переходим к изучению полей конусов на гладких многообразиях. Получены двусторонние оценки множества точек, достижимых из данной по кривым длины й? и по кривым, длина которых равна? • Показано, что сделанные при доказательстве предположения выпэлняются для полей многогранных конусов общего положения. Указанные выше утверждения содержатся в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА. 2.3,1* Пусть СС — поле конусов на римановом многообразии М, ЗС'6М и выполнены следующие деэ условия: а) ^(х) — выступающий конус в М и ^? е < ЗГ в некоторой окрестности точки. ((у] - раствор конуса.

Щ)). б)^{определение} регулярно и абсолютно неголономно в точке 'эе ,.

Пусть ^ ~ система координат, согласованная с базисом поля юнусов. Тогда найдутся положительные константы ?0 такие, что ^ ?, 0 справедливы включения: где Ь^С^) множество точек, достижимых иззс по допустимым кривым длины? ав (С = («р м | о «I ^ «- п}.

ТЕОРЕМА. 2.4.2. %сть ?<�с1ип М «Тогда в множестве полей многогранных конусов с? образующими открытое и всюду плотное в Стопологии Уитни подмножество составляют поля многогранных конусов, удовлетворяющие следующим двум условиям: а) конус.

— выступающий б) с (ауп — ^ и — распределение максимального рос та •.

ТЕОРЕМА 2.4.2.' Пусть? >сЬт М Пусть $ - поданожест-во множества — полей многогранных конусов с & образующими, состоящее из полей многогранных конусов, удовлетворяющих следующим двум условиям а) конус.